基本情報

所属

• 理学研究院　数学部門　数学分野

職名

• 助教

学位

• 修士(理学)（東京大学）
• 博士(数理科学)（東京大学）

J-Global ID

• 200901090119619383

研究分野

• 自然科学一般 / 幾何学

担当教育組織

•  学士課程　理学部
•  修士課程　理学院
•  博士課程　理学院

職歴

• 1994年 - 1995年 学術振興会 特別研究員

学歴

•         - 1995年   東京大学   数理科学研究科   数学
•         - 1995年   東京大学
•         - 1993年   東京大学   理学部   数学
•         - 1993年   東京大学

研究活動情報

その他活動・業績

• The monopole equations and J-holomorphic curves on weakly convex almost Kahler 4-manifolds

  Y Kanda TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 353 (6) 2215 -2243 2001年 [査読有り][通常論文]
   

  We prove that a weakly convex almost Kahler 4-manifold contains a compact, non-constant J-holomorphic curve if the corresponding monopole invariant is not zero and if the corresponding line bundle is non-trivial.
• On the Thurston-Bennequin invariant of Legendrian knots and non exactness of Bennequin's inequality

  Y Kanda INVENTIONES MATHEMATICAE 133 (2) 227 -242 1998年08月 [査読有り][通常論文]
   

  In this paper, we show that Bennequin's inequality is highly non exact with respect to Legendrian simple closed curves of certain topological types.
• The classification of tight contact structures on the 3-torus

  Kanda Yutaka Communications in Analysis and Geometry 5 (3) 413 -438 1997年 [査読有り][通常論文]
   

  In this paper, we obtain the classification of orientable tight contact structures on the 3-torus.

共同研究・競争的資金等の研究課題

• 写像類群に関わる有界コホモロジーとシンプレクティック・トポロジー

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 2008年 -2011年 

  代表者 : 神田 雄高

   

  曲面の写像類群の有界コホモロジーにかんする知見を得るべく、またすべての森田・マンフォード類は有界であろうという予想にアプローチするために、写像類群の有限次元表現について特にその像の大きさを上から評価する方法を研究した。またカンドルコホモロジーのレフシェッツ束への応用についての野坂武史の仕事から第1森田マンフォード類のグロモフ・ノルムについての評価を引き出す方法を研究した。
• レフシェッツ束に関わるシンプレクティッフ・トポロジーと有界コホモロジー

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 2005年 -2007年 

  代表者 : 神田 雄高

   

  レフシェッツ束のトポロジーを写像類群の立場から研究した。具体的には、第1森田マンフォード類のグロモフセミノルムを上から評価する問題について考察した。 これに関してはシンプレクチック・トポロジーからの寄与が大きい。本研究者も最初はその線からのアプローチが有望であると考えていた。しかし結局は全く異なる方針を取る事になった。すなわち写像類群から代数群への表現を組織的に構成する方法が知られており、これを利用するのである。 写像類群の「作用する」曲面について、その有限不分岐被覆を決めるごとに、写像類群の表現が一つ定まる。各々の表現からはターゲットの代数群の適当な2-コサイクルを引き戻すことで、第1森田マンフォード類に相当する2-コサイクルが豊富に得られる。これら2-コサイクルのセミノルムを評価するときポイントとなるのは、表現の像の大きさである。だがリコリッシュの生成元たちが、各表現によってどんな元に移るかという問題が既に容易ではない。ちなみにアーベル被覆に相当する表現の場合は、像の大きさがよくわかっているが、ここからは我々の問題に関する非自明な結果はえられない。 本研究者は、表現の像がその定義から自明に分かる値域に一致するための「障害」を、代数的K理論を用いて定義した。障害の非自明性や大きさの評価は今後の課題である。
• Floerホモロジー、特異点と変形理論

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 2002年 -2005年 

  代表者 : 小野 薫, 山口 佳三, 泉屋 周一, 石川 剛郎, 深谷 賢治, 太田 啓史, 神田 雄高, 太田 啓史

   

