研究者データベース
Last Updated :2024/11/19
研究者情報
マスター
アカウント（マスター）
氏名
秋田 利之(アキタ トシユキ), アキタ トシユキ
所属（マスター）
所属（マスター）
独自項目
syllabus
- 2021, 幾何学特別講義, Special lecture on Geometry, 修士課程, 理学院, カンドル, 対称空間.
- 2021, 幾何学Ａ, Geometry A, 学士課程, 理学部, 可微分多様体、可微分写像、陰関数定理、正則値定理、接ベクトル、ベクトル場、余接ベクトル、微分形式
- 2021, 線形代数学Ⅰ, Linear Algebra I, 学士課程, 全学教育, 行列, 連立１次方程式, 基本変形, 階数, 行列式, 逆行列
- 2021, 線形代数学Ⅱ, Linear Algebra II, 学士課程, 全学教育, ベクトル空間, 線形写像, 線形独立, 基底, 固有値, 固有ベクトル, 対角化
- 2021, 幾何学演習, Exercises on Geometry, 学士課程, 理学部, 多様体論、ホモロジー論、可微分多様体、ホモロジー群
- 2021, 教科教育法（数学II）, Teaching Method of School Subjects(Mathematics Ⅱ), 学士課程, 教育学部, 課題学習、指導方法、アクティブ・ラーニング、学習指導案、模擬授業
- 2021, 教科教育法（数学Ⅳ）, Teaching Method of School Subjects(Mathematics IV), 学士課程, 教育学部, 発展的な学習、教材研究、学習指導案、摸擬授業と評価
- 2021, 数学特別講義Ⅰ, Special Lecture on Mathmatics 1, 学士課程, 理学部, カンドル, 対称空間.
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プロフィール情報
所属
学位
プロフィール情報
姓
秋田名
利之ID各種
200901097733036240
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業績リスト
研究キーワード
研究分野
経歴
- 2017年04月 - 現在 北海道大学 大学院理学研究院 教授
- 2007年04月 - 2017年03月 北海道大学 大学院理学研究院 准教授
- 2006年04月 - 2007年03月 北海道大学 大学院理学研究院 助教授
- 1999年08月 - 2006年03月 北海道大学 大学院理学研究科 助教授
- 1995年04月 - 1999年07月 福岡大学 理学部 助手
- 1994年04月 - 1995年03月 日本学術振興会 特別研究員(DC3)
論文
- Toshiyuki Akita, Sota TakaseKobe Journal of Mathematics 41 33 - 39 2024年11月 [査読有り]
- Toshiyuki Akita, Rikako Kawasaki, Takao SatohJournal of Group Theory 2023年08月16日 [査読有り]
Abstract In this paper, we consider several basic facts of Schur covers of the symmetric groups and braid groups.In particular, we give explicit presentations of Schur covers of braid groups. - Toshiyuki AkitaJournal of Knot Theory and Its Ramifications 32 02 2023年02月 [査読有り]
For any twisted conjugation quandle [Formula: see text], and in particular any Alexander quandle, there exists a group [Formula: see text] such that [Formula: see text] is embedded into the conjugation quandle of [Formula: see text] - Toshiyuki Akita, Aoi Hasegawa, Masayoshi TannoKodai Mathematical Journal 45 2 270 - 281 2022年06月30日 [査読有り]
- Toshiyuki AkitaKyoto Journal of Mathematics 60 4 1245 - 1260 2020年12月01日 [査読有り]
- Toshiyuki Akita, Ye LiuAlgebraic & Geometric Topology 18 1 547 - 568 2018年01月10日 [査読有り]
- Toshiyuki Akita, Ye LiuJOURNAL OF ALGEBRA 473 132 - 141 2017年03月 [査読有り][通常論文]
We obtain vanishing ranges for the mod p cohomology of alternating subgroups of finite p-free Coxeter groups. Here a Coxeter group W is p-free if the order of the product st is prime to p for every pair of Coxeter generators s, t of W. Our result generalizes those for alternating groups formerly proved by Kleshchev-Nakano and Burichenko. As a byproduct, we obtain vanishing ranges for the twisted cohomology of finite p-free Coxeter groups with coefficients in the sign representations. In addition, a weak version of the main result is proved for a certain class of infinite Coxeter groups. (C) 2016 Elsevier Inc. All rights reserved. - Toshiyuki AkitaBULLETIN OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY 48 6 945 - 956 2016年12月 [査読有り][通常論文]
Given an odd prime number p and a Coxeter group W such that the order of the product st is prime to p for all Coxeter generators s, t of W, we prove that the p-local homology groups H-k(W, Z((p))) vanish for 1 <= k <= 2(p - 2). This generalizes a known vanishing result for symmetric groups due to Minoru Nakaoka. - Toshiyuki AkitaPUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 47 4 897 - 909 2011年12月 [査読有り][通常論文]
