Researcher Database

Youichi Shibukawa
Faculty of Science Mathematics Mathematics
Associate Professor

Researcher Profile and Settings

Affiliation

  • Faculty of Science Mathematics Mathematics

Job Title

  • Associate Professor

Degree

  • Doctor (Sciences)(Waseda University)

J-Global ID

Research Interests

  • Quantum Yang-Baxter equation   

Research Areas

  • Natural sciences / Algebra

Association Memberships

  • 日本数学会   Mathematical Society of Japan   

Research Activities

Published Papers

  • Dynamical Yang-Baxter maps and weak Hopf algebras associated with quandles
    Noriaki Kamiya, Youichi Shibukawa
    Proceedings of the Meeting for Study of Number Theory, Hopf Algebras and Related Topics 1 - 23 2019 [Refereed][Invited]
  • Youichi Shibukawa
    JOURNAL OF ALGEBRA 449 408 - 445 0021-8693 2016/03 [Refereed][Not invited]
     
    We construct Hopf algebroids by means of dynamical Yang Baxter maps, set-theoretic solutions to a version of the quantum dynamical Yang Baxter equation. This Hopf algebroid with suitable properties implies two rigid tensor categories: one is a category consisting of finite-dimensional dynamical representations; the other is a category consisting of L-operators on finite-dimensional spaces. They are isomorphic to each other. (C) 2015 Elsevier Inc. All rights reserved.
  • Diogo Kendy Matsumoto, Youichi Shibukawa
    TOKYO JOURNAL OF MATHEMATICS 38 (1) 227 - 237 0387-3870 2015/06 [Refereed][Not invited]
     
    We prove that braided semigroups with suitable conditions can produce solutions to the quantum Yang-Baxter equation in every tensor category. As an application, some dynamical Yang-Baxter maps, set-theoretic solutions to a version of the quantum dynamical Yang-Baxter equation, are constructed.
  • Noriaki Kamiya, Youichi Shibukawa
    Journal of Generalized Lie Theory and Applications 5 1736-4337 2011 [Refereed][Not invited]
     
    We construct dynamical Yang-Baxter maps, which are set-theoretical solutions to a version of the quantum dynamical Yang-Baxter equation, by means of homogeneous pre-systems, that is, ternary systems encoded in the reductive homogeneous space satisfying suitable conditions. Moreover, a characterization of these dynamical Yang-Baxter maps is presented. © 2011, Ashdin Publishing. All rights reserved.
  • Youichi Shibukawa, Mitsuhiro Takeuchi
    JOURNAL OF ALGEBRA 323 (6) 1698 - 1728 0021-8693 2010/03 [Refereed][Not invited]
     
    Notions of an (H. X)-bialgebioid and of its dynamical representation are proposed. The dynamical representations of each (H. X)bralgebroid form a tensor category. Every dynamical Yang-Baxter map R(lambda) satisfying suitable conditions. a generalization of the set-theoretical solution to the quantum Yang-Baxter equation, gives birth to air (H. X)-bialgebroid A(R). The categories of L-operators for R(lambda) and of dynamical representations of AR are isomorphic as tensor categories, (C) 2009 Elsevier Inc. All rights reserved.
  • Survey on dynamical Yang-Baxter maps
    Youichi Shibukawa
    Noncommutative Structures in Mathematics and Physics 239 - 244 2010 [Refereed][Not invited]
  • Youichi Shibukawa
    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 43 (4) 1157 - 1182 0034-5318 2007/12 [Refereed][Not invited]
     
    By means of left quasigroups L = (L, center dot) and ternary systems, we construct dynamical Yang-Baxter maps associated with L, L, and (center dot) satisfying an invariance condition that the binary operation (center dot) of the left quasigroup L defines. Conversely, this construction characterize such dynamical Yang-Baxter maps. The unitary condition of the dynamical Yang-Baxter map is discussed. Moreover, we establish a correspondence between two dynamical Yang-Baxter maps constructed in this paper. This correspondence produces a version of the vertex-IRF correspondence.
  • Y Shibukawa
    INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES 2005 (36) 2199 - 2221 1073-7928 2005/08 [Refereed][Not invited]
  • Y Shibukawa
    JOURNAL OF PHYSICS A-MATHEMATICAL AND GENERAL 37 (6) 2115 - 2120 0305-4470 2004/02 [Refereed][Not invited]
     
    In this work, we present a vertex-face correspondence between an elliptic R-operator and Boltzmann weights related to the Lie superalgebra sl(m In).
  • Y Shibukawa
    JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS 42 (6) 2725 - 2745 0022-2488 2001/06 [Refereed][Not invited]
     
    We classified the R-operators which satisfy the quantum Yang-Baxter equation on a function space. In this study, we gave all the meromorphic solutions of the system of the functional equations which is a necessary and sufficient condition for the R-operator to satisfy the Yang-Baxter equation. Most of the solutions were expressed in terms of the elliptic, trigonometric and rational functions. (C) 2001 American Institute of Physics.
  • N Kawazumi, Y Shibukawa
    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 36 (1) 85 - 109 0034-5318 2000/03 [Refereed][Not invited]
     
    We give all the meromorphic functions defined near the origin 0 is an element of C satisfying a functional equation investigated by Bruschi and Calogero [1], [2].
  • Y SHIBUKAWA
    COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS 172 (3) 661 - 677 0010-3616 1995/09 [Refereed][Not invited]
     
    As for an elliptic R-operator which satisfies the Yang-Baxter equation, the incoming and outgoing intertwining vectors are constructed, and the vertex-IRF correspondence for the elliptic R-operator is obtained. The Boltzmann weights of the corresponding IRF model satisfy the star-triangle relation. By means of these intertwining vectors, the factorized L-operators for the elliptic R-operator are also constructed. The vertex-IRF correspondence and the factorized L-operators for Belavin's R-matrix are reproduced from those of the elliptic R-operator.
  • Y SHIBUKAWA
    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 28 (5) 775 - 807 0034-5318 1992/12 [Refereed][Not invited]
     