  シンプレクティック幾何におけるFloer理論について理論整備,応用の両面の研究を行った。ハミルトン系のFloer理論をラグランジュ交叉のFloer理論に拡張しフィルター付A_∞-代数,フィルター付A_∞-双加群の概念の導入,幾何学的構成を行った。Floer鎖複体を得るための障害,変形理論を整備した。 応用面では,ラグランジュ部分多様体のマスロフ類の非自明性,ラグランジュ部分多様体のハミルトン変形下での交叉の研究等を行った。また,シンプレクティック微分同相写像のFloer理論を用いてフラックス予想の解決をした。この予想はハミルトン微分同相写像群のシンプレクティック微分同相写像群への入り方について基本的な主張である。今研究期間中にこれらの研究を論文,プレプリントとしてまとめた。 複素曲面上の孤立特異点をそのリンクのシンプレクティック充填を通して理解する試みを太田氏と共に行ってきた。中でも単純特異点の場合は,極小シンプレクティック充填の一意性を示し,Brieskornの結果との関わりを調べた。単純楕円型特異点の場合には,充填の分類を得た。平滑化できるための必要十分条件を与えたPinkhamの結果の解釈をした。これらの成果は専門誌に掲載された。
• シンプレクティック構造と特異点

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 1999年 -2001年 

  代表者 : 小野 薫, 神田 雄高, 石川 剛郎, 泉屋 周一, 太田 啓史, 深谷 賢治, 清原 一吉

   

  Lagrange部分多様体の対のFloer homologyは常に定義されるとは限らない。何時定義することができるのかをはっきりさせるために、小野薫、深谷賢治、太田啓史はY. G. Oh氏と共にLagrange部分多様体に対してFloer homologyが定義されるための障害理論を作った。また、障害類が消えているときにはFloer homologyは定義されるが、それはbounding chainsというものの取り方に依存している。Floer homologyが如何にbounding chainsに依存の仕方は、Lagrange部分多様体に附随したfilter付きA_∞-代数の言葉で語ることができる。この代数は、障害類の消えているLagrange部分多様体のextended moduli(変形理論)を支配していると考えられ重要な研究対象となった。これらの研究成果は、4人の共著のプレプリントとして纏められている。 また、小野薫は、太田啓史と共に、2次元孤立特異点のリンクの極小symplectic fillingの微分同相類を、単純特異点、単純楕円特異点の場合に決定した。孤立特異点の極小特異点解消や、(存在するとは限らないが)Milnor fiberは、極小symplectic fillingの典型例を与える。しかし、一般にはこれら2つの複素幾何的対象は微分同相ではない。単純特異点の場合は、Brieskornによる同時特異点解消の存在からこれらが微分同相であることが知られていた。そこで、これを接触構造/symplectic構造の幾何の立場からの理解を与えたことになる。ここでは、研究分担者の神田雄高の貢献も大きかった。
• 射影接触幾何と特異点論

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 1998年 -2001年 

  代表者 : 石川 剛郎, 諏訪 立雄, 山口 佳三, 泉屋 周一, 清原 一吉, 小野 薫, 森本 徹, 神田 雄高, 中居 功

   

  研究代表者と分担者の森本徹との共同研究(研究業績参照),研究代表者と分担者の宮岡礼子,木村真琴との共同研究(共著論文を投稿中),研究代表者とボガエスキーとの共同研究(研究業績参照),の他に,研究代表者とヤネチコとの共同研究(共著論文を投稿中),研究代表者とザカリューキンとの共同研究を行った.また,他の研究分担者との共同研究も行った.具体的な研究実績は次の通りである:シンプレクシック簡約空間内のパラメータ付けられたヴァライティーがもとのシンプレクティック空間内のイソトロピック・ヴァライティーに持ち上げられるか,という判定条件を解明し,その持ち上げたもののシンプレクティック分類問題が,簡約空間内のヴァライティーの各葉でのシンプレクティック微分同型の族による分類に帰着されることを示した.さらに,最も重要な例として,平面曲線のシンプレクティック分類問題を追求し,シンプレクティック欠損の概念を導入し,シンプレクティック欠損およびシンプレクティック余次元が左右同値不変量であることを発見し,さらに,シンプレクティック平面曲線の左右単純特異点(Bruce-Gaffney特異点)のシンプレクティック・モヂュライを完全に決定することに成功した.また,2階の微分方程式としておもしろいクラスを作り,古くから研究されているモンジュ・アンペール方程式に対し,解の概念を接触幾何と結び付けることにより一般化し、同次方程式の解の大域的局所的構造、特異性を解析した.国際的雑誌に掲載された(研究績参照).ガウス写像・双対多様体の特異点論共形幾何,グラスマン幾何に現れる特異点の研究と,微分方程式論への応用.球面の可展部分多様体の極小部分多様体,調和写像,カリブレーションによる構成などの実績を得た.
• 低次元のシンプレクティック多様体とコンタクト多様体の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 1999年 -2000年 

