基本情報

所属

• 理学研究院　数学部門　数学分野

職名

• 准教授

学位

• 博士（理学）（早稲田大学）

J-Global ID

• 200901002003951694

研究キーワード

• ホップ亜代数   ダイナミカル・ヤン・バクスター写像   量子群の表現論   量子ヤン・バクスター方程式   

研究分野

• 自然科学一般 / 代数学

担当教育組織

•  学士課程　理学部
•  修士課程　理学院
•  博士課程　理学院

所属学協会

• 日本数学会   Mathematical Society of Japan   

研究活動情報

論文

• FRT construction of Hopf algebroids

  Yudai Otsuto, Youichi Shibukawa

  Toyama Mathematical Journal 42 2021年 [査読有り][通常論文]
   

  To appear
• Dynamical Yang-Baxter maps and weak Hopf algebras associated with quandles

  Noriaki Kamiya, Youichi Shibukawa

  Proceedings of the Meeting for Study of Number Theory, Hopf Algebras and Related Topics 1 - 23 2019年 [査読有り][招待有り]
  
• Hopf algebroids and rigid tensor categories associated with dynamical Yang-Baxter maps

  Youichi Shibukawa

  JOURNAL OF ALGEBRA 449 408 - 445 2016年03月 [査読有り][通常論文]
   

  We construct Hopf algebroids by means of dynamical Yang Baxter maps, set-theoretic solutions to a version of the quantum dynamical Yang Baxter equation. This Hopf algebroid with suitable properties implies two rigid tensor categories: one is a category consisting of finite-dimensional dynamical representations; the other is a category consisting of L-operators on finite-dimensional spaces. They are isomorphic to each other. (C) 2015 Elsevier Inc. All rights reserved.
• Quantum Yang-Baxter Equation, Braided Semigroups, and Dynamical Yang-Baxter Maps

  Diogo Kendy Matsumoto, Youichi Shibukawa

  TOKYO JOURNAL OF MATHEMATICS 38 1 227 - 237 2015年06月 [査読有り][通常論文]
   

  We prove that braided semigroups with suitable conditions can produce solutions to the quantum Yang-Baxter equation in every tensor category. As an application, some dynamical Yang-Baxter maps, set-theoretic solutions to a version of the quantum dynamical Yang-Baxter equation, are constructed.
• Dynamical Yang-Baxter Maps Associated with Homogeneous Pre-Systems

  Noriaki Kamiya, Youichi Shibukawa

  Journal of Generalized Lie Theory and Applications 5 2011年 [査読有り][通常論文]
   

  We construct dynamical Yang-Baxter maps, which are set-theoretical solutions to a version of the quantum dynamical Yang-Baxter equation, by means of homogeneous pre-systems, that is, ternary systems encoded in the reductive homogeneous space satisfying suitable conditions. Moreover, a characterization of these dynamical Yang-Baxter maps is presented. © 2011, Ashdin Publishing. All rights reserved.
• FRT construction for dynamical Yang-Baxter maps

  Youichi Shibukawa, Mitsuhiro Takeuchi

  JOURNAL OF ALGEBRA 323 6 1698 - 1728 2010年03月 [査読有り][通常論文]
   

  Notions of an (H. X)-bialgebioid and of its dynamical representation are proposed. The dynamical representations of each (H. X)bralgebroid form a tensor category. Every dynamical Yang-Baxter map R(lambda) satisfying suitable conditions. a generalization of the set-theoretical solution to the quantum Yang-Baxter equation, gives birth to air (H. X)-bialgebroid A(R). The categories of L-operators for R(lambda) and of dynamical representations of AR are isomorphic as tensor categories, (C) 2009 Elsevier Inc. All rights reserved.
• Survey on dynamical Yang-Baxter maps

  Youichi Shibukawa

  Noncommutative Structures in Mathematics and Physics 239 - 244 2010年 [査読有り][通常論文]
  
• Dynamical Yang-Baxter maps with an invariance condition

  Youichi Shibukawa

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 43 4 1157 - 1182 2007年12月 [査読有り][通常論文]
   

  By means of left quasigroups L = (L, center dot) and ternary systems, we construct dynamical Yang-Baxter maps associated with L, L, and (center dot) satisfying an invariance condition that the binary operation (center dot) of the left quasigroup L defines. Conversely, this construction characterize such dynamical Yang-Baxter maps. The unitary condition of the dynamical Yang-Baxter map is discussed. Moreover, we establish a correspondence between two dynamical Yang-Baxter maps constructed in this paper. This correspondence produces a version of the vertex-IRF correspondence.
• Dynamical Yang-Baxter maps

