研究者データベース
| 古畑 仁(フルハタ ヒトシ) |
| 理学研究院 数学部門 数学分野 |
| 教授 |
Last Updated :2024/05/09
基本情報
所属
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学位
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研究分野
担当教育組織
職歴
- 2007年 - 2022年 北海道大学大学院理学研究院数学部門 助教授
- 1999年 - 2007年 北海道大学大学院理学研究科数学専攻 講師
- 1996年 - 1999年 東北大学大学院情報科学研究科 助手
- 1995年 - 1996年 日本学術振興会 (東北大学) 日本学術振興会特別研究員
所属学協会
研究活動情報
論文
- Atsushi Fujioka, Hitoshi FuruhataColloquium Mathematicum 172 2 173 - 190 2023年 [査読有り]
- Hitoshi FuruhataInformation Geometry 7 S1 (2024) 99 - 108 2022年11月22日 [査読有り][招待有り]
- Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa, Naoto SatohCommunications of the Korean Mathematical Society 37 3 851 - 864 2022年07月 [査読有り]
- Hitoshi Furuhata, Jun-ichi Inoguchi, Shimpei KobayashiInformation Geometry 4 1 177 - 188 2020年10月20日 [査読有り][通常論文]
- Naoto Satoh, Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa, Toshiyuki Nakane, Yukihiko Okuyama, Kimitake Sato, Mohammad Hasan Shahid, Aliya Naaz SiddiquiInformation Geometry 4 189 - 213 2020年09月04日 [査読有り][通常論文]
- FUJIOKA Atsushi, FURUHATA HitoshiBull. Braz. Math. Soc., NS. 50 1 291 - 313 2019年 [査読有り][通常論文]
- FUJIOKA Atsushi, FURUHATA HitoshiAn. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi. Mat. (N.S.) 64 343 - 355 2018年 [査読有り][通常論文]
- Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa, Yukihiko Okuyama, Kimitake SatoJournal of Geometry 108 3 1175 - 1191 2017年12月01日 [査読有り][通常論文]
A notion of a Kenmotsu statistical manifold is introduced, which is locally obtained as the warped product of a holomorphic statistical manifold and a line. A statistical manifold is a Riemannian manifold equipped with a torsion-free affine connection satisfying the Codazzi equation. It can be considered as being in information geometry, Hessian geometry and various submanifold theory. On the other hand, a Kenmotsu manifold is in a meaningful class of almost contact metric manifolds. In this paper, we construct a suitable statistical structure on it. Although the notion of the warped product of Riemannian manifolds is well known, the one for statistical manifolds is not established. We consider it in general, and study the statistical sectional curvature of the warped product of two statistical manifolds. We show that a Kenmotsu statistical manifold of constant ϕ-sectional curvature is constructed from a special Kähler manifold, which is an important example of holomorphic statistical manifold. A Sasakian statistical manifold is also studied from the viewpoint of the warped product of statistical manifolds. - Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa, Yukihiko Okuyama, Kimitake Sato, Mohammad Hasan ShahidJOURNAL OF GEOMETRY AND PHYSICS 117 179 - 186 2017年07月 [査読有り][通常論文]
A notion of Sasakian statistical structure is introduced. The condition for a real hypersurface in a holomorphic statistical manifold to admit such a structure is given. (C) 2017 Elsevier B.V. All rights reserved. - Hitoshi FuruhataLecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 10589 179 - 185 2017年 [査読有り][通常論文]
This article is a digest of [2, 3] with additional remarks on invariant submanifolds of Sasakian statistical manifolds. - Hitoshi Furuhata, Izumi HasegawaGeometry of Cauchy-Riemann Submanifolds 179 - 215 2016年01月01日 [査読有り][招待有り]
A statistical manifold is a smooth manifold equipped with a pair of a Riemannian metric and a torsion-free affine connection satisfying the Codazzi equation. We naturally have various dualistic geometric objects on it. In this article, the basics for statistical submanifolds in holomorphic statistical manifolds are given. We define the sectional curvature for a statistical structure, and study CR-submanifolds in a holomorphic statistical manifold of constant holomorphic sectional curvature. We prove that this sectional curvature of such a space vanishes if it admits a totally umbilical and a dual-totally umbilical generic submanifolds. Furthermore, we show that a Lagrangian submanifold is of constant sectional curvature if the statistical shape operator and its dual operator commute. Similarly, we generalize several theorems in the classical CR-submanifold theory. - Projective surfaces and pre-normalized Blaschke immersions of codimension twoFUJIOKA Atsushi, FURUHATA Hitoshi, SASAKI TakeshiInt. Electron. J. Geom. 9 100 - 110 2016年 [査読有り][通常論文]
- Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata, Takeshi SasakiJournal of Geometry 105 1 87 - 102 2014年04月 [査読有り][通常論文]
Centroaffine minimal surfaces are considered as an interesting class of surfaces from the viewpoint of not only variational problems in centroaffine differential geometry but also integrable systems. Typical examples of centroaffine minimal surfaces are proper affine spheres centered at the origin when we regard them as centroaffine surfaces. On the other hand, the study of projective minimal surfaces has a long history in projective differential geometry. Typical examples of projective minimal surfaces are proper affine spheres again, and so-called Demoulin surfaces or Godeaux-Rozet surfaces. In this paper, we shall regard centroaffine surfaces as projective surfaces and study projective minimality of centroaffine minimal surfaces. Using the fact that any centroaffine minimal surfaces have a one-parameter family of deformation known as associated surfaces, we shall give a classification of indefinite centroaffine minimal surfaces whose associated surfaces are all projective minimal, which includes centroaffine surfaces with vanishing Tchebychev operator and those found by the first author before. We shall also show that any indefinite centroaffine minimal surface whose associated surfaces are all Godeaux-Rozet surfaces is a proper affine sphere. © 2013 Springer Basel. - Hitoshi Furuhata, Takashi KuroseTOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL 65 1 31 - 42 2013年03月 [査読有り][通常論文]
We classify the maximal Hessian manifolds of constant Hessaian sectional curvature nonpositive. - FURUHATA Hitoshi, HU Na, Luc VRANCKENJ. Van der Veken, I. Van de Woestyne, L. Verstraelen, L. Vrancken (eds.), Pure and Applied Differential Geometry - PADGE 2012 In Memory of Franki Dillen, Shaker Verlag GmbH, Germany 136 - 142 Shaker Verlag GmbH 2013年 [査読有り][招待有り]
We construct cylindrical statistical immersions between spaces of Hessian curvature zero.The words "statistical submanifold" can be found in the paper [5] in 1989, which was written by Vos in the context of statistical inference or information geometry. Although the history of this geometry is not so short, it is hard to find classical differential geometric approaches for the study of statistical submanifolds. In this paper, we would like to continue to try it after [2], and give some of basic examples of statistical submanifolds apart from applications for statistics. In other words, we will study immersions between statistical manifolds preserving statistical structures, which are called statistical immersions, in particular, called statistical hypersurfaces if the codimension equals one. We take a space Nn in Definition 1.1, which can be considered as a basic model of a statistical manifold of dimension n. The space Nn has been known as a Hessian manifold of constant Hessian curvature zero. In [2], a statistical hypersurface of a Hessian manifold of constant Hessian curvature negative into the space Nn+1 is uniquely determined. Besides, there exist no statistical hypersurfaces of a Hessian manifold of constant Hessian curvature positive into the space Nn+1. On the other hand, we have plenty of statistical hypersurfaces of Nn into Nn+1. In this paper, we determine statistical diffeomorphisms of Nn onto itself, and statistical hypersurfaces of Nn into Nn+1 with vanishing statistical second fundamental form (Propositions 2.1 and 2.2). Moreover, we explicitly construct and determine statistical immersions of a domain of N2 into N3 of cylinder type (Theorem 3.1).Pure and Applied Differential Geometry - PADGE 2012 In Memory of Franki Dillen, Shaker Verlag GmbH, Germany, ISBN: 9783844023633, (2013), 136-142. - Hitoshi FuruhataDIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS 29 S86 - S90 2011年08月 [査読有り][通常論文]