    The tensor product of two representations of the discrete series and the limit of the discrete series of U(q)(su(1,1)) is decomposed into the direct sum of irreducible components of U(q)(sl(1, 1)), and the Clebsch-Gordan coefficients with respect to this decomposition are computed in two ways. In some cases, the tensor product of an irreducible unitary representation of U(q)(su(2)) and a representation of the discrete series of U(q)(su(1,1)) is decomposed into the direct sum of irreducible components of U(q)(sl(2)), and the Clebsch-Gordan coefficients with respect to this decomposition are calculated, too. Making use of these coefficients, the linearization formula of the matrix elements is obtained.
  • Y SHIBUKAWA, K UENO
    LETTERS IN MATHEMATICAL PHYSICS 25 (3) 239 - 248 0377-9017 1992/07 [Refereed][Not invited]
     
    An infinite-dimensional R matrix related to the limiting case n --> infinity of the completely Z(n) symmetric R matrix is discovered. This R matrix is expressed as an operator on C infinity(S1 x S1). Moreover, the fusion procedure of the R-operator is investigated and the finite-dimensional R matrices are constructed from the R operator.
  • K UENO, Y SHIBUKAWA
    INTERNATIONAL JOURNAL OF MODERN PHYSICS A 7 977 - 984 0217-751X 1992 [Refereed][Not invited]
     
    A q-analogue of the Frobenius formula is proved by means of the quantum groups U(q)(gl(n+1)), A(q)(GL(n+1)) and Iwahori's Hecke algebra of type A(N-1), and then, the character table of this Hecke algebra is investigated.
  • K UENO, T TAKEBAYASHI, Y SHIBUKAWA
    PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 26 (4) 667 - 679 0034-5318 1990/12 [Refereed][Not invited]
     
    The Gelfand-Tsetlin basis for irreducible c-union-q(gl(N+1))-modules of finite dimensions is constructed by means of the lowering operators.
  • K UENO, T TAKEBAYASHI, Y SHIBUKAWA
    LETTERS IN MATHEMATICAL PHYSICS 18 (3) 215 - 221 0377-9017 1989/10 [Refereed][Not invited]

Books etc

Conference Activities & Talks

  • ヤン・バクスター方程式からホップ亜代数へ  [Invited]
    澁川 陽一
    第63回代数学シンポジウム  2018/09
  • Dynamical Yang-Baxter maps and quandles  [Invited]
    SHIBUKAWA Youichi
    Meeting for Study of Number theory, Hopf algebras and related topics  2017/02
  • Hopf algebroids by means of parallelepipeds  [Invited]
    SHIBUKAWA Youichi
    Hopf-Algebra Conference in Tsukuba  2016/09
  • Hopf algebroids and dynamical Yang-Baxter maps  [Invited]
    SHIBUKAWA Youichi
    Tsukuba Mini-conference on Hopf algebras and differential Galois theory  2015/09
  • ダイナミカル・ヤン・バクスター写像を用いたホップ亜代数の構成  [Not invited]
    澁川 陽一
    東京無限可積分系セミナー, 東京大学  2015/01
  • Hopf algebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps  [Not invited]
    SHIBUKAWA Youichi
    日本数学会2014年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, 広島大学  2014/09
  • Rigid tensor categories associated with dynamical Yang-Baxter maps  [Not invited]
    SHIBUKAWA Youichi
    日本数学会2014年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, 広島大学  2014/09
  • Left bialgebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps  [Not invited]
    SHIBUKAWA Youichi
    SNU-HU Joint Symposium  2013/12
  • Idempotent dynamical braiding maps and dynamical semigroups with left unit  [Not invited]
    Diogo Kendy Matsumoto, Youichi Shibukawa
    日本数学会2013年度年会  2013/03
  • Dynamical Yang-Baxter maps associated with homogeneous pre-systems  [Not invited]
    Noriaki Kamiya, Youichi Shibukawa
    日本数学会2011年度年会無限可積分系セッション  2011/03
  • Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps  [Not invited]
    Youichi Shibukawa
    日本数学会2011年度年会無限可積分系セッション  2011/03
  • FRT construction for dynamical Yang-Baxter maps  [Invited]
    Youichi Shibukawa
    ホップ代数と量子群  2010/10
  • Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps  [Invited]
    SHIBUKAWA Youichi
    Quantum groups and quantum topology  2010/04
  • Bialgebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps  [Not invited]
    Youichi Shibukawa
    Noncommutative structures in Mathematics and Physics  2008
  • Dynamical Yang-Baxter maps  [Not invited]
    Youichi Shibukawa
    Enigma conference on Mathematical Physics  2007

MISC

  • 澁川陽一  代数学シンポジウム報告集  2019/01  [Not refereed][Invited]
  • Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps
    Youichi Shibukawa  数理解析研究所講究録  1714-  80  -89  2010/09  [Not refereed][Invited]
  • Dynamical Yang-Baxter maps
    SHIBUKAWA Youichi  RIMS Kokyuroku  1647-  81  -96  2009/05  [Not refereed][Not invited]
  • On the classification of R-operators
    Youichi Shibukawa  数理解析研究所講究録  1245-  25  -35  2002  [Not refereed]
  • Vertex-face correspondence in elliptic solutions of the Yang-Baxter equation
    Youichi Shibukawa  Statistical models, Yang-Baxter equation and related topics and Symmetry, statistical mechanical models and applications  304  -311  1996  [Not refereed][Not invited]
  • Infinite-dimensional R matrix with complete Z symmetry
    Youichi Shibukawa, Kimio Ueno  Quantum Groups, Integrable Statistical Models and Knot Theory  302  -318  1993  [Not refereed][Not invited]
  • A new solution of the Yang-Baxter equation with complete Z symmetry
    Youichi Shibukawa, Kimio Ueno  Differential Geometric Methods in Theoretical Physics  309  -312  1993  [Not refereed][Not invited]
  • Completely Z Symmetric R Matrix
    SHIBUKAWA Youichi  RIMS Kokyuroku  810-  22  -38  1992/09  [Not refereed][Invited]
  • Clebsch-Gordan Coefficients for Uq(su(1,1))
    SHIBUKAWA Youichi  RIMS Kokyuroku  808-  209  -226  1992/09  [Not refereed][Invited]

