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Degree

• (BLANK)（Kyoto University）

Profile and Settings

• Name (Japanese)

  Hora

• Name (Kana)

  Akihito

• Name

  200901033404037963

Achievement

Research Interests

• functional analysis, probability theory   

Research Areas

• Natural sciences / Basic analysis / Functional Analysis

Published Papers

• Projective representations and spin characters of complex reflection groups G(m,p,n) and G(m,p,∞), III

  Takeshi Hirai, Akihito Hora

  Kyoto Journal of Mathematics 62 (1) 1 - 94 2156-2261 2022/04/01 [Refereed]
  
• Effect of microscopic pausing time distributions on the dynamical limit shapes for random Young diagrams

  Akihito Hora

  Electronic Journal of Probability 2020 [Refereed]
  
• A Diffusive Limit for the Profiles of Random Young Diagrams by Way of Free Probability

  Akihito Hora

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 51 (4) 691 - 708 0034-5318 2015/12 [Refereed][Not invited]
   

  Concentration phenomena in statistical ensembles of Young diagrams have been investigated as static models first for the Plancherel ensemble by Vershik-Kerov and Logan-Shepp in 1970s and later in some other group-theoretical setting by Biane. On the other hand, a dynamical model of concentration for Young diagrams, which is not directly connected with group representations, was shown by Funaki-Sasada in the framework of hydrodynamic limit. The aim of this paper is to present a new dynamical model of concentration for Young diagrams featuring the group-theoretical sense. Starting from an initial state yielding concentration and a microscopic dynamics keeping the Plancherel measure invariant, we derive an evolution of the profiles of Young diagrams under a diffusive scaling limit. The resulting evolution along macroscopic time is described in terms of the notions of Voiculescu's free probability theory such as free compression and free convolution of Kerov transition measures.
• Spin representations of twisted central products of double covering finite groups and the case of permutation groups

  Takeshi Hirai, Akihito Hora

  JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN 66 (4) 1191 - 1226 0025-5645 2014/10 [Refereed][Not invited]
   

  Let S be a finite group with a character, sgn, of order 2, and S' its central extension by a group Z = < z > of order 2. A representation pi of S' is called spin if pi (z sigma') = -pi(sigma') (sigma' is an element of S'), and the set of all equivalence classes of spin irreducible representations (= IRs) of S' is called the spin dual of S'. Take a finite number of such triplets (S-j', z(j), sgn(j)) (1 <= j <= m). We define twisted central product S' = S-1' (*) over cap S-2'...(*) over capS(m)' as a double covering of S = S-1 x...x S-m, S-j = S-j'/< z(j)>, and for spin IRs pi(j) of S-j', define twisted central product pi = pi(1)(*) over cap pi(2)(*) over cap...(*) over cap pi(m) as a spin IR of S'. We study their characters and prove that the set of spin IRs pi of this type gives a complete set of representatives of the spin dual of S', These results are applied to the case of representation groups S' for S = G(n), and 2L(n), and their (Frobenius-)Young type subgroups.
• Harmonic functions on the branching graph associated with the infinite wreath product of a compact group

  Akihito Hora, Takeshi Hirai

  Kyoto Journal of Mathematics 54 (4) 775 - 817 2156-2261 2014 [Refereed][Not invited]
   

  Adetailed study of the characters of script G∞(T), the wreath product of compact group T with the infinite symmetric group script G∞, is indispensable for harmonic analysis on this big group. In preceding works, we investigated limiting behavior of characters of the finite wreath product script Gn(T) as n → ∞ and its connection with characters of script G∞(T). This paper takes a dual approach to these problems. We study harmonic functions on double-struck Y(T), the branching graph of the inductive system of script Gn(T)'s, and give a classification of the minimal nonnegative harmonic functions on it. This immediately implies a classification of the characters of script G∞(T ), which is a logically independent proof of the one obtained in earlier works. We obtain explicit formulas forminimal nonnegative harmonic functions on double-struck Y(T) and Martin integral expressions for harmonic functions.
• ヤング図形のエルゴード的な統計集団における集中現象

  洞 彰人

  数理解析研究所講究録 1825 75 - 90 2013 [Not refereed][Invited]
  
• LIMITS OF CHARACTERS OF WREATH PRODUCTS G(n) (T) OF A COMPACT GROUP T WITH THE SYMMETRIC GROUPS AND CHARACTERS OF G(infinity)(T), I

  Takeshi Hirai, Etsuk Hirai, Akihito Hora

  NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL 193 1 - 93 0027-7630 2009/03 [Refereed][Not invited]
   

  In the first half of this paper, all the limits of irreducible Characters of G(n) = G(n) (T) as n -> infinity are calculated. The set of all continuous limit functions on G = G(infinity)(T) is exactly equal to the set of all characters of G determined in [HH6]. We give a necessary and sufficient condition for a series of irreducible characters of G, to have a continuous limit and also such a condition to have a discontinuous limit. In the second half, we study the limits of characters of certain induced representations of G(n) which are usually reducible. The limits turn out to be characters of G, and we analyse which of irreducible components are responsible to these limits.
• Representations of symmetric groups and asymptotic combinatorics

  Hora, A

  Sugaku Expositions 22 (1) 91 - 106 2009 [Refereed][Not invited]
  
• TOWARDS PROJECTIVE REPRESENTATIONS AND SPIN CHARACTERS OF FINITE AND INFINITE COMPLEX REFLECTION GROUPS

  Takeshi Hirai, Etsuko Hirai, Akihito Hora

  INFINITE DIMENSIONAL HARMONIC ANALYSIS IV 112 - + 2009 [Refereed][Not invited]
   

  Our main aim is to study the characters of projective factor representations of infinite complex reflection groups G(m, p, infinity) = lim(n ->infinity) G(m, p, n) containing infinite generalized symmetric groups G(m, 1, infinity) = G(infinity) (Z(m)), which is similar to our study on wreath products G(infinity)(T) = D-infinity (T) x G(infinity) of the infinite symmetric group G(infinity) with any finite or compact groups T. To begin with, here we briefly review and extend some results on representation groups and spin characters of finite Weyl groups and also of generalized symmetric groups G(m, 1, n) = G(n)(Z(M)). Then we show some basic results for G(m, p, infinity), the inductive limits of complex reflection groups G(m,p,n).
• Limits of characters of wreath products Gn(T) of a compact group T with the symmetric groups and characters of G(infinity)(T), II From a viewpoint of probability theory

  Akihito Hora, Takeshi Hirai, Etsuko Hirai

  JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN 60 (4) 1187 - 1217 0025-5645 2008/10 [Refereed][Not invited]
   

  This paper is the second part of our study on limiting behavior of characters of wreath products (n)(T) of compact group T as n -> infinity and its connection with characters of infinity(T). Contrasted with the first part, which has a representation-theoretical flavor, the approach of this paper is based on probabilistic (or ergodic-theoretical) methods. We apply boundary theory for a fairly general branching graph of infinite valencies to wreath products of an arbitrary compact group T. We show that any character of infinity(T) is captured as a limit of normalized irreducible characters of (n)(T) as n -> infinity along a path on the branching graph of infinity(T). This yields reconstruction of an explicit chaxacter formula for infinity(T).
• Asymptotic spectral analysis of growing regular graphs

  Akihito Hora, Nobuaki Obata

  TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 360 (2) 899 - 923 0002-9947 2008 [Refereed][Not invited]
   

  We propose the quantum probabilistic techniques to obtain the asymptotic spectral distribution of the adjacency matrix of a growing regular graph. We prove the quantum central limit theorem for the adjacency matrix of a growing regular graph in the vacuum and deformed vacuum states. The condition for the growth is described in terms of simple statistics arising from the strati. cation of the graph. The asymptotic spectral distribution of the adjacency matrix is obtained from the classical reduction.
• Jucys-Murphy element and walks on modified Young graph

  Hora, A

  Banach Center Publ. 73 223 - 235 2006 [Refereed][Not invited]
  
• Realizations of factor representations of finite type with emphasis on their characters for wreath products of compact groups with the infinite symmetric group

  Takeshi Hirai, Etsuko Hirai, Akihito Hora

  JOURNAL OF MATHEMATICS OF KYOTO UNIVERSITY 46 (1) 75 - 106 0023-608X 2006 [Refereed][Not invited]
   