A rigidity theorem for a statistical hypersurface of Hesse-Einstein type is given. (C) 2011 Elsevier B.V. All rights reserved. - Hitoshi FuruhataDIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS 27 3 420 - 429 2009年06月 [査読有り][通常論文]
The condition for the curvature of a statistical manifold to admit a kind of standard hypersurface is given as a first step of the statistical submanifold theory. A complex version of the notion of statistical structures is also introduced. (C) 2008 Elsevier B.V. All rights reserved. - Hitoshi Furuhata, Luc VranckenResults in Mathematics 49 3-4 201 - 217 2006年12月 [査読有り][通常論文]
We study the center map of an equiaffine immersion which is introduced using the equiaffine support function. The center map is a constant map if and only if the hypersurface is an equiaffine sphere. We investigate those immersions for which the center map is affine congruent with the original hypersurface. In terms of centroaffine geometry, we show that such hypersurfaces provide examples of hypersurfaces with vanishing centroaffine Tchebychev operator. We also characterize them in equiaffine differential geometry using a curvature condition involving the covariant derivative of the shape operator. From both approaches, assuming the dimension is 2 and the surface is definite, a complete classification follows. © 2006 Birkhäuser-Verlag Basel. - H Furuhata, T KuroseBULLETIN OF THE BELGIAN MATHEMATICAL SOCIETY-SIMON STEVIN 9 4 573 - 587 2002年10月 [査読有り][通常論文]
We explicitly determine the self-dual centroaffine surfaces of codimension two with constant affine mean curvature and indefinite affine fundamental form by giving representation formulas. - Codazzi structures induced by minimal affine immersionsFURUHATA HitoshiBanach Center Publ. 57 17 - 19 2002年 [査読有り][通常論文]
- H FuruhataBULLETIN OF THE BELGIAN MATHEMATICAL SOCIETY-SIMON STEVIN 7 1 125 - 134 2000年01月 [査読有り][通常論文]
Minimal equi-centroaffine immersions of codimension two are characterized as solutions of a certain variational problem. We determine the moduli space of such immersions of R-2 into R-4 whose induced connection and affine fundamental form coincide with the ones of the Clifford torus. - ICHIYAMA Toshiyuki, FURUHATA Hitoshi, URAKAWA HajimeTsukuba Math. J. 23 3 551 - 564 Institute of Mathematics, University of Tsukuba 1999年 [査読有り][通常論文]
- Hitoshi FuruhataJournal of Geometry 65 1-2 111 - 116 1999年 [査読有り][通常論文]
We give an intrinsic characterization of isometric pluriharmonic immersions of Kahler manifolds into semi-Euclidean spaces with real codimension one which is a generalization of the Ricci-Curbastro theorem. © Birkhäuser Verlag, 1999. - Holomorphic centroaffine immersions and the Lelieuvre correspondenceFURUHATA Hitoshi, MATSUZOE HiroshiResult. Math. 33 294 - 305 1998年 [査読有り][通常論文]
- FURUHATA Hitoshi, MATSUZOE Hiroshi, URAKAWA HajimeInterdiscip. Inform. Sci. 4 2 125 - 127 東北大学 1998年 [査読有り][通常論文]
The following problems were raised in the workshop "Affine Differential Geometry and Related Topics" at Graduate School of Information Sciences, Tohoku University at December 16-18, 1996. - H FuruhataGEOMETRIAE DEDICATA 66 3 303 - 311 1997年07月 [査読有り][通常論文]
We prove a cylinder theorem for isometric pluriharmonic immersions of complete Kahler manifolds into semi-Euclidean spaces under an assumption concerning the index of relative nullity. - H FuruhataPACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS 176 1 1 - 14 1996年11月 [査読有り][通常論文]
We classify isometric pluriharmonic immersions of a Kahler manifold into an indefinite Euclidean space. The moduli space of such immersions is explicitly constructed in terms of complex matrices. Some examples of these immersions are also given. - FURUHATA HitoshiTohoku Math. Publ. 1 1 - 70 東北大学 1995年 [査読有り][通常論文]
- H FURUHATABULLETIN OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY 26 487 - 496 1994年09月 [査読有り][通常論文]
A classification of isometric minimal immersions of Kahler manifolds into Euclidean spaces is given, which is a generalization of the Calabi-Lawson theory concerning minimal surfaces. Moreover, we explicitly construct a nonholomorphic isometric minimal immersion of a complete Kahler manifold, biholomorphic to C-2, into R(6).