Research Grants & Projects

  • ダイナミカル・ヤン・バクスター写像から定まる2つの代数の森田同値性
    日本学術振興会:科学研究費助成事業 基盤研究(C)
    Date (from‐to) : 2017/04 -2021/03 
    Author : 澁川 陽一
     
    ダイナミカル・ヤン・バクスター写像は左双亜代数,面代数という代数を生み出す.この2つの代数の少し広い意味での森田同値性を明らかにすることが本研究の目的である.すなわち,研究代表者らが構成した左双亜代数のダイナミカル表現全体のなすテンソル圏と,面代数の表現全体のなすテンソル圏の間の圏同値を得ることを研究目的とする. 前年度には,研究代表者らによる左双亜代数の構成方法を一般化した.ここで特筆すべきは,一般的な代数上で左双亜代数を構成したことである.研究代表者らによる今までの構成方法では有限集合から体への写像全体のなす代数が現れ,これが分離的フロベニウス環であることから,構成した左双亜代数が弱双代数になってしまうという弱点があった.今回の共同研究による構成方法では,この弱点を克服し,有限集合から体への写像全体のなす代数の代わりに,ある程度条件は付くものの,より一般的な代数を用いて構成ができるようになった.これにより,弱双代数ではない真の左双亜代数が,分離的フロベニウス環でない代数を用いることにより,より直接的かつ簡明に構成できるようになった.当該年度では,この研究結果を共著論文としてまとめ,現在もその修正中である.来年度の早い時期に論文雑誌に投稿したいと考えている. また,この研究成果を含む,研究代表者らによるホップ亜代数の構成について,平成30年9月に開催された代数学シンポジウムにおいて講演し,その内容とまとめ報告した.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 2014/04 -2017/03 
    Author : SHIBUKAWA Youichi
     
    The main results of this research are: (1) to clarify what the reflection equation associated with dynamical Yang-Baxter maps is; and (2) to construct solutions to the reflection equation associated with the dynamical Yang-Baxter maps from dynamical braces. In addition, we produced dynamical Yang-Baxter maps by means of quandles, which play an important role in the study of links. We showed that these dynamical Yang-Baxter maps give birth to weak Hopf algebras.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 2010/10 -2014/03 
    Author : SHIBUKAWA Youichi
     
    The main result of this research is to construct algebras, such as Hopf algebroids and face algebras, from dynamical Yang-Baxter maps, solutions to a version of the quantum dynamical Yang-Baxter equation. By making use of these Hopf algebroids, we provided with rigid tensor categories, which are tensor categories with "duals". In addition, we established a method to produce the dynamical Yang-Baxter map.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 2010 -2012 
    Author : YAMASHITA Hiroshi, SAITO Mutsumi, SHIBUKAWA Youichi, ABE Noriyuki, NISHIYAMA Kyo
     
    In this research project, we investigated realization of singular irreducible unitary representations of Lie groups through geometric approach. First, we have established the Fock model version of Dvorsky-Sahi theory on an extension of the theta duality correspondence for singular unitary highest weight representations of reductive Lie groups, by decomposing tensor products of fundamental representations in terms of geometric invariants for representations in question. Second, the singular orbits in prehomogeneous vector spaces arising from quaternionic structure of exceptional simple Lie groups of real rank 4 have been described by using data on root systems, and we have proved that the singular quarternionic unitary representations, due to Gross and Wallach, can be realized by geometric quantization of the corresponding quarternionic nilpotent K-orbits.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 2007 -2009 
    Author : SHIBUKAWA Youichi
     
    We constructed bialgebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps, set-theoretic solutions to the quantum dynamical Yang-Baxter equation. Each bialgebroid provides with the tensor category consisting of its dynamical representations. This bialgebroid is a coalgebra object of a pre-tensor category ; and such category-theoretic properties give birth to the tensor category of dynamical representations. We also constructed the dynamical Yang-Baxter map by means of the principal homogeneous space.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
    Date (from‐to) : 2006 -2009 
    Author : KAWAZUMI Nariya, MATSUMOTO Yukio, MORITA Shigeyuki, HASHIMOTO Yoshitake, SHIBUKAWA Youichi, AKITA Toshiyuki, ENDO Hisaaki, ASUKE Taro, TADOKORO Yuuki
     
    Bene, Penner and the principal investigator discovered fatgraph Magnus expansions, which connects a combinatorial structure of a Riemann surface directly to some algebraic aspects of the mapping class groups. The principal investigator also discovered a new analytic invariant of a closed Riemann surface to describe how curved the moduli space of Riemann surfaces is. Kuno and the principal investigator discovered a new connection between two refinements of the intersection form on a Riemann surfaces, the Goldman Lie algebras and the Lie algebras of symplectic derivations. As an application, they proved a non-commutative analogue of the Picard-Lefschetz formula.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
    Date (from‐to) : 2006 -2009 
    Author : YAMASHITA Hiroshi, YOSHIDA Tomoyuki, YAMAGUCHI Keizo, SAITO Mutsumi, SHIBUKAWA Youichi, TACHIZAWA Kazuya, KAWAZOE Takeshi, MATUMOTO Hisayosi, TANIGUCHI Kenji, WACHI Akihito, NISHIYAMA Kyo, MATSUKI Toshihiko, SEKIGUCHI Jiro, ISHI Hideyuki, SHIMENO Nobukazu, MORITA Hideaki, HIRAI Takeshi
     