We prove periodicity for mod p Mumford-Morita-Miller classes of surface symmetries and thereby for finite subgroups of mapping class groups. As an application, we obtain a couple of vanishing results for mod p Mumford-Morita-Miller classes for surface symmetries. - Toshiyuki Akita, Nariya KawazumiMATHEMATICAL PROCEEDINGS OF THE CAMBRIDGE PHILOSOPHICAL SOCIETY 144 2 411 - 421 2008年03月 [査読有り][通常論文]
The first author conjectured certain relations for Morita-Mumford classes and Newton classes in the integral cohomology of mapping class groups (integral Riemann-Roch formulae). In this paper, the conjecture is verified for cyclic subgroups of mapping class groups. - Toshiyuki AkitaPROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 136 7 2571 - 2573 2008年 [査読有り][通常論文]
An alternative formula for the Euler characteristics of even dimensional triangulated manifolds is deduced from the generalized Dehn-Sommerville equations. - 秋田利之Adv. Stud. Pure Math. 52 111 - 118 2008年 [査読有り][招待有り]
- Toshiyuki AkitaNagoya Mathematical Journal 165 1 - 22 2002年03月 [査読有り]
This paper is concerned with modp Morita-Mumford classesof the mapping class group Γg of a closed oriented surface of genus g ≥ 2, especially triviality and nontriviality of them. It is proved thatis nilpotent if n ≡ − 1 (modp − 1), while the stable modp Morita-Mumford classis proved to be nontrivial and not nilpotent if n ≢ −1 (modp − 1). With these results in mind, we conjecture thatvanishes whenever n ≡ − 1 (modp − 1), and obtain a few pieces of supporting evidence. - Toshiyuki Akita, Nariya Kawazumi, Takeshi UemuraJournal of Pure and Applied Algebra 160 1 1 - 11 2001年06月08日 [査読有り][通常論文]
We prove a vanishing theorem for the Morita-Mumford classes on periodic surface automorphisms, and construct enough periodic automorphisms to give an alternative and elementary proof of the stable rational algebraic independence of the Morita-Mumford classes, originally shown by Miller (J. Differential Geom. 24 (1986) 1-14) and Morita (Invent. Math. 90 (1987) 551-557). © 2001 Elsevier Science B.V. - Akita Toshiyuki東北數學雜誌. Second series 53 1 145 - 147 東北大学 2001年 [査読有り]
We prove that the rational homology of decorated Torelli groups and Torelli spaces are infinite dimensional when the genus of the reference surface is at least seven, thereby extended one of the main results of [2].[2]T. Akita, Homological infiniteness of Torelli groups, Topology 40 (2001), 213--221. - Akita ToshiyukiJournal of the Mathematical Society of Japan 52 4 869 - 875 The Mathematical Society of Japan 2000年10月 [査読有り]
We investigate the cohomology of a group having finite virtual cohomological dimension in terms of the contributions from finite subgroups. As a result, we prove a variant of Quillen's F-isomorphism theorem which remains valid for an arbitrary commutative ring of coefficients and for suitable families of finite subgroups. - Toshiyuki AkitaJournal of the London Mathematical Society 61 3 721 - 736 2000年06月 [査読有り]
- Toshiyuki AkitaBulletin of the London Mathematical Society 32 1 85 - 90 2000年01月 [査読有り]
- Toshiyuki AkitaProceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences 75 2 1999年02月01日 [査読有り]
- Akita ToshiyukiOsaka journal of mathematics 36 4 783 - 791 大阪大学 1999年 [査読有り]