  Y Shibukawa

  INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES 2005 36 2199 - 2221 2005年08月 [査読有り][通常論文]
  
• Vertex-face correspondence of Boltzmann weights related to sl(m vertical bar n)

  Y Shibukawa

  JOURNAL OF PHYSICS A-MATHEMATICAL AND GENERAL 37 6 2115 - 2120 2004年02月 [査読有り][通常論文]
   

  In this work, we present a vertex-face correspondence between an elliptic R-operator and Boltzmann weights related to the Lie superalgebra sl(m In).
• Classification of R-operators

  Y Shibukawa

  JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS 42 6 2725 - 2745 2001年06月 [査読有り][通常論文]
   

  We classified the R-operators which satisfy the quantum Yang-Baxter equation on a function space. In this study, we gave all the meromorphic solutions of the system of the functional equations which is a necessary and sufficient condition for the R-operator to satisfy the Yang-Baxter equation. Most of the solutions were expressed in terms of the elliptic, trigonometric and rational functions. (C) 2001 American Institute of Physics.
• The meromorphic solutions of the Bruschi-Calogero equation

  N Kawazumi, Y Shibukawa

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 36 1 85 - 109 2000年03月 [査読有り][通常論文]
   

  We give all the meromorphic functions defined near the origin 0 is an element of C satisfying a functional equation investigated by Bruschi and Calogero [1], [2].
• VERTEX-IRF CORRESPONDENCE AND FACTORIZED L-OPERATORS FOR AN ELLIPTIC R-OPERATOR

  Y SHIBUKAWA

  COMMUNICATIONS IN MATHEMATICAL PHYSICS 172 3 661 - 677 1995年09月 [査読有り][通常論文]
   

  As for an elliptic R-operator which satisfies the Yang-Baxter equation, the incoming and outgoing intertwining vectors are constructed, and the vertex-IRF correspondence for the elliptic R-operator is obtained. The Boltzmann weights of the corresponding IRF model satisfy the star-triangle relation. By means of these intertwining vectors, the factorized L-operators for the elliptic R-operator are also constructed. The vertex-IRF correspondence and the factorized L-operators for Belavin's R-matrix are reproduced from those of the elliptic R-operator.
• CLEBSCH-GORDAN-COEFFICIENTS FOR UQ(SU(1, 1)) AND UQ(SL(2)), AND LINEARIZATION FORMULA OF MATRIX-ELEMENTS

  Y SHIBUKAWA

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 28 5 775 - 807 1992年12月 [査読有り][通常論文]
   

  The tensor product of two representations of the discrete series and the limit of the discrete series of U(q)(su(1,1)) is decomposed into the direct sum of irreducible components of U(q)(sl(1, 1)), and the Clebsch-Gordan coefficients with respect to this decomposition are computed in two ways. In some cases, the tensor product of an irreducible unitary representation of U(q)(su(2)) and a representation of the discrete series of U(q)(su(1,1)) is decomposed into the direct sum of irreducible components of U(q)(sl(2)), and the Clebsch-Gordan coefficients with respect to this decomposition are calculated, too. Making use of these coefficients, the linearization formula of the matrix elements is obtained.
• COMPLETELY Z-SYMMETRICAL R-MATRIX

  Y SHIBUKAWA, K UENO

  LETTERS IN MATHEMATICAL PHYSICS 25 3 239 - 248 1992年07月 [査読有り][通常論文]
   

  An infinite-dimensional R matrix related to the limiting case n --> infinity of the completely Z(n) symmetric R matrix is discovered. This R matrix is expressed as an operator on C infinity(S1 x S1). Moreover, the fusion procedure of the R-operator is investigated and the finite-dimensional R matrices are constructed from the R operator.
• CHARACTER TABLE OF HECKE ALGEBRA OF TYPE AN-1 AND REPRESENTATIONS OF THE QUANTUM GROUP UQ(GLN+1)

  K UENO, Y SHIBUKAWA

  INTERNATIONAL JOURNAL OF MODERN PHYSICS A 7 977 - 984 1992年 [査読有り][通常論文]
   