    We have aimed at new development of representation theory of semisimple Lie groups and harmonic analysis on homogeneous spaces, by focusing our attention to various duality concerning representations and group orbits. Among other things, the Howe duality correspondence has been clearly understood in connection with generalized Whittaker models and isotropy representations for unitary highest weight modules. We have studied geometric invariants for discrete series and degenerate principal series representations. Significant achievements of this research projectinclude complex analytic continuation of the Matsuki duality on flag variety, classification of homomorphisms between generalized Verma modules, and numbers of contributions by other related researches.
  • 日本学術振興会:科学研究費助成事業 若手研究(B)
    Date (from‐to) : 2003 -2005 
    Author : 澁川 陽一
     
    研究代表者は,昨年度,集合上のダイナミカル・ヤン・バクスター方程式にあたる新しい方程式を定式化した.さらに,ダイナミカル・ヤン・バクスター写像(DYBM)と呼ばれるこの方程式の解を,数多く構成する系統的な方法を確立した. 本年度は,この結果をさらに一般化した.本年度行った研究によって得られた新たな知見等のうち,主な成果を次に挙げる. 1.Lをleft quasigroupとし,Mをある条件を満たすternary systemとする.全単射π:L→Mが存在するならば,この(L,M,π)を用いて,DYBMを構成することができる.さらに,不変条件を満たすDYBMは,必ずこのように構成される. 2.1で構成した2つのDYBMがIRF-IRF対応を持つ.特に,一方がヤン・バクスター写像(YBM)の場合,この対応は,いわゆるVertex-Face対応にあたる. これらの研究成果,特に2は,交付申請書に記載した本年度の研究実施計画(1)を,研究の進展に合わせて,さらに発展させることにより得られたものである. また,交付申請書の研究の目的(2)であるDYBMに付随して定義されるL作用素達がテンソル圏をなすことも,証明した. さらに,交付申請書の研究の目的(3)にある量子代数の構成は,上記2にあるVertex-Face対応を用いて,現在研究中である. 本研究の成果は,DYBMの新たな構成方法を開発したことにとどまらない.この構成方法を用いて不変条件を満たすDYBMの分類が出来たので,この分類を,不変条件を満たすYBMの構造の研究に応用出来るのではないかと期待している. なお,本研究に関する成果を論文にまとめ,雑誌論文として公表する予定にしている.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 2002 -2004 
    Author : KAWAZUMI Nariya, MATSUMOTO Yukio, MORITA Shigeyuki, HASHIMOTO Yoshitake, SHIBUKAWA Youichi, AKITA Toshiyuki
     
    We discovered a close relation between Stasheff associahedrons and (generalized) Magnus expansions of a free group. A certain part of the twisted Morita-Mumford classes can be extended to the automorphism group of a free group. It is parametrized by Stasheff associahedrons "infinitesimally" and "combinatorially" how the extended Johnson maps are far from true group homomorphisms. We extended our theory on harmonic Magnus expansions to the universal family of Riemann surfaces. This yields another series of canonical 1 forms on the universal family than what we have already obtained on the moduli space. As a corollary, we obtained a proof that the first Jonson map and the (0,3)-twisted Morita-Mumford class coincides with each other as differential forms on the moduli space. The Magus representation of the automorphism group of a free group was constructed in an intrinsic manner. Here 'intrinsic' means 'with no use of Fox' free differentials.' We co-organized a workshop entitled "Toward the future of the topological study of manifolds" in November 2004.
  • 日本学術振興会:科学研究費助成事業 萌芽研究
    Date (from‐to) : 2002 -2004 
    Author : 山下 博, 山口 佳三, 齋藤 睦, 澁川 陽一, 和地 輝仁
     
    本課題研究は,無限次元半単純リー代数(群)や量子群に対して,有限次元群の場合の既約許容表現,すなわちハリシュ-チャンドラ加群に相当する新しい表現の族を構成・分類するために,「代数的量子化」の理論が無限次元の場合にいかに展開できるか,その可能性を探ること主目標としている.今年度は,昨年度に行った試行的研究を推し進め,代数的ディラク作用素及びディラクコホモロジーを用いて,共役類の量子化と許容表現の構成を検討した.また,リー代数の作用に関する不変式論,トーリック多様体上の微分作用素環,量子群の研究を併せて行った.その研究経過と得られた知見について,以下に報告する. 研究代表者山下は,A型のリー代数に対して,簡約あるいはべき零な部分リー代数から定まるディラク作用素の構成とコホモロジー空間の構造を検討した.その過程で,表現論国際会議(平成16年8月開催,於新疆大学)に参加し,有限次元の場合の専門家であるJing-Song Huang(香港科技大)およびPavle Pandzic(Zagreb大)と研究打合せを重点的に行った.無限次元リー代数に理論が拡張できる部分と障害となる部分が明らかになり,今後研究を発展させるために重要な手がかりが得られたと考えている.また,ディラク作用素と基盤研究(B)(課題番号14340001)で実施中の離散系列に対する等方表現との間の関係を調べた.研究分担者和地は,対称対に関する不変微分作用素を定める普遍包絡代数の元の研究を行い,デュアルペアと関わる明示的公式を得た. 無限次元リー代数の表現の研究に資するため,研究分担者齋藤は,アフィン半群環上の微分作用素環やA-超幾何系において基本的な加群の圏Oを扱い,各々の圏Oにおいてヴァーマ的対象や単純対象と,それらの間の基本的な関手について考察した.研究分担者澁川は,力学的ヤン・バクスター方程式の集合論的解を構成した.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 2000 -2001 
    Author : YAMASHITA Hiroshi, NISHIYAMA Kyo, SHIBUKAWA Youichi, SAITO Mutsumi, WACHI Akihito, OHTA Takuya
     