  Characters of factor representations of finite type of the wreath products G = G(infinity)(T) of any compact groups T with the infinite symmetric group G(infinity). were explicitly given in [HH4]-[HH6], as the extremal continuous positive definite class functions f(A) on G determined by a parameter A. In this paper, we give a special kind of realization of a factor representation pi(A) associated to f(A). This realization is better than the Gelfand-Raikov realization pi f, f = f(A), in [GR] at least at the point where a matrix element (pi(A) (g) v(0), v(0)) of pi(A) for a cyclic-vector v(0) can be calculated explicitly, which is exactly equal to the character f(A) (and so pi(A) has a trace-element v(0)). So the positive-definiteness of class functions f(A) given in [HH4]-[HH6] is automatically guaranteed, a proof of which occupies the first half of [HH6] in the case of T infinite. The case where T is abelian contains the cases of infinite Weyl groups and the limits G(infinity) (Z(r)) = lim(n ->infinity) (r, 1, n) of complex reflexion groups.
• 対称群の表現と漸近的組合せ論

  洞 彰人

  数学 The Mathematical Society of Japan 57 (3) 242 - 254 0039-470X 2005 [Refereed][Invited]
  
• Remark on Biane's character formula and concentration phenomenon in asymptotic representation theory

  Hora, A

  Infinite Dimensional Harmonic Analysis 3 141 - 159 2005 [Refereed][Not invited]
  
• The limit shape of Young diagrams for Weyl groups of type B

  Hora, A

  Oberwolfach Reports 2 (2) 2005 [Refereed][Not invited]
  
• An interacting Fock space with periodic Jacobi parameter obtained from regular graphs in large scale limit

  Hora, A, Obata, N

  Quantum Information 5 121 - 144 2005 [Refereed][Not invited]
  
• Free Probability and Asymptotic Representation Theory of Symmetric Groups

  Hora, A

  RIMS Kokyuroku 京都大学 1418 10 - 40 1880-2818 2005 [Not refereed][Invited]
  
• Asymptotic spectral analysis on the Johnson graphs in infinite degree and zero temperature limit

  Hora, A

  Interdisciplinary Information Sciences 東北大学 10 (1) 1 - 10 1340-9050 2004 [Refereed][Not invited]
   

  We discuss a scaling limit of the spectral distribution of the adjacency operator (or Laplacian) on the Johnson graph J(v,d) with respect to the Gibbs state associated with the graph. (The adjacency operator on J(v,d), whose vertices consist of the d-subsets of a v-set, gives us the Bernoulli–Laplace diffusion model.) We compute the limit distribution and its moments exactly in the situation of infinite degree (v,d→∞) and zero temperature (β→∞) limit where the three parameters v, d and β keep appropriate scaling balances. A method of quantum decomposition of an adjacency operator plays a key role for expressing the limit moments in terms of a creation operator, an annihilation operator and a number operator on a suitable Hilbert space. Using this expression, we analyze the limit moments in detail in combinatorial and analytical ways. In our previous work [Hora, A., Probab. Theory Relat. Fields, 118: 115–130 (2000)], a partial solution was given where v=2d and some additional constraints of scaling were assumed. In this note, we remove all such restrictions.
• Scaling limit for Gibbs states of Johnson graphs and resulting Meixner classes

  A Hora

  INFINITE DIMENSIONAL ANALYSIS QUANTUM PROBABILITY AND RELATED TOPICS 6 (1) 139 - 143 0219-0257 2003/03 [Refereed][Not invited]
   

  Asymptotic behavior of spectral distribution of the adjacency operator on the Johnson graph with respect to the Gibbs state is discussed in infinite volume and zero temperature limit. The limit picture is drawn on the one-mode interacting Fock space associated with Meixner polynomials.
• A noncommutative version of Kerov's Gaussian limit for the plancherel measure of the symmetric group

  A Hora

  ASYMPTOTIC COMBINATORICS WITH APPLICATIONS TO MATHEMATICAL PHYSICS 1815 77 - 88 0075-8434 2003 [Refereed][Not invited]
   

  We give a noncommutative extension of Kerov's central limit theorem for irreducible characters of the symmetric group with respect to the Plancherel measure [S.Kerov: C. R. Acad. Sci. Paris 316 (1993)] in the framework of algebraic probability theory. For adjacency operators associated with the cycle classes, we consider their decomposition according to the length function on the Cayley graph of the symmetric group. We develop a certain noncommutative central limit theorem for them, in which the limit picture is described by creation and annihilation operators on an analogue of the Fock space equipped with an orthonormal basis labelled by Young diagrams. The limit Gaussian measure in Kerov's theorem appears as the spectral distribution of the field operators in our setting.
• Quantum decomposition and quantum central limit theorem

  A Hora, N Obata

  FUNDAMENTAL ASPECTS OF QUANTUM PHYSICS 17 284 - 305 1793-5121 2003 [Refereed][Not invited]
   

  On the basis of the canonical relation between an interacting Fock space and a system of orthogonal polynomials we introduce the notion of quantum decomposition of a real random variable in an algebraic probability space. To understand prototypes we review some basic examples appearing from the Boson, Fermion, and free Fock spaces. We then prove quantum central limit theorems for the quantum components of the adjacency matrices (combinatorial Laplacians) of a growing family of regular connected graphs. As a corollary, asymptotic properties of the adjacency matrix are obtained. Concrete examples include lattices, homogeneous trees, Cayley graphs of the Coxeter groups, Hamming graphs and Johnson graphs. In particular, asymptotic spectral distribution of the adjacency matrix of a Johnson graph is described by an interacting Fock space corresponding to the Meixner polynomials which are one-parameter deformation of the Laguerre polynomials.
• Central limit theorems for large graphs: Method of quantum decomposition

  Y Hashimoto, A Hora, N Obata

  JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS 44 (1) 71 - 88 0022-2488 2003/01 [Refereed][Not invited]
   

  A new method is proposed for investigating spectral distribution of the combinatorial Laplacian (adjacency matrix) of a large regular graph on the basis of quantum decomposition and quantum central limit theorem. General results are proved for Cayley graphs of discrete groups and for distance-regular graphs. The Coxeter groups and the Johnson graphs are discussed in detail by way of illustration. In particular, the limit distributions obtained from the Johnson graphs are characterized by the Meixner polynomials which form a one-parameter deformation of the Laguerre polynomials (C) 2003 American Institute of Physics.
• ヤング図形の極限形状とゆらぎにまつわる漸近的組合せ論

  洞 彰人

  数理解析研究所講究録 1310 85 - 104 2003 [Not refereed][Invited]
  
• Noncommutative aspect of central limit theorem for the irreducible characters of the symmetric groups

  Hora, A

  Quantum Probability and White Noise Analysis 16 318 - 328 2002 [Refereed][Not invited]
  
• 量子分解法による隣接作用素のスペクトル解析 I: 個数作用素が現れない場合

  尾畑伸明, 洞彰人

  数理解析研究所講究録 京都大学 1291 11 - 44 1880-2818 2002 [Not refereed][Invited]
  
• Gibbs state, quadratic embedding, and central limit theorem on large graphs

  Hora, A

  Quantum Information 3 67 - 74 2001 [Refereed][Not invited]
  
• The symmetric groups and algebraic central limit theorems

  Hora, A

  RIMS Kokyuroku 京都大学 1227 145 - 153 1880-2818 2001 [Not refereed][Invited]
  
• Gibbs state on a distance-regular graph and its application to a scaling limit of the spectral distributions of discrete Laplacians

  A Hora

  PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDS 118 (1) 115 - 130 0178-8051 2000/09 [Refereed][Not invited]
   

  On the adjacency algebra of a distance-regular graph we introduce an analogue of the Gibbs state depending on a parameter related to temperature of the graph. We discuss a scaling limit of the spectral distribution of the Laplacian on the graph with respect to the Gibbs state in the manner of central limit theorem in algebraic probability, where the volume of the graph goes to infinity while the temperature tends to 0. In the model we discuss here (the Laplacian on the Johnson graph), the resulting limit distributions farm a one parameter family beginning with an exponential distribution (which corresponds to the case of the vacuum state) and consisting of its deformations by a Bessel function.
• Scaling limit of the spectral distributions of the Laplacians on large graphs

  Hora, A

  Infinite dimensional harmonic analysis 2 192 - 202 2000 [Refereed][Not invited]
  
• An axiomatic approach to the cut-off phenomenon for random walks on large distance-regular graphs

  Hora, A

  Hiroshima Mathematical Journal 広島大学 30 (2) 271 - 299 0018-2079 2000 [Refereed][Not invited]
  
• Central limit theorem for the adjacency operators on the infinite symmetric group

  A Hora

  COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS 195 (2) 405 - 416 0010-3616 1998/07 [Refereed][Not invited]
   

  An adjacency operator on a group is a formal sum of(left) regular representations over a conjugacy class. For such adjacency operators on the infinite symmetric group which are parametrized by the Young diagrams, we discuss the correlation of their powers with respect to the vacuum vector state. We compute exactly the correlation function under suitable normalization and through the infinite volume limit. This approach is viewed as a central limit theorem in quantum probability, where the operators are interpreted as random variables via spectral decomposition. In [K], Kerov showed the corresponding result for one-row Young diagrams. Our formula provides an extension of Kerov's theorem to the case of arbitrary Young diagrams.
• Central limit theorems and asymptotic spectral analysis on large graphs