- 秋田 利之Science bulletin of Josai University, Special Issue 2 3 - 16 城西大学理学部 1997年 [査読無し][招待有り]
Surgery and Geometric Topology : Proceedings of the conference held at Josai University 17-20 September, 1996 / edited by Andrew Ranicki and Masayuki Yamasaki. 本文データは許諾を得てeditorのHPサイトhttp://surgery.matrix.jp/math/josai96/proceedings.html から複製再利用したものである。 - Toshiyuki AkitaGroup Representations: Cohomology, Group Actions and Topology 1 - 5 1997年 [査読有り]
- Toshiyuki AKITATokyo Journal of Mathematics 18 1 151 - 158 1995年06月 [査読有り]
- Toshiyuki AkitaProceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences 69 10 1993年01月01日 [査読有り]
MISC
- 秋田 利之 数理解析研究所講究録 1967 53 -58 2015年10月
- 秋田 利之 数理解析研究所講究録 1922 170 -174 2014年10月
- 秋田利之 数理解析研究所講究録 1581 103 -108 2008年02月 [査読無し][通常論文]
Given a finite group G of automorphisms of a compact Riemann surface, we discuss a relation between Mumford-Morita-Miller classes of odd indices and the homology representation of G. Since most participants were group theorists rather than topologists, I separate the algebraic and the topological ingredients and explain the former in detail.有限群のコホモロジー論の研究 = Cohomology Theory of Finite Groups and Related Topics - 秋田 利之 数理解析研究所講究録 962 137 -147 1996年08月
- 秋田 利之 数理解析研究所講究録 838 98 -109 1993年05月
講演・口頭発表等
- Groups having Wirtinger presentations and the second group homology [招待講演]秋田利之第50回変換群論シンポジウム 2024年11月
- 代数トポロジーへの誘い [招待講演]秋田利之数学なんでもセミナー（公立千歳科学技術大学） 2024年10月
- Groups having Wirtinger presentations and group homology [招待講演]秋田利之研究集会「トポロジーとコンピュータ 2024」 2024年09月 口頭発表（招待・特別）
- Freeness of crossed modules, augmented quandles, and crossed G-sets [招待講演]秋田利之研究集会「曲面の写像類群と群の不変量」 2024年08月
- Free crossed modules and free augmented quandles [通常講演]秋田利之ホモトピー論シンポジウム2024 2024年06月 口頭発表（一般）
- カンドルの付随群について [招待講演]秋田利之研究集会「カンドルと対称空間」 2024年01月
- Alexanderカンドルの共役カンドルへの埋め込み秋田利之日本数学会秋季総合分科会 2023年09月
- カンドルのassociated groupについて [通常講演]秋田利之, 長谷川蒼日本数学会秋季総合分科会 2022年09月 口頭発表（一般）
- ブレイド群の中心拡大 [招待講演]秋田利之代数的位相幾何学の軌跡と展望 2022年03月
- Coxeterカンドルの随伴群 [通常講演]秋田利之日本数学会2021年度年会 2021年03月 口頭発表（一般）
- Artin群とCoxeterカンドルの随伴群のコホモロジー [招待講演]秋田利之森本雅治先生退職記念研究集会 2020年02月 口頭発表（招待・特別）
- 秋田利之The Third Pan Pacific International Conference on Topology and Applications (PPICTA) 2019年11月 口頭発表（一般） 成都(中国)
- 秋田利之Branched Coverings, Degenerations, and Related Topics 2019 2019年03月 広島大学(東広島キャンパス)大学院理学研究科
- Coxeter群とArtin群のコホモロジーについて [招待講演]秋田利之九州大学トポロジー金曜セミナー 2018年12月 口頭発表（招待・特別）
- Coxeterカンドルの随伴群 [招待講演]秋田利之九州大学数理談話会 2018年12月 口頭発表（招待・特別）
- Coxeterカンドルとルート系の随伴群 [招待講演]秋田利之2018年度ホモトピー論シンポジウム 2018年11月 口頭発表（招待・特別）
- Coxeterカンドルとルート系の随伴群 [招待講演]秋田利之ホモトピー沖縄 2018年09月 口頭発表（招待・特別）
- 秋田利之Matroids, reflection groups, and free hyperplane arrangements 2018年06月 口頭発表（招待・特別） RIMS
- Coxeter groups, Artin groups and Coxeter quandles [招待講演]秋田利之研究集会「ストリングトポロジーとその周辺」 2017年12月 口頭発表（招待・特別） 四季の湯強羅静雲荘
- カンドルと対称群の中心拡大 [招待講演]秋田利之北海道大学数学教室談話会 2017年10月 口頭発表（招待・特別）
- On the mod p cohomology of Coxeter groups and their alternating subgroups [通常講演]秋田利之ホモトピー論シンポジウム 2016年11月 口頭発表（一般） 県立広島大学サテライトキャンパス
- Second mod 2 homology of Artin groups [招待講演]秋田利之東大火曜トポロジーセミナー 2016年11月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- Cohomology of Coxeter groups and related groups [招待講演]秋田利之Perspectives on arrangements and configuration spaces 2016年09月 口頭発表（招待・特別） Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Scuola Normale Superiore di Pisa