    The associated variety of an irreducible Harish-Chandra module gives a fundamental nilpotent invariant for the corresponding irreducible admissible representation of a real reductive group. Moreover, the multiplicity in the Harish-Chandra module of an irreducible component of the associated variety can be regarded as the dimension of a certain finite-dimensional representation, called the isotropy representation. The head investigator, Yamashita, has already shown that, in many cases, the isotropy representation can be described, in principle, by means of the principal symbol of a differential operator of gradient-type whose kernel realizes the dual Harish-Chandra module. In this research project, we have begun a systematic study of the isotropy representations attached to Harish-Chandra modules with irreducible associated varieties, including quaternionic representations, discrete series and unitary highest weight modules. The results are summarized as follows: We developed a general theory for the isotropy representations, starting from the Vogan theory on associated cycles. In particular, a criterion for the irreducibility of an isotropy representation is presented. Also, we looked at when the isotropy representation can be described in terms of a differential operator of gradient-type. As for the discrete series, a nonzero quotient of the isotropy representation has been constructed in a unified manner. It seems that this quotient representation is large enough in the whole isotropy module. We have shown that this is the case if the theta-stable parabolic subgroup canonically determined from the discrete series in question admits a Richardson nilpotent orbit with respect to the complexified symmetric pair. The isotropy representation is explicitly described for every singular unitary highest weight module of Hermitian Lie algebras BI, DI and EVII. This allows us to deduce that the isotropy modules are irreducible for all singular unitary highest weight modules of arbitrary simple Hermitian Lie algebra. Principal contribution by the investigators : Saito developed his research on A-hypergeometric system, which is closely related to a realization of unitary highest weight modules. He has established a formula for the rank of a homogeneous A-hypergeometric system. Wachi constructed an analogue of the Capelli identity for generalized Verma modules of scalar type. Nishiyama and Ohta gave a correspondence of nilpotent orbits associated to a symmetric pair, by menas of the moment map with respect to a reductive dual pair.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 2000 -2001 
    Author : SAITO Mutsumi, SHIBUKAWA Youichi, MATSUMOTO Keiji, YAMASHITA Hiroshi, WACHI Akihito, YAMADA Hiro-fumi
     
    With support of many examples with a computer, and by communication with world-wide experts in several fields, we obtained the following results. Mutsumi Saito generalized the classification theorem of A-hypergeometric systems to the cases when A is inhomogeneous and/or when we work in the analytic category. He also gave a dimension formula for the log-free series solutions when A is homogeneous, and a rank formula and the proof of the equivalence of Cohen-Macaulayness with the condition that the ranks are the same at all parameters, when A is homogeneous, and the convex hull of A is a simplex. Hiroshi Yamashita obtained some results useful to know when an isotropy representation is irreducible. Furthermore he systematically constructed nonzero quotient representations of isotropy representations attached to discrete series. Keiji Matsumoto clarified a pairing between twisted cohomology groups associated with generalized Airy functions. Writting a base of twisted cohomology groups by Young diagrams, he showed that for the base, the pairing can be explicitly written by skew-Schur polynomials. Youichi Shibukawa solved the classification problem for R operators. For the simplest affine Lie algebra A_1^<(1)> , using two of its realizations, Hiro-Fumi Yamada discovered the weight vectors are written by a modular version of Schur functions and Schur's Q-functions respectively. Akihito Wachi has studied the structure of generalized Verma modules, in particular, their irreducibility, emphasizing their relations with invariant functions.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 1999 -2001 
    Author : KAWAZUMI Nariya, OHBA Kiyoshi, MORITA Shigeyuki, MATSUMOTO Yukio, AKITA Toshiyuki, SHIBUKAWA Youichi
     
    Rational cohomology of the mapping class group (Morita and Kawazumi) : We proved the Morita-Mumford classes generate the primary approximation to the cohomology of the moduli of Riemann surfaces induced by the Johnson homomorphisms even in the unstable range. We gave a complete description how the corresponding twisted Morita-Mumford classes behave when a finite graph degenerates. Differential geometry of the moduli and Magnus expansions (Kawazumi) : Using Magnus expansions of a free group, we obtain an alternative proof of the IH-relation among the Johnson homomorphims. The notion of the harmonic Magnus expansion, which is canonicaly given by a complex structure of a surface, gives an interpretation of differential forms representing Morita-Mumford classes. We compute the quasi-conformal variation of the harmonic Magnus expansions as an explicit quadratic differential. We expect that the quadratic differential would give the key to the Johnson images of the mapping class groups. Torsion cohomology of the mapping class groups (Akita and Kawazumi) : Akita has given fascinating conjectures related to Morita-Mumford classes on the whole mapping class groups. We proved them for any semi-free cyclic subgroup. Kawazumi proved them for the hyperelliptic mapping class groups. Akita proved the twice of the odd Morita-Mumford classes are functions of G-signatures for any finite subgroup G of the mapping class groups. Bruschi-Calogero equation (Shibukawa and Kawazumi) : We gave all the meromorphic solutions of the equation. Shibukawa gave the complete classification of the R-matrices acting on the germs of meromorphic functions. The details and other results are reported in the official booklet written in Japanese.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 1999 -2000 
    Author : YAMADA Hiro-fumi
     