  A Hora

  INFINITE DIMENSIONAL ANALYSIS QUANTUM PROBABILITY AND RELATED TOPICS 1 (2) 221 - 246 0219-0257 1998/04 [Refereed][Not invited]
   

  Regarding the adjacency matrix of a graph as a random variable in the framework of algebraic or noncommutative probability, we discuss a central limit theorem in which the size of a graph grows in several patterns. Various limit distributions are observed for some Cayley graphs and some distance-regular graphs. To obtain the central limit theorem of this type, we make combinatorial analysis of mixed moments of noncommutative random variables on one hand, and asymptotic analysis of spectral structure of the graph on the other hand.
• Central limit theorem related to the correlation of conjugacy classes in the infinite symmetric group

  Hora, A

  RIMS Kokyuroku 京都大学 1035 104 - 113 1880-2818 1998 [Not refereed][Invited]
  
• The cut-off phenomenon for random walks on Hamming graphs with variable growth conditions

  A Hora

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 33 (4) 695 - 710 0034-5318 1997/12 [Refereed][Not invited]
   

  The cut-off phenomenon is a remarkable critical phenomenon observed in the process of convergence to equilibrium in a wide variety of Markov chains. Diaconis-Graham-Morrison [3] established the first precise evaluation around the critical time for Ehrenfests' urn model concerning 2 urns and d balls, i.e. nearest neighbor random walks on hypercube Z(2)(d). They showed that deviation from the equilibrium state is described well by using the error function. In this article, we work out the evaluation around the critical time for simple random walks on Hamming graphs H(d,n), which coincide with an extended Ehrenfests' urn model concerning n urns and d balls. In our case, not only d but also n can grow in several manners. If n/d tends to 0, the similar result to [3] remains valid and microscopic deviation from the equilibrium state is described by the error function. If n/d tends to a nonzero constant, however, it is shown that the error function has to be replaced by an expression involving Poisson distributions.
• A critical phenomenon appearing in the process of particle diffusion in classical statistical mechanics

  Hora, A

  Journal of Faculty of Environmental Science and Technology, Okayama University 2 1 - 8 1997 [Not refereed][Not invited]
  
• ランダムウォークのカットオフ現象

  洞 彰人

  数理解析研究所講究録 1017 70 - 91 1997 [Not refereed][Invited]
  
• Towards critical phenomena for random walks on various algebraic structures

  Hora, A

  Infinite dimensional harmonic analysis 1 113 - 127 1996 [Refereed][Not invited]
  
• Random walks and isotropic Markov chains on homogeneous spaces

  Hora, A

  Journal of Faculty of Environmental Science and Technology, Okayama University 岡山大学環境理工学部 1 (1) 21 - 26 1341-9099 1996 [Not refereed][Not invited]
   

  Let G be a topological group acting on S transitively from the left with a compact stabilizer K. We show that every isotropic (i.e. spatially homogeneous w.r.t. the G-actions) Markov chain on S can be lifted to a right random walk on G and give a one-to-one correspondence between the isotropic Markov chains on S and the totality of sequences of probabilities (ν,μ1,μ2,･･･) where ν is a probability on G/K and each μn is that on K＼G/K.
• 量子確率論とグラフのスペクトル解析

  洞 彰人

  数理解析研究所講究録 京都大学 957 109 - 121 1880-2818 1996 [Not refereed][Invited]
  
• The cut-off phenomenon in random walks on association schemes

  Hora, A

  RIMS Kokyuroku 京都大学 962 32 - 41 1880-2818 1996 [Not refereed][Invited]
  
• 量子ランダムウォークに関する話題

  洞 彰人

  数理解析研究所講究録 923 124 - 138 1995 [Not refereed][Invited]
  
• リー環の表現のテンソル積の分解から生じるランダムウォークに ついて

  洞 彰人

  数理解析研究所講究録 京都大学 887 169 - 179 1880-2818 1994 [Not refereed][Invited]
  
• REMARKS ON THE SHUFFLING PROBLEM FOR FINITE-GROUPS

  A HORA

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 29 (1) 153 - 159 0034-5318 1993/03 [Refereed][Not invited]
   

  The shuffling problem is discussed as the asymptotic behavior of random walks on finite groups. We give a new characterization for asymptotic equidistribution of such random walks in terms of representations of the group. As applications, we characterize perfect groups and consider random walks on classical Weyl groups.
• Quasi-invariant measures on the infinite product of SU(2)

  Akihito Hora

  Journal of Theoretical Probability 5 (1) 71 - 100 0894-9840 1992/01 [Refereed][Not invited]
   

  Investigated is quasi-invariance of power probabilities on the infinite product of SU(2). We consider the subgroup consisting of those actions which keep a measure quasi-invariant (i.e., mutually absolutely continuous) and call it the quasi-invariant subgroup of the measure. We establish several estimations for the quasi-invariant subgroups in terms of lfp-type subgroups of SU(2)∞. Our methods are based on Hellinger integrals, Fourier analysis, and spherical functions on SU(2). © 1992 Plenum Publishing Corporation.
• QUASI-INVARIANT MEASURES ON COMMUTATIVE LIE-GROUPS OF INFINITE PRODUCT TYPE

  A HORA

  MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT 206 (2) 169 - 192 0025-5874 1991 [Refereed][Not invited]
  
• ON A BANACH-SPACE OF FUNCTIONS ASSOCIATED WITH A HOMOGENEOUS ADDITIVE PROCESS

  A HORA

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 24 (5) 739 - 757 0034-5318 1988/12 [Refereed][Not invited]
  
• DIFFERENTIABLE SHIFTS FOR MEASURES ON INFINITE DIMENSIONAL SPACES

  Y YAMASAKI, A HORA

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 23 (2) 275 - 296 0034-5318 1987/03 [Refereed][Not invited]
  
• ヤング図形集団における極限形状とガウスゆらぎの動的モデル

  洞 彰人

  数理解析研究所講究録 [Not refereed][Invited]
  

MISC

• 群の表現論と極限定理 --- オルシャンスキーとオクニコフ

  洞 彰人  数理科学  20  -25  2008/12  [Refereed][Invited]
  
• Infinite dimensional harmonic analysis IV: On the interplay between representation theory, random matrices, special functions, and probability

  Joachim Hilgert, Akihito Hora, Takeshi Kawazoe, Kyo Nishiyama, Michael Voit  Infinite Dimensional Harmonic Analysis IV: On the Interplay Between Representation Theory, Random Matrices, Special Functions, and Probability  1  -328  2008/01/01  

  © 2009 by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. All rights reserved. The Fourth Conference on Infinite Dimensional Harmonic Analysis brought together experts in harmonic analysis, operator algebras and probability theory. Most of the articles deal with the limit behavior of systems with many degrees of freedom in the presence of symmetry constraints. This volume gives new directions in research bringing together probability theory and representation theory.
• ヤング図形の漸近挙動をめぐる調和解析と確率論の話題

  洞 彰人  日本数学会年会企画特別講演アブストラクト  2007-  79  -90  2007  [Not refereed][Invited]
  
• オクニコフ(フィールズ賞業績紹介)

  洞 彰人  数学セミナー  2006/01  [Refereed][Invited]
  

Books etc

• 対称群の表現とヤング図形集団の解析学--漸近的表現論への序説--

  洞 彰人 (Single work)
  数学書房 2017
• The Limit Shape Problem for Ensembles of Young Diagrams

  Hora, A (Single work)
  Springer 2016
• Projective representations and spin characters of complex reflection groups $G(m,p,n)$ and $G(m,p,\infty)$

  Hirai, T, Hora, A, Hirai, E (Joint work)
  Mathematical Society of Japan 2013
• この定理が美しい, ランダムネスに潜む普遍性---中心極限定理

  洞 彰人 (Contributor176--185)
  数学書房 2009
• Infinite Dimensional Harmonic Analysis

  Hilgert, J, Hora, A, Kawazoe, A, Nishiyama, K, Voit, M (Joint editor)
  World Scientific 2008
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs

  Hora, A, Obata, N (Joint work)
  Springer 2007
• Non-Commutativity, Infinite Dimensionality and Probability at the Crossroads

  Obata, N, Matsui, T, Hora, A (Joint editor)
  World Scientific 2002

Presentations

• Dynamical scaling limit of the restriction-induction chain on Young diagrams in terms of free probability  [Invited]

  HORA Akihito

  Random Matrices and Their Applications  2018/05
• Markov chains, graph spectra, and some static/dynamic scaling limits  [Invited]

  HORA Akihito

  第３回代数的組合せ論「仙台勉強会」  2018/03
• On evolution of macroscopic profiles (and their global fluctuations) for growing random Young diagrams  [Invited]