  A q-analogue of the Frobenius formula is proved by means of the quantum groups U(q)(gl(n+1)), A(q)(GL(n+1)) and Iwahori's Hecke algebra of type A(N-1), and then, the character table of this Hecke algebra is investigated.
• CONSTRUCTION OF GELFAND-TSETLIN BASIS FOR UQ(GL(N+1))-MODULES

  K UENO, T TAKEBAYASHI, Y SHIBUKAWA

  PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES 26 4 667 - 679 1990年12月 [査読有り][通常論文]
   

  The Gelfand-Tsetlin basis for irreducible c-union-q(gl(N+1))-modules of finite dimensions is constructed by means of the lowering operators.
• GELFAND-ZETLIN BASIS FOR UQ(GL(N+1)) MODULES

  K UENO, T TAKEBAYASHI, Y SHIBUKAWA

  LETTERS IN MATHEMATICAL PHYSICS 18 3 215 - 221 1989年10月 [査読有り][通常論文]
  

書籍

• 線形代数学講義

  澁川, 陽一 
  学術図書出版社 2019年11月 (ISBN: 9784780607727) vi, 215p

講演・口頭発表等

• ホップ亜代数のFRT構成法  [通常講演]

  澁川陽一, 乙戸勇大

  日本数学会2021年度秋季総合分科会無限可積分系セッション 2021年09月 口頭発表（一般）
• ヤン・バクスター方程式からホップ亜代数へ  [招待講演]

  澁川 陽一

  第63回代数学シンポジウム 2018年09月 口頭発表（招待・特別）
• ダイナミカル・ヤン・バクスター写像とカンドル  [招待講演]

  澁川 陽一

  Meeting for Study of Number theory, Hopf algebras and related topics 2017年02月 口頭発表（一般）
• Hopf algebroids by means of parallelepipeds  [招待講演]

  澁川 陽一

  Hopf-Algebra Conference in Tsukuba 2016年09月 口頭発表（一般）
• Hopf algebroids and dynamical Yang-Baxter maps  [招待講演]

  澁川 陽一

  Tsukuba Mini-conference on Hopf algebras and differential Galois theory 2015年09月 口頭発表（一般）
• ダイナミカル・ヤン・バクスター写像を用いたホップ亜代数の構成  [通常講演]

  澁川 陽一

  東京無限可積分系セミナー, 東京大学 2015年01月 口頭発表（一般）
• Hopf algebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps  [通常講演]

  澁川 陽一

  日本数学会2014年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, 広島大学 2014年09月 口頭発表（一般）
• Rigid tensor categories associated with dynamical Yang-Baxter maps  [通常講演]

  澁川 陽一

  日本数学会2014年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, 広島大学 2014年09月 口頭発表（一般）
• Left bialgebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps  [通常講演]

  澁川 陽一

  SNU-HU Joint Symposium 2013年12月 ポスター発表
• Idempotent dynamical braiding maps and dynamical semigroups with left unit  [通常講演]

  Diogo Kendy Matsumoto, 澁川 陽一

  日本数学会2013年度年会 2013年03月 口頭発表（一般）
• Dynamical Yang-Baxter maps associated with homogeneous pre-systems  [通常講演]

  神谷 徳昭, 澁川 陽一

  日本数学会２０１１年度年会無限可積分系セッション 2011年03月 口頭発表（一般）
• Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps  [通常講演]

  澁川 陽一

  日本数学会２０１１年度年会無限可積分系セッション 2011年03月 口頭発表（一般）
• FRT construction for dynamical Yang-Baxter maps  [招待講演]

  澁川 陽一

  ホップ代数と量子群 2010年10月 口頭発表（一般）
• Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps  [招待講演]

  澁川 陽一

  量子群と量子トポロジー 2010年04月 口頭発表（一般）
• Bialgebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps  [通常講演]

  Youichi Shibukawa

  Noncommutative structures in Mathematics and Physics 2008年 口頭発表（一般）
• Dynamical Yang-Baxter maps  [通常講演]

  Youichi Shibukawa

  Enigma conference on Mathematical Physics 2007年 口頭発表（一般）

その他活動・業績

• Dynamical reflection maps

  Ryosuke Ashikaga, Youichi Shibukawa https://doi.org/10.48550/arXiv.2209.10079 2022年09月 [査読無し][通常論文]
  
• ヤン・バクスター方程式からホップ亜代数へ

  澁川陽一 代数学シンポジウム報告集 2019年01月 [査読無し][招待有り]
  
• Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps

  澁川 陽一 数理解析研究所講究録 1714 80 -89 2010年09月 [査読無し][招待有り]
  
• ダイナミカル・ヤン・バクスター写像

  澁川 陽一 数理解析研究所講究録 1647 81 -96 2009年05月 [査読無し][通常論文]
  
• On the classification of R-operators

  澁川陽一 数理解析研究所講究録 1245 25 -35 2002年 [査読無し]
  
• Vertex-face correspondence in elliptic solutions of the Yang-Baxter equation

  Youichi Shibukawa Statistical models, Yang-Baxter equation and related topics and Symmetry, statistical mechanical models and applications 304 -311 1996年 [査読無し][通常論文]
  
• Infinite-dimensional R matrix with complete Z symmetry

  Youichi Shibukawa, Kimio Ueno Quantum Groups, Integrable Statistical Models and Knot Theory 302 -318 1993年 [査読無し][通常論文]
  
• A new solution of the Yang-Baxter equation with complete Z symmetry

  Youichi Shibukawa, Kimio Ueno Differential Geometric Methods in Theoretical Physics 309 -312 1993年 [査読無し][通常論文]
  
• Completely Z Symmetric R Matrix

  澁川 陽一 数理解析研究所講究録 810 22 -38 1992年09月 [査読無し][招待有り]
  
• Clebsch-Gordan Coefficients for Uq(su(1,1))

  澁川 陽一 数理解析研究所講究録 808 209 -226 1992年09月 [査読無し][招待有り]
  

共同研究・競争的資金等の研究課題

• ダイナミカル・ヤン・バクスター写像から定まる2つの代数の森田同値性

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 2017年04月 -2021年03月 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  ダイナミカル・ヤン・バクスター写像は左双亜代数，面代数という代数を生み出す．この２つの代数の少し広い意味での森田同値性を明らかにすることが本研究の目的である．すなわち，研究代表者らが構成した左双亜代数のダイナミカル表現全体のなすテンソル圏と，面代数の表現全体のなすテンソル圏の間の圏同値を得ることを研究目的とする． 前年度には，研究代表者らによる左双亜代数の構成方法を一般化した．ここで特筆すべきは，一般的な代数上で左双亜代数を構成したことである．研究代表者らによる今までの構成方法では有限集合から体への写像全体のなす代数が現れ，これが分離的フロベニウス環であることから，構成した左双亜代数が弱双代数になってしまうという弱点があった．今回の共同研究による構成方法では，この弱点を克服し，有限集合から体への写像全体のなす代数の代わりに，ある程度条件は付くものの，より一般的な代数を用いて構成ができるようになった．これにより，弱双代数ではない真の左双亜代数が，分離的フロベニウス環でない代数を用いることにより，より直接的かつ簡明に構成できるようになった．当該年度では，この研究結果を共著論文としてまとめ，現在もその修正中である．来年度の早い時期に論文雑誌に投稿したいと考えている． また，この研究成果を含む，研究代表者らによるホップ亜代数の構成について，平成30年９月に開催された代数学シンポジウムにおいて講演し，その内容とまとめ報告した．
• ダイナミカル・ヤン・バクスター写像に関する反射方程式の解の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 2014年04月 -2017年03月 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  本研究の主要な結果は，（１）ダイナミカル・ヤン・バクスター写像に関する反射方程式を定式化したこと，および，（２）ダイナミカル・ブレイスから構成されるダイナミカル・ヤン・バクスター写像に関する反射方程式の解を構成したことである．この他，組み紐の研究で主要な役割を果たすカンドルを用いてダイナミカル・ヤン・バクスター写像を構成した．さらに，これを利用して弱ホップ代数が得られることも示した．
• ダイナミカル・ヤン・バクスター写像とホップ亜代数

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 2010年10月 -2014年03月 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  本研究の主要な結果は，ある種の量子ダイナミカル・ヤン・バクスター方程式の解であるダイナミカル・ヤン・バクスター写像を用いてホップ亜代数や面代数などの代数を構成したことである．ここで構成したホップ亜代数を利用して，リジッドなテンソル圏（「双対」の定義されたテンソル圏のこと）を作り出すことにも成功した．この他，ダイナミカル・ヤン・バクスター写像を作成する新たな方法も確立した．
• 特異ユニタリ表現に対する幾何学的不変量とモデル理論

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 2010年 -2012年 

  代表者 : 山下 博, 齋藤 睦, 澁川 陽一, 阿部 紀行, 西山 享

   