    My first attempt was to describe the weight basis of the basic representations of several typical affine Lie algebras. In particular, for the simplest affine Lie algebra A^<(1)>_1, I considered two realizations of the basic representation and found that the modular version of the Schur functions and Schur's Q-functions occur as weight basis, respectively. Analysing these two realizations, I found an interesting phenomenon for the elementary divisors of the spin decomposition matrices for the symmetric group. Namely the elemntary divisors of the spin decomposition matrices for prime 2 are all powers of 2. Though this fact actually can be proved by a general theory of modular representations, I could give a simple proof of this by utilizing representations of the affine Lie algebra A^<(1)>_1. Studying the zonal polynomials, which are a specialization of the Jack polynomials, I found an interesting fact in the character tables of the symmetric group. Later I recognizes that this fact had been found more than 50 years ago by Littlewood, whose proof is a bit complicated. I gave a simple proof of this fact as well as its spin version with Hiroshi Mizukawa, a graduate student. The main tools for the proof are again Schur functions and Schur's Q-functions. In the joint work with Takeshi Ikeda I could obtain all the homogeneous polynomial solutions for the nonlinear Schrodinger hierarchy. The schur functions indexed by the rectangular Young diagrams play an essential role in this theory.
  • Ministry of Education, Culture, Sports, Science and Technology:科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    Date (from‐to) : 1998 -1999 
    Author : Youichi Shibukawa
     
    本年度は,昨年度に引き続き,加法定理型の微分方程式であるBruschi-Calogero方程式について,その解の分類に関する研究を行った。Bruschi-Calogero方程式とは次のものである。 (^*) a(x)a'(y)-a'(x)a(y)=(a(x+y)-a(x)a(y))(b(x)-b(y)) ここでaとbを未知関数としている。Bruschi-Calogeroは,この微分方程式の一般的な解析的解として楕円関数解を求め,その退化した解として,三角関数解,有理関数解などをも求めている。次に問題となるのは,この微分方程式の解はBruschi-Calogeroによって得られた解のみしかないのかということである。そこで研究代表者は,この微分方程式の,原点近傍で定義された有理型関数解をすべて求めようと試み,これに成功した。すなわち,本研究によって得られた新たな知見等の成果は次の通りである。 aとbを原点中心のpunctured disk上定義された正則関数とする。関数aとbが微分方程式(^*)を満たすならば,aはC上定義された有理型関数となる。関数aは指数関数,楕円関数,三角関数,有理関数のいずれかで表される。 本研究に関する成果は近い将来,雑誌論文として発表される予定である。また,本研究の成果の口頭発表として,平成11年9月,日本数学会秋季総合分科会無限可積分系セッションにおいて、特別講演を行った。 これを記している現在,本研究の成果を用いて,ヤン・バクスター方程式の解であるR作用素の分類を行おうと試みている。
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 1998 -1999 
    Author : SAITO Mutsumi, SHIBUKAWA Youichi, YAMASHITA Hiroshi, YAMADA Hiro-Fumi
     
    With support of many examples by a computer, and by communication with world-wide experts in several fields, we obtained the following results. Mutsumi Saito has studied A-hypergeometric systems. He, in collaboration with Bernd Sturmfels and Nobuki Takayama, found and studied an unexpected relationship between A-hypergeometric systems and integer programmings, and showed the invariance of the rank of a regular holonomic system under Grobner deformations, and obtained three sufficient conditions for the rank of an A-hypergeometric system to equal the volume of the convex hull spanned by A. He classified parameters according to D-isomorphism classes of their corresponding A-hypergeometric systems. Hiro-Fumi Yamada has studied the relationship between Q-functions and affine Lie algebras. He showed a Q-function expressed as a polynomial of power sum symmetric functions is a weight vector for the basic representation of a certain affine Lie algebra realized on the polynomial ring, and illustrated the corresponding weight by Young diagrams. He also found an unexpected relation of Schur's S-functions and Q-functions. Hiroshi Yamashita has studied Harish-Chandra modules. He specified the embedding of Borel-de Siebenthal discrete series into the principal series representations. He also described the associated cycles of some important representations, such as discrete series and unitary highest weight representations, by using the principal symbols of invariant differential operators of gradient type whose kernels realize their dual Harish-Chandra modules. Youichi Shibukawa has worked on Ruijsenaars-Schneider dynamical integrable system. Related to its Lax presentation, he, in collaboration with Nariya Kawazumi, obtained all meromorphic solutions to the Bruschi-Calogero differential equation.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
    Date (from‐to) : 1997 -1999 
    Author : YAMASHITA Hiroshi, SHIBUKAWA Youichi, SAITO Mutsumi, YAMADA Hiro-fumi, NISHIYAMA Kyo, HIRAI Takeshi
     
    The purpose of this project is to study the embeddings of irreducible Harish-Chandra modules into various induced representations of a semisimple Lie group, by using the invariant differential operators of gradient type on certain homogeneous vector bundles over the Riemannian symmetric space. The kernel of such a differential operator realizes the maximal globalization of the dual Harish-Chandra module, and the determination of the embeddings in question is reduced to specifying the equivariant functions in this kernel space. First, the generalized Gelfand-Graev representations form a family of induced modules parametrized by the nilpotent orbits. Concerning the Harish-Chandra modules with highest weights for a simple Lie group of Hermitian type, the generalized Whittaker models associated with the holomorphic nilpotent orbits are specified. Namely, it is shown that each highest weight module embeds, with nonzero and finite multiplicity, into the generalized Gelfand-Graev representation attached to the unique open orbit in its associated variety. As for the unitary highest weight module, the space of the embeddings can be completely described in terms of the principal symbol of the differential operator of gradient type. Second, we consider a simple Lie group of quaternionic type. The 0th n-homology spaces, or equivalently, the embeddings into the principal series, of the Borelde Siebenthal discrete series are described, by using the Schmid differential operator of gradient type. We find in particular that the n-homology space has exactly two exponents if the real rank of the group is not one. Third, the relationship between the multiplicities in the associated cycles and the differential operators of gradient type are clarified for certain Harish-Chandra modules with irreducible associated varieties. The multiplicity can be written down by means of the principal symbol of a gradient type differential operator.
  • Japan Society for the Promotion of Science:Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Date (from‐to) : 1997 -1998 
    Author : YAMADA Hirofumi, NAKAJIMA Tatsuhiro, TERAO Hiroaki, SGIBUKAWA Youichi, SAITO Mutsumi, YAMASHITA Hiroshi
     