  代表者 : 神田 雄高

   

  本年度はおもに4次元シンプレクティック多様体を中心として研究した。 まず、代数曲面の分類理論における一般型の類似として、閉4次元シンプレクティック多様体の分類における一般型を、次の条件を満たすものとして定義する。 第一チャーン類の自乗が正で、その上の自己双対な調和2形式の次元が2以上である そして一般型の閉4次元シンプレクティック多様体Xに対する以下の予想を立てた。 1)Xは宮岡=ヤウの不等式をみたす。 2)あるシンプレクティツク形式Wが存在し、カノニカル直線束の第一チャーン類Kは、Wのドラーム=コホモロジー類および、Wの与える概複素構造のカノニカル直線束の第一チャーン類K'と一致する。 さらにこの問題を攻略するために、次のようなアプローチを試みた。 1)第一の予想について;カノニカル直線束の第一チャーン類Kのポアンカレ双対は、ある擬正則曲線Dによって実現される。X-Dには自然なスピン構造が入る。そこで古田によるモノポール方程式の大域的倉西写像の構成を、X-Dのエンドに柱状のリーマン計量をいれた設定のもとで行なう。正確には、Dのアルバネーゼトーラスのある部分トーラスを低空間とする大域的倉西写像の族が得られる。これに同変k理論を適用して、Xのベッチ数と符号数に関する不等式をえる。 この方法では、Dの管状近傍の境界Mのエータ不変量(正確なエータ形式)を計算する必要がある。この方法は、Mに自由に働く自然なU(1)作用によって、関数空間をモード分解し、Mをこの作用で割った時得られるリーマン面S上のディラック作用素の指数の計算に帰着させる。残念ながらこの最後の部分の計算が完了していないので、得られる不等式の形がまだ求まっていない。 2)第二の予想について;出発点はドナルドソンによるリフシッツ=ペンシル束構造の存在定理である。この与えられたリフシッツ=ペンシル束構造に対し、ほとんどの所で横断的なリフシッツ=ペンシル束構造であって、その一般ファイバーのホモロジー類がKのポアンカレ双対の正数倍になっているものが存在すれば、欲しいシンプレクティック形式の存在は比較的容易に示せる。そのようなうまいリフシッツ=ペンシル束構造の構成問題の半分、すなわちファイバー上のペンシルの連続的な族をうまく構成する事は、低空間であるリーマン面上のあるグラスマニアン・ファイバー束に対して、うまい切断をとるという問題に言い直せる。この部分は克服できたが、残りの部分、すなわち各ファイバー上のペンシルに、有理曲線によるパラメーター付けを一斉に与えて、欲しいリフシッツ=ペンシルの構造を得る部分がまだできない。
• 3次元多様体上の接触構造と葉層構造の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 1998年 -1999年 

  代表者 : 三松 佳彦, 水谷 忠良, 高倉 樹, 松山 善男, 神田 雄高, 小野 薫, 山本 慎

   

  研究代表者の三松は分担者の水谷を含む葉層構造の研究グループとともに双接触構造及び、射影的Anosov流の研究に取り組み、多くの例を構成した。特に、3次元球面上に共にover tiwistedなものからなる双接触構造を構成し、Anosovの場合とは異なり双接触構造から普通の意味ではtight性が得られない事を示した。一方、実現できる平面場のホモトピー類は今のところ少なく、この事情を解明することが今後の課題として残った。 分担者の小野は、深谷氏との共同研究で擬正則曲線の理論をsymplectic topologyに応用する際の障害であった負多重曲線の問題を倉西構造の概念を導入して解決した。 また、小野と神田は、太田氏との共同研究で、接触構造論へのSeiberg-Witten理論の応用として、単純特異点の近傍のsymplectic fillingのトポロジーをSW理論を使って調べる研究をした。これらは、今後に更なる発展が期待できるが、それは最後にのべる研究項目との関わりにおいて最も顕著になるだろう。 神田は3次元トーラス上のtightな接触構造の分類やBennequinの不等式が最良評価でないこと等の、接触構造の位相的研究を行った。 高倉が以前から研究してきた幾何学的量子化の理論を基礎として、symplectic多様体上の擬正則曲線の理論を適用する替わりにLegenderian/Lagrangiaanトーラスによる双対的な方法を、三松と高倉は模索してきた。代数関数論における主要な概念の類似が定式化できることが分かったが、これにより接触構造の位相を調べることは、今後の問題であり、大きな発展が期待される。
• シンプレクティック幾何における指数定理と解析的二次不変量