書籍
- 数学みえる化プロジェクト, 北海道大学総合博物館, 正宗, 淳 (担当:分担執筆)
共立出版 2022年08月 (ISBN: 9784320114784) x, 196p - 曲面 ---幾何学基礎講義古畑 仁 (担当:単著)
数学書房 2013年 (ISBN: 9784903342382) - 北大高校生講座 数学の並木道北大数学科, 中村郁 (担当:分担執筆範囲:第５章 形をはかる話)
日本評論社 2004年 (ISBN: 4535784116)
講演・口頭発表等
- 統計2重調和写像 [通常講演]上野龍, 古畑仁日本数学会２０２４年度年会幾何学分科会 2024年03月 口頭発表（一般）
- A class of mappings between statistical manifolds [招待講演]古畑仁RIMS共同研究(公開型) 部分多様体と群作用の幾何学 2023年06月
- 「幾何学と言えば三角形」は本当か？ [招待講演]古畑仁北海道算数数学教育会高等学校部会研究部数学教育実践研究会第125回研究会 2023年06月 口頭発表（招待・特別）
- 数学をすべての人々へ アウトリーチの試み [招待講演]古畑仁令和4年度数学部門第1回FD研修会（北海道大学大学院理学研究院） 2023年02月
- 幾何学者たちのヘレネー古畑仁北大道新アカデミー 2022年07月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 統計多様体は tangible か古畑仁北海道大学大学院理学研究院数学部門談話会 2022年05月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 双極小統計部分多様体といくつかの問題 [通常講演]古畑仁Tsudoi KK 2022年03月
- 統計部分多様体に対する不等式 [招待講演]古畑仁福岡大学微分幾何セミナー 2022年02月
- 統計多様体の部分多様体論 [招待講演]古畑仁日本数学会２０２１年度秋季総合分科会 2021年09月 口頭発表（招待・特別）
- 余等質性1の中心アファイン曲面 [通常講演]藤岡敦, 古畑仁日本数学会２０２０年度年会幾何学分科会（開催中止） 2020年03月 口頭発表（一般）
- 統計断面曲率とワープ積統計多様体 [通常講演]佐藤直飛, 古畑仁, 長谷川和泉日本数学会２０２０年度年会幾何学分科会（開催中止） 2020年03月 口頭発表（一般）
- Statistical submanifolds and warped product spaces [招待講演]古畑 仁The 18th International Conference, Graduate School of Mathematics, Nagoya University, Information Geometry and Affine Differential Geometry III 2019年03月 口頭発表（一般）
- Centroaffine surfaces of cohomogeneity one [通常講演]古畑 仁研究集会「幾何学のスペクトル」 2018年12月 口頭発表（一般）
- 統計多様体，具体例からの入門 [通常講演]古畑 仁ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (10) 2018年11月
- 統計多様体の定曲率空間 [招待講演]古畑 仁福岡大学微分幾何研究集会（Geometry and Analysis 2018） 2018年11月 口頭発表（一般）
- Sasakian statistical manifolds and hypersurfaces [招待講演]古畑 仁PNU-HU Joint Symposium 2017年12月 口頭発表（一般）
- Sasakian statistical manifolds and warped product [招待講演]古畑 仁Seminar on Differential Geometry 2017年11月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- Sasakian statistical manifolds II [招待講演]古畑 仁3rd conference on Geometric Science of Information 2017年11月 口頭発表（一般）
- 中心写像から見た曲面の中心アファイン幾何学 [招待講演]古畑 仁第６４回幾何学シンポジウム 2017年08月 口頭発表（一般）
- アファイン空間の曲線論入門 [招待講演]古畑 仁第５回水戸幾何セミナー 2017年07月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 剱持統計多様体 [招待講演]古畑 仁関大微分幾何研究会 2017年06月 口頭発表（一般）
- 佐々木構造をもつ統計多様体 [招待講演]古畑 仁名城研究集会「多様体上の計量と幾何構造」 2017年03月 口頭発表（一般）
- もう一度はじめから，本当のアファイン曲線 [招待講演]古畑 仁北海道大学幾何学コロキウム 2016年04月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 正則統計多様体のＣＲ部分多様体 [招待講演]古畑 仁福岡大学微分幾何学研究集会 2015年10月 口頭発表（一般）