  本研究では,リー群の特異既約ユニタリ表現の実現について,幾何学的アプローチによる研究を行った.第一に,簡約リー群の特異ユニタリ最高ウェイト表現について,基本的表現のテンソル積を(表現に対する)幾何学的不変量を用いて分解することによって,テータ双対性対応の拡張を与えるDvorsky-Sahi理論のフォック模型版を築いた.第二に,実階数4の例外型単純リー群の四元数型構造から生じる既約概均質ベクトル空間上の特異軌道をルート系の情報を用いて記述した上で,Gross-Wallachによって発見された四元数型特異ユニタリ表現が,冪零K-軌道の幾何学的量子化によって実現されることを明らかにした.
• ダイナミカル・ヤン・バクスター写像の代数幾何学的側面の研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 2007年 -2009年 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  量子ダイナミカル・ヤン・バクスター方程式の写像解であるダイナミカル・ヤン・バクスター写像から双亜代数を構成し,そのダイナミカル表現全体がテンソル圏をなすことを証明した.前テンソル圏での余代数的対象として双亜代数が捉えられることを示し,結果として,双亜代数のこのような圏論的性質がダイナミカル表現のなすテンソル圏を生み出すことを明確にした.また,主等質空間を用いてダイナミカル・ヤン・バクスター写像を構成した.
• リーマン面に関連する位相幾何学

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(A)

  研究期間 : 2006年 -2009年 

  代表者 : 河澄 響矢, 松本 幸夫, 森田 茂之, 橋本 義武, 澁川 陽一, 秋田 利之, 遠藤 久顕, 足助 太郎, 田所 勇樹

   

  ベネ、ペナー両氏との共同研究で、リーマン面の組み合わせ構造を写像類群の代数的な構造に直接結びつける道具である、ファットグラフ・マグナス展開を発見した。リーマン面の新しい解析的不変量を発見し、それを用いてリーマン面のモジュライ空間の「曲がり具合」を記述した。久野雄介氏との共同研究で、リーマン面の交叉形式の二つの精密化であるゴールドマン・リー代数と斜交的導分のリー代数を結びつける新しい方法を発見し、応用として、非可換ピカール・レフシェッツ公式を証明した。
• 双対性から見た等質空間とユニタリ表現の現代的研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(A)

  研究期間 : 2006年 -2009年 

  代表者 : 山下 博, 吉田 知行, 山口 佳三, 齋藤 睦, 澁川 陽一, 立澤 一哉, 河添 健, 松本 久義, 谷口 健二, 和地 輝仁, 西山 享, 松木 敏彦, 関口 次郎, 伊師 英之, 示野 信一, 森田 英章, 平井 武

   

  表現や群軌道に関する様々な双対性に焦点を当て,半単純リー群の表現論と等質空間上の解析学の新たな展開を目指した.その結果,ユニタリ最高ウェイト加群に対する等方表現と一般Whittaker模型が表現のテータ対応に関するHowe双対性を制御していることが明らかになった.また,離散系列,退化主系列表現に対する幾何学的不変量の記述,旗多様体上の松木双対性の複素解析的延長,一般Verma加群の間の準同型の分類等々について多様な研究を実施し,数多くの重要な成果を得た.
• Vertex-Face対応と量子代数の構成

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 若手研究(B)

  研究期間 : 2003年 -2005年 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  研究代表者は,昨年度,集合上のダイナミカル・ヤン・バクスター方程式にあたる新しい方程式を定式化した.さらに,ダイナミカル・ヤン・バクスター写像(DYBM)と呼ばれるこの方程式の解を,数多く構成する系統的な方法を確立した. 本年度は,この結果をさらに一般化した.本年度行った研究によって得られた新たな知見等のうち,主な成果を次に挙げる. 1.Lをleft quasigroupとし,Mをある条件を満たすternary systemとする.全単射π:L→Mが存在するならば,この(L,M,π)を用いて,DYBMを構成することができる.さらに,不変条件を満たすDYBMは,必ずこのように構成される. 2.1で構成した2つのDYBMがIRF-IRF対応を持つ.特に,一方がヤン・バクスター写像(YBM)の場合,この対応は,いわゆるVertex-Face対応にあたる. これらの研究成果,特に2は,交付申請書に記載した本年度の研究実施計画(1)を,研究の進展に合わせて,さらに発展させることにより得られたものである. また,交付申請書の研究の目的(2)であるDYBMに付随して定義されるL作用素達がテンソル圏をなすことも,証明した. さらに,交付申請書の研究の目的(3)にある量子代数の構成は,上記2にあるVertex-Face対応を用いて,現在研究中である. 本研究の成果は,DYBMの新たな構成方法を開発したことにとどまらない.この構成方法を用いて不変条件を満たすDYBMの分類が出来たので,この分類を,不変条件を満たすYBMの構造の研究に応用出来るのではないかと期待している. なお,本研究に関する成果を論文にまとめ,雑誌論文として公表する予定にしている.
• 写像類群のトポロジーの複素解析的手法による研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 2002年 -2004年 