- Crossed modules and Artin groups [招待講演]秋田利之京大代数トポロジーセミナー 2016年06月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
所属学協会
共同研究・競争的資金等の研究課題
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2020年04月 -2024年03月代表者 : 秋田 利之, 吉永 正彦（1）カンドルQの随伴群Ad(Q)はカンドルの構造の解明において最も重要な群であるが、表示で定義されるため調べるのが難しい。Grana-Heckenberger-Vendramin（2011）は有限カンドルQに対しAd(Q)の有限商群F(Q)を導入することにより様々な結果を得ていた。本研究では丹野信義、長谷川蒼と共にGrana等の構成を無限カンドルを含める形で一般化し（i）Ad(Q)の中心拡大としての特徴付け（ii）Ad(Q)の交換子群の構造（iii）Ad(Q)の分類空間のホモトピー・プルバックとしての特徴付けなど多くの結果を得た。結果を纏めた論文はKodai Mathematical Journalに掲載が決定している。 （2）群のSchur被覆はJ. Schur（1911）による有限群の射影表現の研究において見出された概念であり、完全群の普遍中心拡大の一般化となっている。一方、クロス加群（crossed module）はJ. H. C. Whitehead（1949）による低次のホモトピー群の研究において導入された概念であり、Postnikov不変量を介して群の3次コホモロジー群と関係している。クロス加群はホモトピー2型（homotopy 2-type）のモデルや群の高次元化とみなせることから、ホモトピー論を超えて様々な数学と関連している。さらにクロス加群から本研究の主な対象であるカンドルが誘導される。Huebschmann（2012）はブレイド群のSchur被覆がブレイド群上の一元生成自由クロス加群であることを示している。そこで本研究では研究代表者の学生であった川崎理佳子と共同でブレイド群のSchur被覆の有限表示を求めた。表示を求める際には対称群のZ/2に値を持つ2コサイクルの具体的な値の計算が鍵となった。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2017年04月 -2020年03月代表者 : 秋田 利之Coxeterカンドルの随伴群はCoxeter群とArtin群の中間的な群であり、随伴群のコホモロジーの研究はCoxeter群とArtin群両者のコホモロジーの研究に資する。本研究ではCoxeterカンドルの随伴群の有理数係数コホモロジー環を完全に決定し、また随伴群のHepworth族がホモロジー安定性を持つことを示した。さらに随伴群のmod pコホモロジー群の消滅域の評価を与えた。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2014年04月 -2017年03月代表者 : 秋田 利之, 佐藤 隆夫, 吉永 正彦本研究では閉曲面の写像類群、Coxeter群とArtin群およびそれらに関連する群のコホモロジーを主な対象とした。成果としてCoxeter群に関しては(1)Coxeter群のp局所的ホモロジー群に対する消滅定理(2)有限Coxeter群の交代部分群のmod pコホモロジーに対する消滅定理を得た。Artin群に関しては(3)任意のArtin群の2次のmod 2ホモロジー群を完全に決定した。(2)と(3)はYe Liuとの共同研究である。最後にCoxeterカンドルの随伴群がCoxeter群Wの自由アーベル群による中心拡大かつWの交換子群と自由アーベル群の半直積の構造を併せ持つことを示した。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2011年 -2013年代表者 : 秋田 利之, 橋本 義武有限群Gをモノドロミー群とするコンパクトRiemann面のGalois被覆に対して、被覆から定まる特性類(Mumford-Morita-Miller類)を表すコサイクルを構成した。構成には群のコホモロジーにおけるトランスファー写像、河澄・植村の公式などを用いた。また特性類の周期性およびSteenrod作用素との関係を用いることにより、被覆から定まる特性類のmod pコサイクルの族を構成した(pは素数)。さらにCoxeter群のp局所ホモロジーが消滅するための十分条件を得た。証明ではCoxeter複体の同変ホモロジーの考察が鍵となった。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2008年 -2011年代表者 : 秋田 利之, 大本 亨, 渡邉 忠之, 吉田 知行, 栗林 勝彦, 柳田 伸顕閉曲面上の有限群作用(閉曲面上のGalois被覆)全体を同時に扱う枠組みをある種の函手として構成した。作用に対して定義される特性類(Mumford-Morita-Miller類とNewton類)を函手の自然変換して記述した。これらの特性類の間の関係をRiemann-Roch型の公式として記述した。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2007年 -2009年代表者 : 森田 茂之, 古田 幹雄, 坪井 俊, 河野 俊丈, 河澄 響矢, 松本 真, 三松 佳彦, 北野 晃朗, 藤原 耕二, 村上 順, 秋田 利之, 廣瀬 進, 森藤 孝之, 鈴木 正明, 笠原 泰, 逆井 卓也リーマン面のモジュライ空間およびグラフのモジュライ空間、そしてそれらに同伴する、曲面の写像類群および自由群の自己同型群等のモジュラー群は、代数幾何学、複素解析学、微分幾何学、位相幾何学、数理物理学等、数学の多くの分野にまたがる極めて重要な研究対象である。本研究では、これらのモジュライ空間およびモジュラー群の、主として位相幾何学の観点からの研究を推進し、多くの成果を挙げた。また、密接に関連する3、4次元多様体論や横断的にシンプレクティックな葉層構造の特性類の理論においても、新しい結果や予想を得た。さらに数論を含む新しい方向への深い問題提起を行った。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2006年 -2009年代表者 : 河澄 響矢, 松本 幸夫, 森田 茂之, 橋本 義武, 澁川 陽一, 秋田 利之, 遠藤 久顕, 足助 太郎, 田所 勇樹ベネ、ペナー両氏との共同研究で、リーマン面の組み合わせ構造を写像類群の代数的な構造に直接結びつける道具である、ファットグラフ・マグナス展開を発見した。リーマン面の新しい解析的不変量を発見し、それを用いてリーマン面のモジュライ空間の「曲がり具合」を記述した。久野雄介氏との共同研究で、リーマン面の交叉形式の二つの精密化であるゴールドマン・リー代数と斜交的導分のリー代数を結びつける新しい方法を発見し、応用として、非可換ピカール・レフシェッツ公式を証明した。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2005年 -2008年代表者 : 大本 亨, 與倉 昭治, 諏訪 立雄, 石川 剛郎, 秋田 利之, 與倉 昭治, 諏訪 立雄, 石川 剛郎, 秋田 利之研究代表者の同変特異チャーン類理論を基礎に, 種々のオビフォルド・特異チャーン類を定義した. 特に, 古典的群論における置換表現の数え上げ公式をオビフォルド特性類に拡張したものとして, 代数多様体の対称積に関するオビフォルド・特異チャーン類の生成母関数公式を示した. これは, 特異チャーン類理論の数え上げ幾何あるいはマッカイ対応への応用に向けた足場となる.