- Affine differential geometry and surfaces in the projective space [招待講演]古畑 仁研究集会「Differential Geoemetry with Dajczer」 2015年10月 口頭発表（一般）
- 統計多様体の曲率 [通常講演]古畑 仁ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (7) 2015年09月 口頭発表（一般）
- 正則統計多様体とその曲率 [招待講演]古畑 仁RIMS共同研究「統計多様体の諸分野への応用」 2014年11月 口頭発表（一般）
- ヘッセ多様体とアファイン球面 [通常講演]古畑 仁ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (5) 2014年01月 口頭発表（一般）
- 中心アファイン極小曲面の射影極小性 [招待講演]古畑 仁福岡大学微分幾何学研究集会 2013年11月 口頭発表（一般）
- 接続の幾何学における部分多様体論にむけて [通常講演]古畑 仁ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (4) 2013年03月 口頭発表（一般）
- Statistical immersions of spaces of constant Hessian curvature [招待講演]古畑 仁The 8th HU and SNU Symposium on Mathematics -Recent developments of Geometry and Topology- 2012年12月 口頭発表（一般）
- Geometry of statistical submanifolds [招待講演]古畑 仁PADGE2012 2012年08月 口頭発表（一般）
- Submanifold theory for statistical manifolds [招待講演]古畑 仁Workshop on Differential Geometry 2012年06月 口頭発表（一般）
- A realization problem for statistical manifolds [通常講演]古畑 仁福岡大学微分幾何学研究集会 2011年11月 口頭発表（一般）
- Statistical Immersions [招待講演]古畑 仁RIKEN Workshop on Information Geometry 2011年08月 口頭発表（一般）
- 部分多様体の微分幾何学と統計多様体 [招待講演]古畑 仁第１３回ＤＣＳセミナー 2011年05月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- 定曲率 Hesse 多様体のモデルについて [招待講演]古畑 仁研究集会「擬リーマン幾何学の展開III」 2010年12月 口頭発表（一般）
- Statistical manifolds --- Hypersurfaces and complex structures [通常講演]古畑 仁ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (2) 2010年10月 口頭発表（一般）
- Statistical submanifolds and spaces of constant Hessian sectional curvature [招待講演]古畑 仁Differential Geometry and its Applications 2010年08月 口頭発表（一般）
- Centroaffine Surfaces with Special Center [招待講演]古畑 仁松江微分幾何学研究会２００９ 2009年12月 口頭発表（一般）
- 統計多様体の微分幾何学入門 [招待講演]古畑 仁北海道大学特異点論セミナー 2009年11月 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
- Spaces of non-positive constant Hessian curvature [招待講演]古畑 仁福岡大学微分幾何学研究集会 2009年11月 口頭発表（一般）
- Examples of Statistical Manifolds [通常講演]古畑 仁ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (1) 2009年09月 口頭発表（一般）
その他活動・業績
共同研究・競争的資金等の研究課題
- 諸分野に現れるアファインはめ込みの研究研究期間 : 2014年04月 -2018年03月代表者 : 古畑 仁