    I focused on a relationship of Schur's Q-functions and affine Lie algebras. First I found that the Q-functions, expressed as polynomials of power sum symmetric functions, form a weight basis for the basic representation of certain affine Lie algebras, realized on a polynomial ring. Q-functions are parametrized by the strict partitions. Using some combinatorics of Young diagrams, I determined the weight of the given Q-function. This procedure was applied to the simplest affine lie algebra $A^{(1)}_1$ to find an identity satisfied by Schur functions and Q-functions indexed by some specific partitions. At first this identity seemed funny : However this was proved to be true by making use of decomposition matrices of the spin representations of the symmetric group. By virtue of this fact, I turned to a study of the decomposition matrices themselves. As a first result I proved that the determinant of the decomposition matrix of the spin representations is equal to a power of two when the characteristic equals two. Another feature of my research is the so called "higher Specht polynomials" for the complex reflection group G(r, p, n). The group G(r, p, n) acts on the polynomial ring of n variables. The "coinvariant ring" is the quotient by the ideal which is generated by invariants over the group. It is known that the action of G(r, p, n) on this coinvariant ring is isomorphic to the regular representation. The higher Specht polynomials appear naturally as basis vectors of each irreducible component.
  • 日本学術振興会:科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    Date (from‐to) : 1996 -1996 
    Author : 澁川 陽一
     
    ここ数年、ヤン・バクスター方程式の無限次元解である完全Z対称なR行列を、関数空間上に実現することにより得られる楕円型R作用素の満たす性質について研究している。本年度に主として研究したのは、楕円型R作用素に付随した可換な差分作用素族の構成である。 ヤン・バクスター方程式の解である楕円型R作用素である適切な有限次元部分空間上に制限すると、Belavinにより構成されたヤン・バクスター方程式の有限次元解が得られる。そこで「Belavinにより構成された有限次元解の性質は、楕円型R作用素の性質から導かれるのではないか」という問題が生じる。研究代表者が以前に示した楕円型R作用素に関するVertex-IRF対応も、上記の問題を肯定的に解決したものであると捉えられる。 ヤン・バクスター方程式の有限次元解は、多くの数理物理学者により研究されている。特に、有限次元解に付随した可換な差分作用素族の構成は、現在、活発に研究されている分野の1つである。 昨年度の科学研究費補助金実績報告書に記載したように、楕円型R作用素から可換な差分作用素族を構成する方法の1つは知られていた。Belavinによる解では、これ以外の構成方法が知られている。そこで本年度は、この方法を一般化して楕円型R作用素に付随した可換な差分作用素族を構成しようと試みた。現在、簡単な結果が得られている。今後は、これをさらに発展させ、論文にまとめていきたいと考えている。
  • 日本学術振興会:科学研究費助成事業 重点領域研究
    Date (from‐to) : 1995 -1995 
    Author : 澁川 陽一
     
    ここ数年、ヤン・バクスター方程式の関数空間上の解である、楕円型R作用素の満たす性質いついて研究ししている。 昨年度、楕円型R作用素がvertex-face対応という性質を持つことを証明し、その後、本年度にかけてこの結果を論文にまとめた。それが「11.研究発表」に記した論文である。したがって、この論文中のほとんどの結果は昨年度中に得られたものであるが、論文末の「Note added in proof」に書いた2つの結果は、本年度になってから得られたものである。そのうちの1つは、incoming intertwining vectorにもう1つパラメータを付け加えることができるということである。これは、後に記す可換な差分作用素族を構成するときに必要となる。また、outgoing intertwining vetorが存在するということは昨年度中までに得られていたが、本年度になってその具体的な形を求められることに気が付いた。これが2つ目の結果である。 これ以外に、楕円型R作用素を退化させて得られる三角関数型R作用素に付随する格子模型に関する研究を桑野泰宏・山田裕二両氏と行った。格子模型の統計力学的取り扱いに習熟していない私にとっては、大変有意義なものであった。そして、楕円型R作用素から可換な差分作用素族が構成できることもわかった。構成方法は野海正俊氏に教えてもらったものである。可換な差分作用素族の構成には別の方法がある。これに関しても簡単な場合には計算することができた。一般の場合についても、計算していきたい。 以上の研究を実行する上で、パーソナルコンピューター(パワーマッキントッシュ8100)とそれに入れた計算用ソフト(マセマティカ)を利用した。このソフトでは簡単な楕円関数も扱えるので、大変役立っている。
  • 日本学術振興会:科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    Date (from‐to) : 1995 -1995 
    Author : 渋川 陽一
     