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2005年 -2007年代表者 : 秋田 利之, 井関 裕靖, 廣瀬 進, 保坂 哲也, 河澄 響矢, 大本 亨閉曲面の写像類群、Coxeter群、Artin群のコホモロジーをはじめとする離散群のコホモロジーは、未だに未解明の部分が多い。本研究では以下の3つのテーマを軸として、上に挙げた群をはじめとする離散群のコホモロジーを研究した。 (1)有限部分群のコホモロジーとの関係 (2)離散群が作用する空間(複体・多様体)と組合せ構造 (3)代数的な手法(組合せ論・自由分解など) (1)は「離散群の有限部分群のコホモロジーおよびその射影的極限を調べることにより、離散群のコホモロジーの"1次近似"を得ること」を主な目的とした。主な成果として秋田と河澄による「写像類群の巡回部分群に対するGrothendieckのRiemann-Roch定理の整係数コホモロジーにおける類似(整係数Riemann-Roch公式)」が挙げられる。 (2)ではこれらの複体の幾何構造をコホモロジーの研究にも応用することを目的とした。井関、保坂により多くの結果が得られた。(3)に該当する成果として秋田の「偶数次元多様体のEuler数」と廣瀬の「周期的写像の表示」の研究が挙げられる。前者は一般化されたDehn-Sommerville公式を用いることによりEuler数の通常とは異なる公式を与えたものである。さらに秋田は写像類群のmod p森田-Mumford類へのSteenrod作用素の作用を完全に決定し、それと古典的なKummerの合同式を用いて、多くの場合にmod p Riemann-Roch公式が成立することを証明した。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2002年 -2005年代表者 : 石川 剛郎, 山口 佳三, 泉屋 周一, 小野 薫, 秋田 利之, 大本 亨, 諏訪 立雄, 宮岡 礼子研究が研究期間内に順調に進展し,研究課題に関して次のような著しい成果を得ることができた:モンジュ・アンペール方程式の幾何学的解の特異点(ガウス曲率一定曲面の特異点やアファイン球面の特異点など)の分類,グルサ分布の分類と特異ルジャンドル曲線の分類を明確に結び付ける「グルサ・ルジャンドル対応」の解明,特異ルジャンドル多様体の分類基礎理論(安定性,余次元,有限確定性,ヴァーサリティー)の構築,特異ルジャンドル曲線の分類問題への基礎理論の応用,可展面の特異点の分岐に対する外微分式系の応用,射影双対で双退化する部分多様体に関するアダムス数評価,コイソトロピック写像の特異点理論の導入,シンプレクティック・モデュライ空間の局所化定理の証明,写像商空間の微分構造に関する基礎理論の構築,特異ルジャンドル結び目の分類理論(diffeomorphism-isotopyによる分類とcontactomorphism-isotopyによる分類の合致),3変数モンジュ・アンペール方程式の新しい特異点の発見,ユニモダル平面曲線の分類とそのシンプレクティック・モジュライ空間の決定,ルジャンドル曲線の分類問題との類似性の発見.引き続き,微分式系への応用特異点論として,研究をさらに発展させ展開していく予定である.