  HORA Akihito

  第１９回北東数学解析研究会  2018/02
• 群論的なヤング図形集団における巨視的プロファイルとゆらぎの動的モデル  [Invited]

  洞 彰人

  筑波大学解析セミナー  2017/11
• Dynamic model for limit profiles and their Gaussian fluctuations in Young diagram ensembles  [Invited]

  HORA Akihito

  Mathematical Aspects of Quantum Fields and Related Topics  2017/06
• On a dynamic model for limit profiles and their Gaussian fluctuations in group-theoretical ensembles of Young diagrams  [Invited]

  HORA Akihito

  Colloquium RIMS Kyoto Univ.  2017/05
• Application of free probability to dynamical limit shapes of random Young diagrams  [Not invited]

  HORA Akihito

  One-day workshop on Interface between Commutative and Non-Commutative Stochastic Analysis  2017/03
• ヤング図形集団における大数の法則(静的および動的モデル)  [Invited]

  洞 彰人

  岡山-広島解析・確率論セミナー  2017/02
• 制限誘導連鎖の流体力学極限と自由確率論  [Not invited]

  洞 彰人

  日本数学会年会  2015/03
• プランシェレル集団における流体力学極限と自由確率論  [Invited]

  洞 彰人

  札幌数理物理研究集会  2014/09
• 対称群の表現の漸近理論への誘い  [Invited]

  洞 彰人

  非可換解析集中セミナー, 愛知教育大学  2013/09
• Growth process of multi-diagrams, its Martin boundary, and characters of an inductive limit group  [Invited]

  HORA Akihito

  Markov Chains on Graphs and Related Topics, RIMS International Project Research 2012: Discrete Geometric Analysis  2013/02
• 帰納極限群の分岐グラフ上の調和関数  [Invited]

  洞 彰人

  月曜解析セミナー, 北海道大学  2012/11
• コンパクト群の帰納系を舞台にした確率論と調和解析の話題  [Invited]

  洞 彰人

  北大数学談話会  2012/10
• ヤング図形のエルゴード的な統計集団における集中現象  [Invited]

  洞 彰人

  表現論と非可換調和解析の展望, 京都大学数理解析研究所  2012/06
• コンパクト群の環積の指標と分岐グラフの境界  [Not invited]

  洞 彰人

  日本数学会年会  2012/03
• ヤング図形の群論的統計集団における最尤形状について  [Invited]

  洞 彰人

  岡山解析・確率セミナー  2011/10
• Harmonic functions on branching networks for some big groups  [Invited]

  HORA Akihito

  Sapporo Workshop on Non-commutative Analysis and Applications to Complex Phenomena  2011/09
• ヤンググラフ上の調和関数と無限対称群の表現  [Invited]

  洞 彰人

  離散幾何解析セミナー  2011/07
• Characters and harmonic functions related to infinite wreath product groups  [Invited]

  HORA Akihito

  RIMS Project Research, The International Conference on Functions in Number Theory and Their Probabilistic Aspects  2010/12

Association Memberships

• 日本数学会   

Works

• Joint Research on Infinite-Dimensional Harmonic Analysis

  2000 -2001
• Joint Research on Algebraic Probability

  2001

Research Projects

• asymptotic representation theory, harmonic analysis on branching graphs, and scaling limits for related probability models

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

  Date (from‐to) : 2022/04 -2026/03 

  Author : Akihito Hora
• Quantum probability and asymptotic analysis of large finite systems

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2019/04 -2023/03 

  Author : 尾畑 伸明, 洞 彰人, 田中 太初, 荒木 由布子

   

  統計性の源泉を非可換代数とその表現に求める手法として、量子分解は量子確率論の基本的な概念であり、量子確率解析やスペクトルグフ理論などと関連して発展してきた。本研究では、グラフのスペクトル解析を通して量子分解法を拡張することを目標として、次の4課題を扱っている。 （1）成長するグラフの同時スペクトル分布と付随する多変数直交多項式の決定：量子分解法は、グラフのスペクトル分布、特に成長するグラフに対する極限分布を求める手法として確立してきた。ただし、従来研究では1変数直交多項式に帰着される場合に限られているため、その制限を取り払うことが重要な課題となっている。そのための試論をいくつか検討している。一つの成果は、強正則グラフの直積に対して、隣接行列と補グラフの隣接行列の2変量の分布（同時スペクトル分布）と付随する2変数直交多項式の詳細構造を導出したことであり、国際共著論文として発表した。 （2）アソシエーションスキームに付随した量子分解法の多変数化：上記の強正則グラフの議論は、距離正則グラフ、あるいはより一般のアソシエーションスキーム上で展開するのがより自然であり、代数的組合せ論の立場から準備研究を開始した。さらに、グラフのスペクトル解析という観点から、距離行列のQE定数という新しい不変量を導入して基本的な性質を調べるとともに、多くの具体的な計算を蓄積した。その一部は国際共著論文として発表した。 （3）多変数直交多項式を特徴づける量子成分の非可換構造の抽出：量子分解の多変数化を直交多項式の視点からとらえれば、多変数直交多項式系に対して定義される「多変数的に拡張されたヤコビ行列」が鍵となる。そような拡張されたヤコビ行列に退化指数という概念を導入してスペクトル測度の特徴を捉える研究を継続している（前年度に最初の国際共著論文を発表）。 (4）量子ホワイトノイズ解析の集大成：文献調査を進めた。
• Interplay between asymptotic representation theory and scaling limits in probability models

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

  Date (from‐to) : 2019/04 -2022/03 

  Author : Hora Akihito

   

  A primary idea of asymptotic representation theory is found in noticing statistical characters of representation-theoretical quantities for a group in order to reveal the structure of the actions of a huge group. The fundamental framework of this project develops a bilateral interplay between asymptotic representation theory and scaling limits for probability models. In this project, based on ubiquitous Young diagram ensembles in group representations and branching graphs describing the branching rules for representations, we treated several models reflecting asymptotic behavior and probabilistic features of group actions. They include time evolution of the macroscopic limit shapes of Young diagrams obtained through space-time scaling limits, and ideal boundaries beyond branching graphs. In constructing these models and investigating their properties, we reached several fruitful results.
• Deepening and developing asymptotic representation theory

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

  Date (from‐to) : 2016/04 -2019/03 

  Author : Hora Akihito

   

  The fundamental idea of asymptotic representation theory consists of focusing on the statistical feature of representations via the viewpoint of probability theory, which aims at understanding the structure of actions of big groups such as the infinite symmetric group. In this research project, we investigated behavior of statistical ensembles of Young diagrams which often appear in analysis of group representations. We introduced dynamical scaling limit into group-theoretical probabilistic motions in Young diagram ensembles and considered macroscopic time evolution of the limit shapes resulting from the effect of the law of large numbers. We obtained several results on the formulation and the properties for this model.
• Spectral analysis of complex networks and modeling methods by statistics

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2011 -2013 

  Author : OBATA Nobuaki, HORA Akihito, KONNO Norio

   

  (1) Spectral analysis of networks: The asymptotic spectral distribution of the distance-k graph of the cartesian product graph is derived as a combinatorial central limit theorem. The asymptotic spectral distribution of weighted hypercubes are described in terms of q-deformed Hermite polynomials. The spectral distribution is completely determined for the Manhattan product of directed paths of small orders, and thier asymptotic behaviors are obtained in the infinite length. (2) Statistical and asymptotic behaviors of dynamics for the modeling methods: A quantum probabilistic method is applied to classical random walks for reconstructing transition probability and recurrence probability. A necessary and sufficient condition is obtained for a quantum walk (Grover walk) on a spidernet in order to exhibit the localization.
• Study on decomposition of unitary representations of groups and harmonic functions on branching graphs

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

  Date (from‐to) : 2011 -2013 

  Author : HORA Akihito, ISHI Hideyuki, MATSUMOTO Sho, OBATA Nobuaki

   

  We intend to develop harmonic analysis on a large group, which plays a role in clarifying complex phenomena involving a huge number of factors. Our project aims at establishing a concrete framework by which one clearly understands decomposition of representations of a large group. For wreath products of a compact group, including the infinite symmetric group and infinite complex reflection groups, we took interactive approach from probability theory, group representations and potential theory, and obtained concrete and detailed results on such objects as group character formulas and their characterization, boundaries of the branching graph and minimal harmonic functions, and description of ergodic probabilities on the path space of the graph.
• Quantum Probability Theory and Infinite Dimensional Analysis

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2008 -2010 

  Author : OBATA Nobuaki, HIAI Fumio, URAKAWA Hajime, SUZUKI Kanako, LIANG Song, HORA Akihito, SAITO Kimiaki, HOROSHIMA Fumio, YOSHIDA Hiroaki

   