    ここ数年、ヤン・バクスター方程式の関数空間上の解である、楕円型R作用素の満たす性質について研究している。 昨年度、楕円型R作用素がvertex-face対応という性質を持つことを証明し、その後、本年度にかけてこの結果を論文にまとめた。それが「11.研究発表」に記した論文である。したがって、この論文中のほとんどの結果は昨年度中に得られたものであるが、論文末の「Note added in proof」に書いた2つの結果は、本年度になってから得られたものである。そのうちの1つは、incoming intertwining vectorにもう1つパラメータを付け加えることができるということである。また、outgoing intertwining vectorが存在するということは昨年度中までに得られていたが、本年度になってその具体的な形を求められることに気が付いた。これが2つ目の結果である。 これ以外に、楕円型R作用素を退化させて得られる三角関数型R作用素に付随する格子模型に関する研究を桑野泰宏・山田裕二両氏と行った。格子模型の統計力学的取り扱いに習熟していない私にとっては、大変有意義なものであった。そして、楕円型R作用素から可換な差分作用素族が構成できることもわかった。構成方法は野海正俊氏に教えてもらったものである。可換な差分作用素族の構成には別の方法がある。これに関しても簡単な場合には計算することができた。一般の場合についても今後、計算していきたい。
  • 日本学術振興会:科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    Date (from‐to) : 1994 -1994 
    Author : 澁川 陽一
     
    以下、completely Z symmetric R matrixのことを楕円型R作用素ということにする。最近、FelderとPasquierはこの楕円型R作用素をmodifyした上で、その定義域をある有限次元部分空間上に制限して得られるR行列がBelavinのR行列と一致することを証明した。このBelavinのR行列に関しては、その量子代数も、さらにはその簡単な表現(いわゆるfactorized L-operator)も構成されている。そこで、楕円型R作用素についても、ここに用いられた手法と同様の手法でfactorized L-operatorが構成できないか、という問題が考えられる。結果からいうと、この問題は肯定的に解決された。解決への鍵となるのは、楕円型R作用素に関するVertex-IRF対応である。これはこの楕円型R作用素と、ある面型のヤンバクスター方程式の解との間の関係を記述する公式である。この公式が得られたので、これを元にして、BelavinのR行列に対して用いられた手法とほぼ同様の手法を用いることにより、factorized L-operatorが構成できたのである。研究実施計画は実現できたことになる。この結果とFelder-Pasquierの結果を合わせることにより、BelavinのR行列に関するVertex-IRF対応が得られる、そしてfactorized L-operatorが構成できることが再証明される。今後、これをさらに発展させ、当初の目標である、楕円型R作用素に付随した量子代数を定義したい。そのためにはまだまだ、楕円型R作用素の性質を詳しく研究しなくてはならない。また最近、楕円型R作用素と可換な差分作用素のなす族との関連を示す論文が発表されたので、それも参考にしながら研究をすすめていきたいと思う。
  • 日本学術振興会:科学研究費助成事業 一般研究(C)
    Date (from‐to) : 1994 -1994 
    Author : 日比 孝之, 澁川 陽一, 齋藤 睦
     
    近年,現代数学の様々な分野において離散構造の重要性が認識されてきた.古典的な組合せ論の研究対象である単体的複体,半順序集合や凸多面体に限っても,その面,鎖の個数や格子点の数え上げは可換代数や代数幾何と深い接点を持つことが判明し,更に,凸多面体の三角形分割の組合せ論は超幾何函数の理論などとの相互関係を保ちながら急激に進展している.このような現状において,当該研究の目的は(1)凸多面体の離散構造の研究を代数的側面から刺激し進展させること,及び(2)単体的複体に付随する可換代数の代数的不変量を組合せ論的に記述することであった.目的(1)について,当該年度は,整凸多面体P⊂R^Nに含まれる格子点の個数i(P,n)の母函数から定義されるδ-列の組合せ論的特徴付けを探究した.我々は,函数i(P,n)をHilbert函数とする可換整域A(P)を定義しその代数的振舞からPのδ-列の組合せ論的諸性質を研究した.更に,可換整域A(P)が次数1の元で生成されるならば,Pのδ-列はいわゆる上限定理型の不等式を満たすことに着目し,A(P)が次数1の元で生成されるための必要十分条件をPの組合せ論で記述することを試み,部分的な成果を得た.目的(2)について,当該年度は,単体的複体Δに付随するStanley-Reisner環k[Δ]のBetti数列を組合せ論的に記述する研究を遂行した.我々は,k[Δ]の有限自由分解が純となるような単体的複体Δを組合せ論的に分類することに挑戦したが,その際,計算代数の成果とグレブナ-基底の基礎理論を使って,計算機実験をしたことが有益であった.更に,Δが有限半順序集合Xの順序複体のとき,k[Δ]のBetti数列をXのメビウス函数を使って表示する方法を模索し,modular束Xの順序複体のCohen-Macaulay型を計算するための効果的な公式を発見した.
  • 日本学術振興会:科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    Date (from‐to) : 1993 -1993 
    Author : 澁川 陽一
     
    以下、コンプリ-トリ-ZシンメトリックなRマトリックスのことを簡単のため楕円関数型のR行列ということにする。楕円関数型のR行列に付随した代数をすぐに取り扱うことは難しいので、それを退化させて得られる三角関数型のR行列に付随した代数をまず研究した。研究目的・研究実施計画にもある通りこの代数の定義をし、そしてその表現を構成したいのであるが、そのためには三角関数型のR行列の性質を知ることが重要になってくるのでその性質についても合わせて研究した。代数に関しては、R行列の有限次元表現をとり、さらに上三角部分をとった上で量子代数を定義すると、それは量子群U_q(sl_n)のq-Serre関係式の一部を関係式として持つことがわかった。次は表現についてである。研究実施計画にも書いたように、表現を構成するときにはZamolodchikov代数が重要な役割を果たす。今の場合Zamolodchikov代数を用いて表現を構成するとき無限和が現れないことがわかった。すなわちそうなるようにうまく定義することができるのである。これを利用していくつか簡単な表現を得ることができた。今後、これらをさらに発展させ、当初の目標であるところの楕円関数型のR行列に付随した量子代数を定義したい。そのために、まず楕円関数型のR行列の性質を詳しく研究しなくてはならない。また最近他の楕円関数型のR行列に付随した量子代数について論文が発表されたので、それも参考にしながら研究をすすめていきたいと思う。


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