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2002年 -2004年代表者 : 秋田 利之写像類群に対するGrothendieck-Riemann-Rochの定理の、整係数コホモロジーにおける類似(整係数Grothendieck-Riemann-Roch公式)を証明すること、その応用として写像類群の整係数コホモロジーの構造を解明することを目的として研究を進めた。今年度は(i)コホモロジー作用素とGysin準同型(ファイバーに沿った積分)の関係(ii)前項の結果の整係数Grothendieck-Riemann-Roch公式への応用を中心に研究を進め以下の結果を得た。 1.向き付けられた閉多様体をファイバーとするファイバー束に対し、コホモロジー作用素(Steenrod作用素)とGysin準同型との非可換性が、相対接束(ファイバーに沿った接束)の全Stiefel-Whitney類または全Wu類で記述されることを前年度に示したが、この結果の別証明をBecker-Gottliebトランスファーを用いて与えた。 2.前項の結果と整数論のKummerの恒等式を組み合わせることにより、写像類群に対する整係数Grothendieck-Riemann-Roch公式の素数pを法とする還元(mod p Grothendieck-Riemann-Roch公式)が無限に多くの場合に正しいことを証明した。 3.写像類群の安定森田-Mumford類には非自明な関係式がないことが知られていたが、そのmod p還元には、多くの非自明な関係式があることを示した。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2002年 -2004年代表者 : 河澄 響矢, 松本 幸夫, 森田 茂之, 橋本 義武, 澁川 陽一, 秋田 利之, 大場 清最大の成果は、スタシェフ結合多面体とマグナス展開との密接なつながりが明らかになったことである。これによってねじれ係数森田マンフォード類をあらわす微分形式が、スタシェフ結合多面体によって「無限小的には」「組み合わせ的に」パラメントライズされることがわかった。ここにある二つの「」をはずすことが今後の課題である。 調和的マグナス展開の理論をリーマン面の普遍族でも実行した。これにより普遍族上の1次微分形式の列と関係式のもう1つの列がえられた。正規第3種アーベル積分の擬等角変分が与える普遍族上の1次微分形式はこの列の1番目にあたる。結果として、(0,3)-ねじれ係数森田マンフォード類と第一ジョンソン写像とがモジュライ空間の上の微分形式としても一致することが分かった。 自由群の自己同型群のマグナス表現をフォックス自由微分を使わない内在的なやり方で再構成した。このことは森田トレースの内在的な構成をも意味する。これらの対象と調和的マグナス展開との関係を解明するのは、今後の課題である。 なお、研究集会「多様体のトポロジーの未来へ」を共催し、とくに世界的な圭の専門家である斎藤昌彦氏から情報提供をうけた。そもそもの興味は、圭と自由群の自己同型群の関連に由来していたが、これが同時に集合論的ヤン・バクスター方程式と関連することを知ったのは今後の研究の展開に有益であると思われる。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2001年 -2003年代表者 : 森田 茂之, 中村 博昭, 河澄 響也, 古田 幹雄, 村上 順, 秋田 利之, 森吉 仁志本研究では,曲面の写像類群とリーマン面のモジュライ空間の構造の解明を中心課題とし,それに密接に関連する種々の問題についての研究を行った. 具体的には,写像類群のコホモロジー群の研究,Floerホモトピー型の理論の展開,3次元多様体のゲージ理論に基づく位相不変量の研究,写像類群の調和的Magnus展開の理論の建設,Grothendieck-Teichm\"uller群の構造の研究,3次元多様体論における体積予想の研究,3・4次元における非可換幾何学の展開,写像類群の有限部分群と特性類の関係に関する研究,写像類群のJohes表現の研究,写像類群と4次元多様体論との関連,等である. このように代表者および各分担者はそれぞれのテーマを追究する一方で,相互啓発により一段高い観点からの研究を目指した.その中から,例えば写像類群の幾何学とシンプレティック幾何学との結びつきや,写像類群と自由群の外部自己同型群の構造の類似点および相違点の解明等の新しい研究の方向も見えてきた.