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 1997年 -1999年 

  代表者 : 森吉 仁志, 夏目 利一, 亀谷 幸生, 前田 吉昭, 松本 真, 小野 薫, 山田 浩嗣, 神田 雄高, 河澄 響矢

   

  本研究の目標は:1)解析的二次不変量に関連する指数定理を、非可換微分幾何学の枠組みで構築すること;(2))指数定理とMaslov類との関連性を二次特性類の視点から明確にすること、;である。 これらの目標に対して得られた結果を以下に述べる。第一に、ユニタリー群の中心拡大とMaslov類およびスペクトル流との関連性を明確にした。これは1997年4月の日本数学会特別講演で発表した結果の発展である。またPacific Journal誌上の森吉・夏目の共著論文で述べられた指数定理をII型フォン・ノイマン環のスペクトル流として解釈し直し、非可換トーラスに対して具体的な解析を行った。その結果は、研究集会'葉層構造と関連分野'(1997年10月)、'Symplectic Geometryとその周辺'(同年11月)、'量子化をめぐって'(同年12月)において発表された。 第二に、非可換幾何学の視点からAtiyeh-Patodi-Singer指数定理の再定式化を行った。そのために群の偽作用という概念を導入し、付随するC^*-代数の短完全列を用いてディラック作用素の指数を相対K群の元として定義した。そしてえーた不変量に結びつく相対巡回コサイクルを構成し、これによりディラック作用素の指数を測る。その値はエータ不変量と多様体の曲率による局所不変量の差となりAtiyeh-Patodi-Singer指数定理の別証明が得られる。この結果は、アメリカ数学会(1998年10月)、名古屋大学談話会、東京工業大学幾何セミナー、東京大学火曜トポロジーセミナーにおいて発表された。 第三に、エータ不変量とII型フォン・ノイマン環のスペクトル流に関する研究を行った。この結果は、東京大学火曜トポロジー・解析学セミナー(1999年12月)において発表された。
• symplectic構造・接触構造の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業

  研究期間 : 1997年 -1998年 

  代表者 : 小野 薫, 塚田 和美, 太田 啓史, 深谷 賢治, 神田 雄高, 泉屋 周一, 大場 清

   

  深谷と代表者小野は、以前倉西構造なる概念を導入し、この枠組で周期的ハミルトン系のFloerホモロジーやGromov-Witten不変量の構成を行った。これに続くものとしてラグランジュ部分多様体の対のFloerホモロジーや深谷により提唱されたA^∞-圏の構成をより一般の状況で行いたいと考えた。正則写像のモジュライ空間の定義式の横断性の問題を処理するためには、多価摂動が必要となり、モジュライ空間の基本類は、一般に有理数体係数でしか定義されない。今回は、そのためにモジュライ空間の向きを一斉に同調するように与えられるかという問題も生じる。我々はラグランジュ部分多様体にスピン構造を固定するとこれが可能であること示した。一方、ラグランジュ部分多様体の対の例に当ってみると、以前の定義のままでは、境界準同型が定まらない場合がある。我々は、各ラグランジュ部分多様体にスピン構造を決めると、正則円盤の境界値を用いて、一種の障害類が定義でき、障害類が全て消えている対に対しては、Floerホモロジーを定義することができた。これは、深谷、太田、小野とKontsevich、Ohによる共同研究の結果である。 接触多様体とそのシンプレクティック・フィリングについては、太田と小野はSeiberg-Witten不変量に関するTaubesの定理に基づき部分的結果を得たが、神田はTaubesの結果をある種の開シンプレクティック多様体の場合に拡張した。
• 接触多様体およびシンプレクティック多様体の研究
• Study of contact and symplectic manifolds

教育活動情報

主要な担当授業