  We investigated mathematical models of random phenomena by revealing and utilizing non-commutative structures hidden behind. We introduced the new concept of quantum white noise derivative and applied to generalization of quantum stochastic integrals, integral representation of Fock space operators, representation of quantum martingales, and characterization of Bogoliubov transformation. For the structural analysis of complex networks, we developed the quantum probabilistic approach to spectral analysis and transition probability of random walks, and studied free probability, free entropy, and matrix inequalities.
• Integrated study of probability and representation theory towards harmonic analysis on huge groups

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

  Date (from‐to) : 2007 -2010 

  Author : HORA Akihito, OKADA Soichi, TATE Tatsuya, HIRAI Takeshi, OBATA Nobuaki, SHIMOMURA Hiroaki, KAWAZOE Takeshi, YAMADA Hirofumi, ARAI Hitoshi, NISHIYAMA Kyo, ISHI Hideyuki, MATSUMOTO Sho, INAHAMA Yuzuru

   

  Towards developing harmonic analysis on huge groups, we did integrated studies of probability theory and group representations. Harmonic analysis is a discipline which seeks deep mathematical structures by looking at symmetries of the objects and develops analysis relying on them. In this study, we are led to huge groups describing the symmetries because our objects are so big as to have an infinite degree of freedom. Main results among the ones we obtained are (i) classification and explicit formulas of the characters which are building blocks of harmonic analysis, and (ii) a series of theorems which construct a bridge between asymptotic behavior of representations of groups and probabilistic limit theorems.
• ランダムグラフの量子確率論的スペクトル解析

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 2007 -2009 

  Author : 尾畑 伸明, 洞 彰人

   

  グラフ(有限または無限)に付随する様々な行列や作用素(隣接行列・Q-行列・ラプラシアン・推移行列など)のスペクトルはグラフの構造をさまざまに反映し、代数的グラフ理論の中心的なテーマである。近年、(a)多様な独立性(b)量子分解法(c)分割の統計、などの量子確率論的手法によるスペクトル解析が大きく発展している。本研究では、これらの手法をランダムグラフに適用できるように拡張し、複雑ネットワークへの応用を視野にいた具体的なモデルのスペクトル分布を導出することが重要である。特に、ワッツ・ストロガッツ模型の修正モデル(一般化エルデシュ・レニーモデルと呼ぶ)とランダム閾値グラフについて研究を重ねた。今年度は、今野氏・井手氏との共同研究によって、一般的な閾値グラフのスペクトルを計算し、ランダム閾値グラフの平均スペクトル分布を導出したことが大きな成果である。ランダム閾値グラフはランダム成長グラフととらえることができ、その成長の仕方に対応する独立性の定式化は非常に興味深く、研究を続行している。ボロバシュの流れをくむウチャック氏を招聘し、ランダムグラフの連結成分の挙動についてスペクトル的アプローチを議論した。残念ながら、エルデシュ-レニーのランダムグラフに対する希薄極限のスペクトル密度の導出には至らなかった。第26回代数的組合せ論シンポジウム(山形)と数理物理サマースクール2009(東京)において、量子確率論的手法について総合報告をするとともに、いくつかの国際会議で成果の一部を発表した。日本と韓国の代数的組合せ論研究者との研究交流が始まり、新しい展開が期待できる環境が整ってきた。
• Study of harmonic analysis and applications to multidimensional signal processing

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2007 -2009 

  Author : ARAI Hotoshi, KANJIN Yuichi, HORA Akihito, TACHIZAWA Kazuya

   

  The main theme of this research project is harmonic analysis and its applications to multidimensional signal processing. I constructed new framelets (with S.Arai). Applying them, we succeeded in the discovery of illusory components in Arai's fractal spiral illusion, and in the removal of illusory components from the illusion (Arai and Arai (1), in press). This result was reported by Kakenhi News (2009, vol.1). Moreover, I obtained some results related to frame operators and multidimensional polyphase matrices.
• 群の表現から見たボーズ凝縮の萌芽研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 2006 -2008 

  Author : 松井 卓, 洞 彰人

   

  今年度の研究は当初の予定から大きく外れ格子上の量子力学系のハーグ双対性をめぐる研究が主体となった。格子上を動くボーズ粒子系は、これまで生成消滅作用素の指数関数から定まるワイルCCR代数を使って統計力学を考える場合が多かった。しかしこれでは有限自由度の場合でもハミルトニアンのレゾルベントがワイルCCR代数の元ではないので統計力学的な問題を研究するには様々な困難がある。Buchholz等はワイルCCR代数の代わりに生成消滅作用素のレゾルベントが生成する代数を考える事を提案したが、この路線でいくつか基本的な事項を証明することを検討した。 その手始めとして前年度研究した純粋状態のハーグ双対性とSplit性の研究を行う予定であった。量子スピン系の並進不変純粋状態のハーグ双対性の証明は既に雑誌に発表したが、最近、その証明に一部不十分な点があるのが判明し証明の修正を試みている。局所性を持つ相対論的場の量子論では、その公理からReeh-Schliederの定理が成立する。Jones-Wassermannのループ群から生成される部分因子環の研究では、Reeh-Schliederの定理から基底状態セクターでのハーグ双対性の証明が行われたのであるが一次元量子スピン系の場合にもReeh-Schlieder型の定理を仮定すればハーグ双対性は証明できることが判明した。格子の次元が高い場合に半空間の間でのハーグ双対性の証明は、クンツ代数の拡張としてUHF代数の片側シフトによる接合積を用いるとReeh-Schlieder定理が成立すればハーグ双対性が成立することも証明できる。 ハーグの双対性が分かると2点相関関数の一様減衰が状態のSplit性を意味することも分かった。 ボーズ粒子系のレゾルベント代数の場合のハーグ双対性については、まだ成果を得ていない。
• Study of free probability and operator algebras based on random matrices

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2005 -2008 

  Author : HIAI Fumio, OBATA Nobuaki, URAKAWA Hajime, OZAWA Masanao, KOSAKI Hideki, YAMAGAMI Shigeru, HORA Akihito, UEDA Yoshimichi, NAKAMURA Makoto

   

  最近25年, D.Voiculescuが開拓した自由確率論は, 非可換確率論の一つとして大きな発展を遂げた.自由確率変数の漸近モデルであるランダム行列や, 自由確率論に固有なエントロピーである自由エントロピーを基に, 自由確率論の研究を行った.関連して, 代数的確率論, 作用素論, 作用素環, 量子情報理論についても研究した.自由確率論における主要な成果は, 自由エントロピーと自由エントロピー次元の新しい定式化,対数ソボレフ不等式と輸送コスト不等式の自由確率版の導出などである.
• Study of asymptotic theory for representations of symmetric groups from the viewpoint of scaling limits for probability models

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2004 -2006 

  Author : HORA Akihito, YAMADA Hiro-Fumi, MURAI Joshin, SASAKI Toru

   

  The main purpose of the present research is to study asymptotic behavior of various characteristic quantities of representations of symmetric groups and other similar discrete groups as the sizes of the groups grow, and to investigate the limiting pictures from the viewpoint of scaling limits in probability theory and statistical mechanics. Features to be noted in this research include using methods of limit theorems in quantum probability and making much of relations to free probability and random matrices. The following are several concrete results. 1. We studied the spectral distributions of Laplacians with respect to the Gibbs states in zero temperature and infinite volume limit as graphs grow with their degrees and temperatures keeping certain scaling balances. We computed the asymptotic behavior in details under the formulation of quantum central limit theorem by using creation and annihilation operators on interacting Fock spaces. 2. Through combinatorial hard analysis of moments of the Jucys-Murphy element, we studied universal understanding of concentration phenomena in various statistical ensembles consisting of Young diagrams, including those which come from irreducible decomposition of a representation of the symmetric group such as the Littlewood-Richardson coefficients. Many of them are closely related to some properties of random walks on a certain modified Young graph. Here also we applied methods of quantum probability effectively. 3. Under cooperation with T. Hirai and E. Hirai, we constructed a nice factor representation which expresses any character of a wreath product of a compact group with the infinite symmetric group as its matrix element. This representation reflects directly the characterizing parameters for the character beyond a general representation of Gelfand-Raikov.
• 多様体上の群の作用と無限次元調和解析

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 2005 -2005 

  Author : 西山 享, 洞 彰人, 新井 仁之, 河上 哲, 河添 健, 内藤 聡

   