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2000年 -2001年代表者 : 秋田 利之本年度は主に向きづけられた閉曲面の写像類群の森田-Mumford類の素数pを法とする還元の自明性、写像類群の有限部分群の森田-Mumford類と2次元同変ボルディズム群およびG-符号数との関係、同変コホモロジーの局所化定理と森田-Mumford類との関係の三つの課題を中心に研究を進めた。それぞれの課題について得られた成果を項目にわけて以下に述べる。 第1に素数pに対し、写像類群の部分群Gが閉曲面の余接束のmod pコホモロジーに自明に作用するならば、Gの森田-Mumford類はすべて自明であることを示した。とくにスピン写像類群のmod2森田-Mumford類は全て自明であることを証明した。 第2に昨年度に引き続き、2次元(有向)同変ボルディズム群と写像類群の有限部分群の森田-Mumford類との関係を研究した。まず有限群の2次元同変ボルディズム群から有限群の分類空間のコホモロジー群への準同型を導入し、その準同型を用いて奇数次の森田-Mumford類が記述できることを示した。さらにその準同型とG-符号数との関係をEichlerの跡公式などを用いて調べることにより、奇数次の森田-Mumford類の2倍がG-符号数で決まることの簡単な証明を得た。 第3に同変コホモロジーの局所化定理を用いて写像類群の有限部分群の森田-Mumford類の不動点公式(植村-河澄公式)の別証明を得た。さらに同変K理論の局所化定理を用いてコホモロジー表現のChern類との関係を調べた。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 1999年 -2001年代表者 : 河澄 響矢, 大場 清, 森田 茂之, 松本 幸夫, 秋田 利之, 澁川 陽一, 皆川 宏之, 廣瀬 進, 笹原 泰, 橋本 義武写像類群の有理コホモロジー(分担者森田と代表者):リーマン面のモジュライ空間のコホモロジー環のジョンソン準同型による第一近似が非安定的にも森田マンフォード類で生成されることを論文にまとめた。有限グラフからねじれ係数森田マンフォード類への対応のグラフの退化に伴う振る舞いを完全に記述した。 モジュライ空間の微分幾何学とマグナス展開(代表者):普遍リーマン面の相対接束の接続と二次微分の関係を細部にいたるまで明らかにした。点付き写像類群でのねじれ係数森田マンフォード類のIH関係式と森田マンフォード類の微分形式表示が、リーマン面の複素構造の定める調和的マグナス展開というものによって統一的に扱うことが出来ることが分かった。さらに、調和的マグナス展開の擬等角第一変分を具体的な有理型二次微分として求めた。この二次微分は複素解析的手法による写像類群の研究の重要な鍵となるであろう。 写像類群のトージョンコホモロジー(分担者秋田と代表者):分担者秋田による森田・マンフォード類についての予想を中心に研究した。秋田と代表者は準自由作用の場合に肯定的に証明した。代表者は超楕円的写像類群の上で、森田・マンフォード類の振る舞いを完全に計算し超楕円的写像類群では予想が成り立つことを証明した。秋田は写像類群の有限部分群の奇数次の森田マンフォード類の2倍が、G-符号数の不変量であるという著しい結果を証明した。 ブルスキ・カロジェロ方程式(分担者澁川と代表者):一変数有理型函数解を完全に求めた。澁川はこれを用いて一変数有理型函数の空間に作用するR-作用素を完全に分類した。 詳細および他の成果は、研究成果報告書(冊子体)において報告する。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 1997年 -1998年代表者 : 秋田 利之本年度は主に向きづけられた閉曲面の周期的微分同相写像と曲面束の特性類との関係、および曲面束のmod 2特性類(とくにmod 2森田-Mumfrod類)の構造について研究した。 1. 閉曲面の周期的微分同相に対し、その写像トーラスのη不変量、G-符号数、および第一森田-Mumford類の関係を明らかにした。とくに写像トーラスのη不変量のG-符号数による表示を見い出し、また閉曲面の周期的微分同相(あるいは写像類群の有限部分群)の第一森田-Mumford類の消滅が写像トーラスのη不変量の整数性で特徴づけられることを証明した。さらに閉曲面の周期的微分同相の奇数次の森田-Mumford類がG-符号数とLefschetz数で決定されることを発見した。一方で偶数次の森田-Mumford類はG-符号数とLefschetz数のみでは決らないことを示した。 2. 写像類群のmod 2森田-Mumford類の消滅について種々の結果を得た。とくに(1)種数が2または3の写像類群(2)写像類群の有限部分群(3)レベル2の写像類群に対してはそれらのmod 2森田-Mumford類が消滅することを証明した。また一般にmod 2森田-Mumford類が幕零であることを証明した。これらの結果を用いて曲面束の同境に関して種々の結果を得た。とくに種数2の曲面束あるいは自明な同伴Hodge束をもつ曲面束の全空間が有向零同境であることを証明した。 3. 種数7以上の有向曲面のTorelli群の有理コホモロジーが穴(puncture)と境界成分の個数によらず常に無限次元であることを証明した。これは昨年度に得られた結果を拡張したものである。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 1997年 -1998年代表者 : 小田 信行, 秋山 獻之, 秋山 獻之, 秋田 利之, 黒瀬 俊, 井上 淳, 小田 信行ホモトピー集合における幾何学的な構成を調べた.ガンマ・ホワイトヘッド積やガンマ・ホップ構成などの性質の解明とそれらの応用に関する成果を得た.ペアリングとコペアリングに対し幾何学的に変換の概念を導入し,それらがガンマ・ホワイトヘッド積やガンマ・ホップ構成の間の関係を与えることを示した.ペアリングやコペアリングにより誘導される演算とスマッシュ積との関係を与える公式を証明した.Hardie-Jansen積の一般化とその性質の解明に成功した.これらの概念の双対の結果も得た. 作用素環における幾何学的構成を調べるため,非有界作用素環の構造を研究した.非有界冨田-竹崎理論,*-代数上の非有界C^*-セミノルムの研究,*-代数上のweightの研究,非有界冨田-竹崎理論が展開可能となるstandard weightの研究に関する成果を得た. アフィン空間における幾何的な構成を試み,3次元アフィン空間のアフィンガウス・クロネッカー曲率が一定な曲面が計量的であるための必要十分条件を与えた.4次元アフィン空間の自己双対な極小中心アフィン曲面に対する表現公式を証明した. 群論における幾何学的な構成を研究するため,閉曲面の写像類群とその部分群のコホモロジーを研究し,周期的微分同相写像の森田-Mumford類とη-不変量およびG-符号数のあいだの関係,mod2森田-Mumford類の種々の消滅定理を得た. 積型シュアー環を共線変換群のある部分群の存在で特徴付けた.さらにそのようなシュアー環で差集合に近い積差集合を持つもの(積差集合型シュアー環)を考え,その存在が位数n(n-1)のある特別な共線変換群を持つ位数nの有限射影平面と同値である事を示した.