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2010年04月 -2015年03月代表者 : 黒瀬 俊, 陶山 芳彦, 濱田 龍義, 川久保 哲, 松浦 望, 井ノ口 順一, 古畑 仁, 藤岡 敦さまざまな空間においてその中の曲線や曲面などの性質を調べる古典的微分幾何について、主に可積分系理論などの近年発展してきた解析手法を用いて研究をすすめ、古典的微分幾何とその応用に関する多くの結果を得た。特に、一定の規則に従って時間変化する曲線から可積分系理論の方程式が自然に現れることを利用して、可積分系理論の成果に幾何学的な表現・解釈を与えた。また、古典的微分幾何を応用して、数理統計や情報理論を微分幾何的な道具と手法を用いて研究する際に現れる幾何的対象の性質や構造の一端を明らかにした。
- 部分多様体にあらわれる統計構造の幾何学研究期間 : 2009年04月 -2013年03月代表者 : 古畑 仁
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2007年 -2010年代表者 : 山口 佳三, 泉屋 周一, 小野 薫, 石川 剛郎, 松本 圭司, 古畑 仁, 八ツ井 智章, 中居 功, 小沢 哲也, 佐々木 武背足の原理から導かれる、有限型微分方程式系の中で、無限小接触自己同型群が例外的に豊富となるクラスを決定し、このクラスの有限型微分方程式系のモデル方程式を具体的に記述した。また、二階接触幾何学において基本的な二つのReduction課程を整備し、これを二つの定理として定式化した。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2006年 -2009年代表者 : 黒瀬 俊, 陶山 芳彦, 濱田 龍義, 川久保 哲, 松浦 望, 山田 光太郎, 井ノ口 順一, 古畑 仁古典的微分幾何を可積分系理論・特異点論などの現代的手法を用いて研究することにより、古典的微分幾何の諸分野とその応用に関して、特に曲線の運動を用いた可積分系の幾何的研究、4次元空間形内の共形平坦超曲面の具体的構成と分類、複素空間形内の実超曲面、3次元空間内の曲面論、アフィン微分幾何とそのヘッセ幾何・情報幾何への応用等に関して多くの新たな知見を得、また今後の研究の進展の基礎を築いた。
- アファインはめ込みの大域的理論と情報幾何学の基礎的研究研究期間 : 2003年04月 -2006年03月代表者 : 古畑 仁
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2003年 -2005年代表者 : 黒瀬 俊, 陶山 芳彦, 濱田 龍義, 山田 光太郎, 井ノ口 順一, 古畑 仁本研究では、古典的微分幾何の諸理論を現代的な手法、特に可積分系理論や特異点理論の手法を用いて基礎から書き直すことで新たな展開をはかった。本研究の成果は多岐にわたっているが、以下にそのうちの主なもののみをあげる。 1.(1)古典的微分幾何の中核理論の一つであるアフィン微分幾何において、アフィン超球面を中心に研究し、表現公式、スペシャル・ケーラー多様体の一般化である正則統計多様体との関係、その中心写像の性質を明らかにした。また、アフィン平面曲線および中心アフィン平面曲線を離散化し、差分ソリトン方程式に従うような時間発展を与えた。(2)4次元ユークリッド空間の共形平坦超曲面の古典例を特徴づけ、新しい例を構成した。(3)複素空間形内の実超曲面に新たな幾何的不変量を導入し、それを用いてホップ実超曲面の分類などを行った。 2.特異点をもつ曲面の微分幾何的な性質について考察し、(1)3次元双曲型空間のある種の特異点をもつ平坦な曲面(平坦フロント)のクラスを定義しその理論を構築した。特に、(弱)完備性の概念を定義することにより、平坦フロントの大域的な性質を明らかにした。(2)3次元ミンコフスキー空間の極大曲面の特異点の性質を調べ、特異点の一種であるcuspidal cross capの判定条件を与えた。さらに、3次元ミンコフスキー空間のある種の特異点を許す空間的極大曲面(極大面)のクラスを定義し、その大域的な性質を明らかにした。 3.曲面の変換について調べ、特にメビウス幾何における球叢を用いた変換は複素化された線叢で得られることを示した。また、3次元等質空間内の重調和曲線・曲面を考察し、特に3次元既約標準簡約等質空間内の重調和曲線を決定した。
- 極小アファイン曲面の計量微分幾何学的研究研究期間 : 2001年04月 -2003年03月代表者 : 古畑 仁
- アファインはめ込みの情報幾何学的研究稲盛財団：研究期間 : 1999年04月 -2002年03月代表者 : 古畑 仁
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2001年 -2002年代表者 : 清原 一吉, 古畑 仁, 石川 剛郎, 泉屋 周一, 五十嵐 雅之, 島田 伊知朗我々はまず2次元球面上のリーマン計量で、その測地流がファイバーごとに3次以上の多項式であるような第一積分を持つものの族を、すべての次数に対して構成した。このようなものは次数3、4に対する、ボルジノフとフォメンコの例を除けば、初めてのものである。さらに、ここで構成されたものはすべての測地線が閉じている多様体になっていて、ギルミンによってその存在が示昏れたものの具体例になっている。 また一般的なケーラー・リウヴィル多様体の構造を詳しく調べ、コンパクトでプロパーなケーラー・リウヴィル多様体は正則なファイバー束の構造を持ち、ファイバーは可積分測地流を持つケーラー・リウヴィル多様体、底空間は局所的に1次元ケーラー多様体の直積であるという構造定理を得た。