  本研究は多様体上の群の作用とその上の調和解析について周辺分野および応用分野を含めた研究者間の交流を図り、共同研究の下地となるように企画された。特にドイツとの交流に力点をおいたのが特徴である。 本年は若手研究者2名(A.オールドブリッジおよびT.ヨハンセン研究員)および中堅の研究者3名(M.シュトルツ、M.フォイト、M.レースラーの各準教授)そしてハイパー群の専門家であるH.ハイヤー教授の合計6名をドイツより招聘し、分担者の属する様々な大学で多くの日本人研究者との交流を果たした。また日本からは、洞助教授、河上教授、河添教授、示野助教授の4名をドイツに派遣した。洞・河添の両名はこの企画調査によって2007年度に国際研究集会を日独間で開催するための調査と準備を綿密に行った。河上・示野の両名はそれぞれハイパー群およびダンクル作用素に関する共同研究について研究連絡を行った。これらはいずれも実り多い結果をもたらしたが、それを以下少し詳しく報告する。 まず2007年9月に日独間で国際研究集会を開き、研究者の更なる交流を深めることで、研究分担者および協力者の合意を得た。この集会は分担者の研究分野にとらわれることなく、「無限次元調和解析」という学際的な分野において相互理解と更なる共同研究を模索するために企画された。まだ資金的な裏付けは得られていないものの、招待講演者の選定など既に具体的な集会の運営に向けて動き出している。次に、河上教授はハイヤー教授と共にハイパー群の拡張理論に作用素環の理論を応用し、有限ハイパー群の具体的な構成を目指して共同研究を開始した。また、示野助教授はリーマン対称空間の調和解析とダンクル作用素および球関数の理論との関連を研究していたが、ドイツ側の招きで連続講義を行うなど日独双方の研究状況についての意見交換を行った。このダンクル作用素の理論についてはフォイト・レースラーも多変数ベッセル関数の観点からシュティーフェル多様体上のダンクル理論を取り扱っているが、日本における研究連絡において菊地助手(京都大学)の研究しているゲルファント対との関連性を議論するなど活発な意見交換が行われた。
• Nonlinear theory of quantum white noise and its non-Gaussian extension

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2003 -2005 

  Author : OBATA Nobuaki, HIAI Fumio, URAKAWA Hajime, HORA Akihito, ARIMITSU Toshihico, SAITO Kimiaki

   

  Stochastic analysis has developed considerably keeping profound applications to mathematical analysis of random phenomena, where the traditional framework, called the Ito calculus, is based upon functionals of Brownian motion. We start, in this research project, with the new aspect of quantum white noise which is obtained by applying quantum decomposition and time derivative to the Brownian motion. Since the quantum white noise is more primary, we come naturally to two lines of research beyond the traditional stochastic analysis : nonlinear theory and non-Gaussian extension. We developed quantum white noise theory by making research collaboration, workshops, summer schools, international conferences. The research subjects are as follows : (1) Nonlinear white noise equations : We developed white noise operator theory by means of a newly obtained characterization theorem and introduced the notion of quantum white noise derivatives. (2) Complex white noise : Unitarity of the Fourier-Gauss transform is proved. We found that the solution to normal-ordered white noise equation involving quadratic quantum white noise possesses partial unitarity. (3) Levy Laplacian and higher powers of quantum white noises : Associated stochastic processes are constructed and the relation between them is established through the heat equation. (4) Interacting Fock space : We established a systematic approach to asymptotic spectral analysis of graphs, in particular, for growing regular graphs and graphs related to notions of independence. (5) Non-Gaussian stochastic processes : We are continuing the study of interacting Fock space of multi-mode towards quantum decomposition of stochastic processes. (6) Infinite dimensional harmonic analysis : The method of quantum decomposition is applied to prove a generalization of the Kerov central limit theorem. The asymptotic representation theory of the symmetric groups and the infinite wreath products have been developed. (7) Application to quantum physics : We promoted collaboration with physicists through quantum stochastic differential equations, statistical properties of turbulence, Bose-Einstein condensation on graphs.
• Harmonic analysis on graphs and discrete groups, and scaling limit for probability models

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2001 -2003 

  Author : HORA Akihito, MURAI Joshin, SASAKI Toru

   

  The aim of this project is to read out statistical properties of huge systems characterized by a certain symmetry from the viewpoint of asymptotic spectral analysis and scaling limits by using the methods of harmonic analysis and representation theory. We obtained concrete results as follows. 1. We computed scaling limits for the spectral distributions of adjacency operators on graphs in the framework of quantum central limit theorem. We introduced Gibbs states as well as vacuum states on distance-regular graphs and investigated the limit picture in low temperature and high degrees especially for Johnson graphs. The result is described in terms of the interacting Fock space associated with Meixner polynomials. Interesting distributions are derived in the limit by using combinatorial structure of creators and annihilators. 2. We established a general theory for spectral analysis of graphs by the method of quantum decomposition. We revealed a connection of asymptotic characteristic values of regular graphs with the parameters of interacting Fock spaces. The limit distributions are systematically described by using methods of orthogonal polynomials and Green functions beyond computation of individual spectral limits. The item here is closely related to a joint work with Nobuaki Obata at Tohoku University. 3. We obtained an extension (a quantization) of Kerov's central limit theorem for irreducible characters and the Plancherel measure as an asymptotic aspect of representations of the symmetric groups. Since the result goes out of the framework of interacting Fock spaces, we introduced a modification of the usual Young graph as well as creators and annihilators on it.
• Research for Hilbert C^* -bimodules and its application to dicrite dynamical systems

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 2000 -2002 

  Author : KAJIWARA Tsuyoshi, HORA Akihito, NAKAJIMA Atsushi, WATATANI Yasuo

   

  1. Following the preceding our research on finitely generated Hilbert C^*-bimodules, we develop fundamental theory for countably generated Hilbert C^*-bimodules. In particular, we give a characterization of finite index property using the concept of conjugate. Moreover, we give a condition for countably generated Cuntz Krieger bimodules to be of finite index. We have a plan to give many examples of countably generated bimodules, and will develop application of our theory to concrete examples. 2. We define the crossed product bimodules by continuous groups as examples of countably generated bimodules, and show that they are of finite index. 3. We study the structure of the C^*-algebras generated by countably generated Cuntz-Krieger bimodule, and get conditions for their simplicity and the possibility of the classification of ideals. 4. We study the structure of C^*-algebras generated by continuous graphs whose vertex sets are elements in 1-dimensional torus. We get results similar as in 3. 5. We study the C^*-algebra generated by "tent map" dynamical system as an example of countably generated Hilbert C^*-bimodule which is not of finite index. We construct a well behaved countable basis for this, and prove the simplicity and pure infiniteness, and calculate its K-groups. 6. For complex dynamical systems given by iteration of rational maps on Riemannian sphere, we give a definition of Hilbert C^*-bimodules for them even when they have branched points on their Julia sets. We study the structures of the associated C^*-algebras for concrete examples, for example 2-dimensional polynomial and Tchebychev polynomials, calculate their K-groups. We have a plan to develop this theory and also study ergodic properties of complex dynamical systems.
• Harmonic analysis on discrete structures and its applications to classical and quantum probability models

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 1999 -2000 

  Author : HORA Akihito, MURAI Joshin, SASAKI Toru, HIROKAWA Masao

   

  We studied asymptotic behavior of probability models by using the methods of harmonic analysis. Main results are included in 1. the cut-off phenomenon in random walks and 2. central limit theorems in algebraic probability. 1. The cut-off phenomenon is a sort of critical phenomenon widely observed in the process of convergence to the equilibrium for Markov chains. It is known that the multiplicities of eigenvalues of a transition matrix, which are caused by symmetry of the system, play an important role. In this project, we seeked a rigorous and practical criterion for the cut-off phenomenon beyond verification in individual models and intuitive understanding based on the degeneration of the second eigenvalue. Focusing on distance-regular graphs, we obtained a criterion described in terms of spectral data of the graph. This enables us to find models of the cut-off phenomenon systematically. 2. Quantum central limit theorems form a main stream in algebraic probability. In this project, we studied important relations between independence of noncommutative random variables and central limit theorems, making much of their algebraic and combinatorial aspects. As a concrete result, we mention the asymptotic spectral distribution of the Laplacian operator on a Johnson graph with respect to the Gibbs state under a low temperature and infinite volume limit. This result leads us to the consideration of creators and annihilators on a nontrivial interacting Fock space and hence gives a good working example in this direction.
• Quantum White Noise and Infinite Dimensional Harmonic Analysis

  Japan Society for the Promotion of Science：Grants-in-Aid for Scientific Research

  Date (from‐to) : 1997 -1999 

  Author : OBATA Nobuaki, ARIMATSU Toshihiko, MINAMI Kazuhiko, AOMOTO Kazuhiko, HORA Akihito

   