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 1997年 -1998年代表者 : 石黒 賢士, 秋田 利之, 黒瀬 俊, 小田 信行平成9年度〜平成10年度において、研究代表者および分担者全員が研究課題に直接・間接に関連する研究活動を精力的に行った。その成果として様々な結果が研究論文や講演等のかたちで表わされた。ここでは、それらについて概説する。研究代表者はホモトピー論的手法によるLie群論の一般化可能性に関する研究を行った。分類空間の代数構造、幾何構造及び位相構造についてコホモロジー論等を用いて調べた。具体的には、分類空間のカテゴリーでのペアリングの理論の研究を継続し、p-コンパクト群、特にp-toral群の持つ特別な性質についての研究結果を得た。この研究は、群の積からの準同型に関するホモトピー論的特徴付けとなるもので、ある種の写像空間に関する情報がその応用として得られる。その内容は、weak epimorphismの場合に得られた結果を2通りの方法でmonomorphismの場合に拡張することや、コンパクトLie群とp-コンパクト群の写像空間レベルでの差異に関する研究などであった。BGのp-完備化のループ空間がp-compact toral群であるための必要十分条件を得た。また、K-理論を用いて、ユニタリー群の分類空間のコホモロジー論とWeyl群の関係、そしてSteernod代数上のunstable algebraの実現問題についての研究結果も得た。更に、有限loop空間の位相的性質に着目して、主にfake Lie群などを調べるgenus問題を研究した。また、分担者3名は、Whitehead積の一般化とペアリングの間のtransformationという概念の導入と応用およびその双対、情報幾何において、確率分布の空間に与えられる幾何構造、Coxeter群のコホモロジー、閉曲面の写像類群とその部分群のコホモロジーなどをそれぞれ研究した。これらの研究は分類空間のホモトピー論の研究にとって重要であった。上記の諸問題に関する研究の結果、研究代表者および分担者を著者・共著者とする13編の論文が完成した(うち9編既出版,4編刊行予定)。「分類空間のホモトピー論」に関する研究をこのように進展させることができたのは2年間の科学研究費補助金の賜である。その支給に対し深く感謝する。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 1996年 -1996年代表者 : 陶山 芳彦, 荻 秀和, 秋田 利之, 高倉 樹, 黒瀬 俊, 吉田 守1.どのような共形平坦な多様体が,定曲率空間の超曲面として実現されるかという問題を研究し,4次元以上の(ある種の)共形平坦な多様体に関して,それらの多様体から定曲率空間への共形的はめ込みの具体的構成法を発見した。更に,上の構成ではめ込み可能な多様体の共形類を決定するために,それらの超曲面から球面への展開写像の構成を行った。 2.射影平坦で捩れをもたないアフィン接続が与えられた単連結多様体の射影展開写像について研究し,次ぎの結果を得た。3次元以上で接続に関して極を持つ多様体のリッチ曲率が対称で負定値ならば,その展開写像は単射であり,像は射影空間の凸集合となる。 3.シンプレクティック・トーリック多様体上に,退化した不変偏極の族を構成し,同伴する幾何学的量子化の推移において,特殊なラグランジュ部分多様体上への極所化現象が起こることを示した。 4.閉曲面上の平坦接続のモジュライ空間の幾何学的量子化(一般化されたテ-タ関数の空間)の次元に関するフェアリンデの分解公式の,シンプレクティック幾何的な証明について研究した。その方法は,ハミルトン的群作用の下での幾何学的量子化に関する重複度公式を応用するというものである。