特に、新たにtype(B)という可積分測地流を持つクラスを得た。これは以前にtype(A)のケーラー・リウヴィル多様体について、それを全空間とするファイバー束の構造を調べた時、そのファイバーとして現れたものであるが、そのような埋め込みによらない、一般的な定義を得ることができた。 さらに我々はエルミート・リウヴィル多様体の局所的構造を研究し,それをほぼ完全に解明した。さらに、複素射影空間上にケーラーでないエルミート・リウヴィル多様体の構造を構成した。これは複素射影空間上のケーラー・リウヴィル多様体の構造が実射影空間上のある種のリウヴィル多様体の構造から「複素化」によって得られる、その過程を複数の要素に分離し、いくつかのリウヴィル多様体の構造から1つのエルミート・リウヴィル多様体の構造を導き出すものである。初めのリウヴィル多様体が単一の時はケーラー・リウヴィル多様体になる。従って、非常に沢山の可積分測地流が得られたことになる。
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 2000年 -2002年代表者 : 黒瀬 俊, 山田 光太郎, 濱田 龍義, 陶山 芳彦, 古畑 仁, 井ノ口 順一, 松添 博本研究では、研究の主対象たる古典的微分幾何・研究手法としての可積分系の理論・応用対象としての情報幾何のそれぞれについて組織的に研究を進め、以下のような成果を得た。 1.古典的微分幾何 (1)極小アフィン超曲面と余次元2の極小中心アフィンはめ込みの内的な特徴づけを与えた。さらに、余次元2の自己双対極小中心アフィン曲面の具体的な構成法を与えた。 (2)射影平坦かつ捩れを持たないアフィン接続が与えられた多様体に対し、そのリッチ曲率が対称かつ定値になるときの射影展開写像の単射性と像の凸性について基本的な結果を与えた。 (3)4次元球面内の共形平坦な超曲面に対し、新しい共形不変量を定義して古典例を特徴づけ、さらにこれまで知られていなかった新しい例を構成した。 (4)3次元等質空間の曲線と曲面に対する非常に具体的かつ包括的な理論を展開した。 2.可積分系の理論 古典的微分幾何に現れるさまざまな可積分系を調べ、3次元可解リー群の極小曲面や3次元双曲型空間の平坦な曲面など、3次元空間内の特徴的な曲面に対する表現公式を与えた。平均曲率の逆数が調和関数になる3次元のリーマン空間形およびローレンツ空間形における(空間的)曲面の総合的な理論を展開した。 3.情報幾何と統計多様体 (1)複素統計多様体を定義し、アフィン微分幾何や情報幾何(特に量子推定理論)とのかかわりについて研究した。 (2)スペシャル・ケーラー多様体の拡張として、ある適合条件を満たす複素構造を持つ統計多様体を定義し、その基本的な性質を調べた。 (3)(-1)-共形平坦な統計多様体において、計算幾何において重要な応用を持つボロノイ図の具体的な構成法を与えた。
- ワイル構造および統計構造とアファインはめ込みの幾何学の研究研究期間 : 1999年04月 -2001年03月代表者 : 古畑 仁
- Affine Immersions and Statistical Structures研究期間 : 2000年
- 一般余次元のアファインはめ込みの分類および構成研究期間 : 1997年04月 -1999年03月代表者 : 古畑 仁
- 日本学術振興会：科学研究費助成事業研究期間 : 1998年 -1999年代表者 : 会田 茂樹, 桑江 一洋, 関根 順, 長井 英生, 吉田 伸生, 数見 哲也, 古畑 仁, 岡田 正巳, 浦川 肇平成10・11年度の主たる成果は次の通りである. 1.無限次元空間上の拡散過程の短時間挙動を研究した. 2.Wiener空間の中の部分集合がある意味で連結なときその上で定義された拡散過程が既約になることを証明した. 3.時刻1でpinnedした拡散過程について,Clark-Ocone-Haussmann formula(=COH formula)を証明した. もう少し詳しく説明しよう. 1:FangがOrnstein-Uhelenbeck過程について証明していた推移確率の時間が0に収束したときの漸近挙動の研究を一般の変数係数の場合に一般化したものである.Wangの不等式とよばれるHarnack型の不等式が鍵になる. 2:会田は以前コンパクト多様体上のループ空間を考えるときその各ホモトピー類でディリクレ形式が既約になることを証明した.その際,楠岡成雄氏による定理を用いたがここでは楠岡氏の仮定より弱い仮定の下で既約性を与える定理を示した. 3の応用として双曲型空間の上のpinned Brownian motionについて非有界な拡散係数をもったディリクレ形式について対数ソボレフ不等式を証明した.また特別な多様体に対してであるが2で述べたループ空間上の既約性の別証明も与えた.Pinned measureについては対数ソボレフ不等式,スペクトルギャップの存在など不明であったがこの結果はポジティブな方向の初めての結果といえる.COH-formula自身は拡散過程の熱核(推移確率)の時刻0での振る舞いがあまり悪くないような場合に成立する.従ってCOH-formulaは双曲型空間を含むある多様体のクラスで成立するはずだが,その研究は今後の課題である.
- ケーラー多様体からユークリッド空間への等長はめ込みの研究研究期間 : 1995年04月 -1996年03月代表者 : 古畑 仁