  (1) Normal-Ordered White Noise Equations. On the basis of white noise calculus traditional quantum stochastic differential equations of Ito type are extended to normal-ordered white noise equations and properties of their solutions are described by means of white noise distributions. Cauchy problems on white noise space are solved through one-parameter transformation groups with new aspect to infinite dimensional harmonic analysis. (2) Higher Powers of White Noises and Renormalized Ito Formula. The Ito formula associated with normal-ordered white noise equations involving higher powers of quantum white noises emerges with renormalization and its structure is investigated by means of white noise operator theory. It is applied to (quantum) stochastic differential equations with very singular coefficients. (3) Stochastic Limit of Quantum Theory. Quantum noises and quantum stochastic differential equations are derived through stochastic limit from standard Hamiltonian models such as Anderson model in solid state physics and models of quantum electrodynamics without dipole approximation. Such direct treatment of very strong nonlinear interaction motivate to construct theory of interaction Fock module to give a unified aspect to new phenomenon. (4) Mathematical Analysis of Dissipative Quantum Systems. In order to describe the transition from micro-systems to macro -systems within the framework of canonical operator formalism, the theory of Non-Equilibrium Thermo Field Dynamics is developed. Relationship among equations describing dissipative quantum systems is clarified with a unified point of view. (5) Central Limit Theorems. Within the framework of algebraic probability the new concept of singleton independence is introduced and the associated central limit theorems and limit processes are derived towards mathematical origin of quantum noises. Connection with random walks on discrete graphs is investigated through analogues of the creation and annihilation operators. (6) Others. Quantum Markov chains, complex white noise and coherent state representation, inversion formulas of S-transform and operator symbols, quantum reality and locality, statistical invariance.
• 無限次元調和解析

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1998 -1998 

  Author : 平井 武, 山下 博, 洞 彰人, 斎藤 公明, 山口 博, 久保 泉

   

  1. 廣い意味の調和解析学の発展はめざましく,最近は無限次元的な対象を取り扱おうとする萌芽的研究が生まれている.こうした「無限次元調和解析」を目指す気運は国際的な広がりを見せている. これに呼応して,共同研究の企画を試み,研究協力を強化発展させた。最近の,無限次元調和解析学の研究に関し,重要な四つの柱を選び,その方面の中心的研究者に参加して貰い,共同の研究会を持って,新しい共同研究を企画・開拓した.さらに,日独の国際共同研究を学振に申請した. 2. 上記の四つの柱とは, (1) 無限次元群,例えば多様体上の微分同相写像のなす群,loop群,超リー代数,Kac-Moody環の表現論,及びそれに対応する幾何学的対象の研究.また,半単純リー群の無限次元表現の新しい方向の研究. (2) 局所コンパクト群上の函数の変換に関する研究,双対性及び測度環の研究. (3) 群やそれを一般化したhyper group,その他の代数的構造の上の酔歩の理論. (4) ホワイトノイズ解析,無限次元リー群やloop空間上の確率解析と無限次元群の表現の応用. 3. 「無限次元調和解析」の共同研究の企画調査をした.共同研究の姿としては, (1) 上の4つの重要な柱の間の有機的関連が図られ,相互に影響し合いながら,それぞれの発展を計る, (2) 無限次元群などの表現論とloop空間上の確率解析や群上の測度環の研究との間に相互の応用. (3) 位相群上の調和解析は群のアーベル性,非アーベル性に関係のない,統一的理論の確立. (4) 無限次元空間,とくにガウス空間の変換群は,場の量子論や確率場の理論において,しばしば興味深い役割を演じている.そのような変換群の表現論を通じて,ホワイトノイズ解析,量子的(非可換)ホワイトノイズを基礎とした量子確率解析にまで,応用を拡げる.
• グラフ上の調和解析とその古典および量子統計モデルへの応用

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1997 -1998 

  Author : 洞 彰人

   

  高い対粘性を有するグラフの上で、調和解析や表現論の方法に基づいて、主にラプラシアンのスペクトルの無限体積極限における漸近挙動を調べた。その結果を古典および量子統計モデルに関する極限定理に応用した。本年度は、量子確率論における中心極限定理についての研究で、幾つかの進展を得た。便宜上、それらを (1)一般的な理論の範疇に入る結果と(2)具体的なグラフに即した結果 とに分けて報告する。 (1)非常に多くの小さなゆらぎが積み重なってどのようなマクロ効果が観測されるかというのが、中心極限定理の基本的なモチーフである。そのゆらぎを互いに非可換な作用素によって表現し、量子力学におけるオブザーバブルの確率解釈を通して、そのゆらぎの総和を確率論的に捉えようというのが、われわれの,研究の枠組である。その際、作用素たちの統計的な独立性がクローズアップされてくる訳であるが、古典的な場合に比べて量子確率論ではこの独立性が多様な性質を内包している。本研究では、その独立性を代数的な面を主眼にして捉え、組み合せ論の議論を多用して、中心極限定理に与える影響を見た。 (2)前述のような枠組でグラフのラプラシアンを考察すると、グラフの代数的および位相的性質が中心極限定理の極限分布の形状に大きな影響を与えることがわかる。(標陽的に言って)可換性に由来するガウス分布、自由性に由来するウィグナー分布の他に、グラフの多様性を反映してさまざまな極限分布が得られた。本研究で考察した具体的なグラフとして、ハミンググラフ、ジョンソングラフおよびそれらのq-アナログ等の距離正則グラフ、対称群から派生する幾つかのケーリーグラフを挙げておく。
• ヒルベルト双加群によるC^*環の指数理論の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1996 -1996 

  Author : 梶原 毅, 曽布川 拓也, 佐々木 徹, 平井 安久, 洞 彰人, 実方 宣洋

   

  ヒルベルト双加群の離散群による接合積の研究を進めた。これはCombたちによるimprimitivity双加群の接合積の概念の拡張にあたり、ヒルベルト双加群の新たな例を構成する有力な手段の一つである。合わせて、換離散群接合積に関するTakesaki双対性、テンソル積などのカテゴリー的な性質を証明した。この結果は、Crossed Products of Hilbert C^*-Bimodules by Countable Discrete Groupsにおいて、刊行される。 有限群上のバンドルによるヒルベルトC^*双加群の接合積を定義し、基本的な性質に引き続き、複数のバンドル、双加群の接合積における結合法則を示し、それによって興味ある例を構成した。この結果は、Crossed Products of Hilbert C^*-bimodule by bundlesにまとめ、フーリエ変換によるKac環の積法則の計算など、さらに研究中である。 ヒルベルト双加群から作られるC^*環は、共変表現環の拡張にあたると考えられるが、これについて、Cuntzが与えた条件(I)と類似の条件のもとで、単純性を証明した。この結果は、Ideal Structure and Simplicity of the C^*-Algebras Generated by Hilbert Bimodulesにまとめている。 連続群に接合積双加群を定義し、加算生成ヒルベルト双加群の公理を満たすことを示し、単位元がない場合のノルムの同値性を導いた。これにより、無限コンパクト群の表現環からなるDoplicher-Roberts環のヒルベルトC^*双加群による実現が可能となり、K-理論など双加群C^*環の理論の適用が可能となる。 一般化されたクンツ環において、双加群による構成とgropoidによる構成の関係を研究した。特にトーラス上の関数環加群について詳細に計算している。トーラスのゲージ作用とともに、自由群の余作用のスペクトル部分空間を考えることが、この研究において重要であることがわかった。
• ヴィット群の拡張と幾何学的応用の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1996 -1996 

  Author : 森本 雅治, 洞 彰人, 池畑 秀一, 中島 惇, 野田 隆三郎

   

  平成8年度のヴィット群の研究において、次のような進展があった。 (1)ヴィット群を拡張し3次元の多様体における手術障害類を定めるために有効な、幾何学的(すなわち束構造の拡張可能性を数値化して得られる)2次形式の定式化ができた。現在、この結果を用いて3次元の手術理論を研究している。 (2)ヴィット群とバーンサイド環の関係を利用して、球面上の滑らかな作用の不動点集合の構成法を与えた。K.Pawalowski氏を含めた共同研究により、この成果を用いて巾零なオリバー群の球面上の滑らかな作用の不動点集合の決定を行った。この応用について、2つのシンポジウムSurgery and Geometric Topologyおよび変換群論シンポジウムで講演を行った。また、これらの結果に関する論文を現在作成中である。巾零でないオリバー群に関しては今後の研究課題である。 (3)柳原守氏を含めた共同研究により、コンピュータソフトGAPを用いて同変手術理論に適合する接空間表現を見出すためのプログラムを簡素化し、計算時間を短縮した。このプログラムについて、シンポジウムトポロジーとコンピュータで講演を行った。 (4)手術障害類群としてヴィット群をコボルディズム群としてのヴィット群を用いて群構造を解明するアイデアを得た。詳しい計算は今後の課題である。 この科学研究費補助金によって、多くの数学者とアイデアや研究情報の交換など研究交流を行うことができたことは、研究の大いなる助けとなった。
• 量子ランダムウォークの調和解析の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1995 -1995 

  Author : 洞 彰人

   

  種々の代数的構造の上のランダムウォークについて、調和解析的な方法を用いて研究を行った。特に、量子ランダムウォーク(quantum random walk)をこのような視点に基づいて調べることを主眼とした。一般に、ランダムウォークの分布は時間が経つにつれて平衡状態に収束していくが、その収束の過程を詳しく記述することは、物理学や統計学への応用において中心的な位置を占める問題である。古典的なランダムウォークに関する結果を踏まえて、量子ランダムウォークの平衡状態への収束の仕方の特徴を捉える方法を考察した。代数的構造の面で言えば、カッツ代数の理論が重要な役割を担うことがわかった。量子ランダムウォークを生成するホップ代数の構造に加えて、調和解析の方法の礎になる双対性を有することが効いている。多少未完成な形ではあるが、そのあたりの事情は別紙記載の論文に発表した。その中で、古典的なランダムウォークと対応させながら、量子ランダムウォークの推移作用素や不変測度について述べ、平衡状態への収束の過程を記述する問題を定式化した。このような立場に関連して、グラフやアソシエーションスキームの上のランダムウォークについても、新しい知見が得られる。すなわち、状態空間をなすグラフやアソシエーションスキームに付随して自然に定まるある種の作用素の族を考え、それらをオブザ-バブル(量子確率論的観点から見た確率変数)とみなして、確率論的な挙動を調べるのである。たとえば距離正則グラフのように高い対称性をもつ状態空間を扱う場合には、指標や球関数の性質についての詳しい情報が得られ、調和解析の方法がうまく機能する。このあたりの話題に関しては、現在論文を準備中である。
• 表現論的方法に基づくランダムウォークの研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1994 -1994 

  Author : 洞 彰人

   

  1.表現のテンソル積の分解、粒子の拡散、カードシャッフリング等の具体的な現象を、状態空間の持つ固有の代数的構造によって引き起こされるランダムウォークとして定式化し、表現論的方法を用いてその性質を研究した。主たる研究事項は、これらのランダムウォークの平衡状態とそのような状態への収束の仕方である。群の作用の他、ハイパーグループ、アソシエーションスキーム、ホップ代数等の代数的構造を考慮して、多様な運動をできるだけ統一的に把握できるよう努めた。 2.状態空間の上部構造としての多元環の積(から決まる構造定数)によって推移確率を定め、この推移確率を与える多元環の元のベキ乗にまつわる種々の性質でもってランダムウォークの挙動を記述するというのが、基本的な問題設定である。以下、2つの具体的な対象について述べる。 (1)単純リー環の有限次元既約表現のテンソル積の分解における重複度を数えることによって、ウェイト束(とワイル領域との共通部分)の上のランダムウォークが生じる。これは、非可喚なホップ代数に付随する量子ランダムウォークの1つの例を与えることがわかった。また、表現論的な量を用いて推移確率を明示する式を得た。 (2)ジョンソンスキームを用いた粒子の拡散モデルを拡張し、粒子の重ね合わせの状態を導入することによって、ジョンソンスキームのq-アナログ(あるいはグラスマン多様体)上のランダムウォークが生じる。これらを一般のアソシエーションスキームを用いて定式化し、より広いクラスのモデルに対して、拡散の臨界時刻を求められることがわかった。この作業は現在進行中である。
• 代数的構造の上の調和解析とランダムウォークの漸近挙動の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1993 -1993 

  Author : 洞 彰人

   

  群の作用を中心とするさまざまな代数的構造の上の調和解析を応用し、ランダムウォークやマルコフ連鎖等の確率モデルの研究を行った。いろいろな構造の上のランダムウォークを統一的に理解するために、ハイパーグループの観点を重視したのが特徴である。 本年度に得た具体的な結果を記す。位相群Gの作用による等質空間Xとその上のマルコフ連鎖(Mn)を考える。(Mn)がG-不変であれば、それをG上のランダムウォーク(Wn)に持ち上げることができることを証明した。Gの作用が左からのときはG上の右ランダムウォークを考えねばならないこと、したがって、(Wn)のXへの射影のマルコフ性が一般には成立しないことなど、可換な作用の場合には現れない現象が起こる。X上のG-不変なマルコフ連鎖とG上の両側K-不変な右ランダムウォークとが1対1に対応している(KはXの一点の安定化群)というのが、主定理である。したがって、X上のこのようなマルコフ連鎖の推移確率が絶対連続であれば、それを(G,K)に付随するヘッケ環の元で表せる(または近似できる)ことになる。これはハイパーグループの考察へと自然につながるものである。 上記の結果はむしろ一般論であるが、具体的な確率モデルの考察の過程で抽出された問題である。たとえば、粒子の拡散を記述するベルヌ-イ・ラプラス模型を一般化して、粒子の重ね合わせを許容したモデルを考えた場合、拡散の様子はグラスマン多様体上のマルコフ連鎖として定式化できる。これはランクの高い対称空間なので、球関数の取扱いは結構厄介ではあるが、推移確率をヘッケ環の元としてとらえ直すことにより、古典群の調和解析に持ち込む筋道をつけることができたと思っている。
• 代数的組合せ論の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1992 -1992 

  Author : 野田 隆三郎, 洞 彰人, 神保 秀一, 池畑 秀一, 石川 洋文

   

  1 タイトt-デザインの分類については ウイルソン多項式の根の整数条件が有力な手がかりであるが これの処理方法においてかなりの進展が得られた。今後はこれ以外に入の整数性をうまく結びつけて 最終的な解決をはかりたいと考えている。 2 擬対称4-デザインはタイト4-デザインに他ならず すでに分類が完成している。条件を擬対称3-デザインに弱めても 同じ手法がかなりの程度まで使えることが分かった。デザインの諸パラメーターの整数性および付隨する強正則グラフの結合行列の固有値の整数性が 強い制約を与えており これらをうまく処理して分類を完成させる 見通しができた。 3 スタイナーシステムS(t,k,v)において よく知られているキャメロンの不等式 V≧(b+1)(k-t+1) および私の証明した不等式 V≧(b+1)(k-t+1)+(k-t)の改良として次の結果を得た。 定理 tが奇数で V>(t+1)(k-t+1)とすると V≧(t+2)(k-t+1) が成りたつ.さらに等号が成りたつのは(t,k,v)=(t,b+1,2t+4)のときに限る. この結果は近く論文にまとめる予定である. 4 等周問題については3次元におけるミンコフスキーの不等式 M^2≧4πA,およびA^2≧3VMの改良がいま一歩のところまで進展した。これは有名なブルン・ミンコフスキーの不等式の改良とも結びついているので完成すれば大変面白い結果であると考ている。近いうちに是非完成したい。 また逆向きの等周不等式については 2次元におけるゲージの証明はそのまま3次元以上に適用することはできないがボンネゼンの定理をうまく使う事によって解決への重要な手がかりが得られた。
• 確率過程の関数解析学的研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  Date (from‐to) : 1989 -1989 

  Author : 佐藤 坦, 洞 彰人, 西川 青季, 河原 康雄, 坂内 英一, 白谷 克巳

   

  主要な研究業績は次の通りである。 [1]代表者が定義した、2階のFISHER型情報量が有限の密度関数を持つ確率測度(特別な場合としてガウス測度を含む)の無限直積をμとする。他方{ε_n}をRADEMACHER確率変数列、{a_n}を実数列とするとき確率変数列{a_nε_n}の導く数列空間上の確率測度をυとする。 このとき合成積μ*υとμの絶対連続性の成り立つ条件を求めることは、合成積の絶対連続性の問題を考える上で基本となる問題である。 この問題に関してΣa_n^4<+∞であることがμ*υ〜μ(互いに絶対連続)であるための必要条件であることを証明し、1989年春の日本数学会年会(上智大学)で報告した。これは無限直積測度の絶対連続性に関する北田ー佐藤の結果の精密化である。Σa_n^4<+∞の十分性の証明が次の問題である。 [2]代表者は[1]の問題を研究する上で新しい基本原理を発見した。すなわち加法的マルチンゲ-ルに対応する指数マルチンゲ-ルの一様可積分性についての新しい必要十分条件を提案した。これはマルチンゲ-ル理論に新たなペ-ジを書き加えると共に、関数空間上の確率測度の絶対連続性の研究への今後の応用が期待される。英国の雑誌STOCHASTICS AND STOCHASTICS REPORTSに掲載予定である。 [3]代表者の指導のもとで大学院生福田亮治はバナッハ空間値サブーガウス確率ベクトルを定義し、その指数可積分性を証明した。これはガウス確率ベクトルの指数可積分性を証明したFERNIQUEの一般化であり、MALLIAVIN CALCULUSやHIDA CALCULUSとの関連が注目される。西独の雑誌PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDSに掲載予定である。 [4]分担者洞は可換リ-群上の確率測度の無限直積について準不変性を研究し、準不変部分群を定式化した。