  代表者 : 河澄 響矢, 松本 幸夫, 森田 茂之, 橋本 義武, 澁川 陽一, 秋田 利之, 大場 清

   

  最大の成果は、スタシェフ結合多面体とマグナス展開との密接なつながりが明らかになったことである。これによってねじれ係数森田マンフォード類をあらわす微分形式が、スタシェフ結合多面体によって「無限小的には」「組み合わせ的に」パラメントライズされることがわかった。ここにある二つの「」をはずすことが今後の課題である。 調和的マグナス展開の理論をリーマン面の普遍族でも実行した。これにより普遍族上の1次微分形式の列と関係式のもう1つの列がえられた。正規第3種アーベル積分の擬等角変分が与える普遍族上の1次微分形式はこの列の1番目にあたる。結果として、(0,3)-ねじれ係数森田マンフォード類と第一ジョンソン写像とがモジュライ空間の上の微分形式としても一致することが分かった。 自由群の自己同型群のマグナス表現をフォックス自由微分を使わない内在的なやり方で再構成した。このことは森田トレースの内在的な構成をも意味する。これらの対象と調和的マグナス展開との関係を解明するのは、今後の課題である。 なお、研究集会「多様体のトポロジーの未来へ」を共催し、とくに世界的な圭の専門家である斎藤昌彦氏から情報提供をうけた。そもそもの興味は、圭と自由群の自己同型群の関連に由来していたが、これが同時に集合論的ヤン・バクスター方程式と関連することを知ったのは今後の研究の展開に有益であると思われる。
• 無限次元リー群およびリー代数に対する表現論の新たな展開

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 萌芽研究

  研究期間 : 2002年 -2004年 

  代表者 : 山下 博, 山口 佳三, 齋藤 睦, 澁川 陽一, 和地 輝仁

   

  本課題研究は,無限次元半単純リー代数(群)や量子群に対して,有限次元群の場合の既約許容表現,すなわちハリシュ-チャンドラ加群に相当する新しい表現の族を構成・分類するために,「代数的量子化」の理論が無限次元の場合にいかに展開できるか,その可能性を探ること主目標としている.今年度は,昨年度に行った試行的研究を推し進め,代数的ディラク作用素及びディラクコホモロジーを用いて,共役類の量子化と許容表現の構成を検討した.また,リー代数の作用に関する不変式論,トーリック多様体上の微分作用素環,量子群の研究を併せて行った.その研究経過と得られた知見について,以下に報告する. 研究代表者山下は,A型のリー代数に対して,簡約あるいはべき零な部分リー代数から定まるディラク作用素の構成とコホモロジー空間の構造を検討した.その過程で,表現論国際会議(平成16年8月開催,於新疆大学)に参加し,有限次元の場合の専門家であるJing-Song Huang(香港科技大)およびPavle Pandzic(Zagreb大)と研究打合せを重点的に行った.無限次元リー代数に理論が拡張できる部分と障害となる部分が明らかになり,今後研究を発展させるために重要な手がかりが得られたと考えている.また,ディラク作用素と基盤研究(B)(課題番号14340001)で実施中の離散系列に対する等方表現との間の関係を調べた.研究分担者和地は,対称対に関する不変微分作用素を定める普遍包絡代数の元の研究を行い,デュアルペアと関わる明示的公式を得た. 無限次元リー代数の表現の研究に資するため,研究分担者齋藤は,アフィン半群環上の微分作用素環やA-超幾何系において基本的な加群の圏Oを扱い,各々の圏Oにおいてヴァーマ的対象や単純対象と,それらの間の基本的な関手について考察した.研究分担者澁川は,力学的ヤン・バクスター方程式の集合論的解を構成した.
• 四元数型無限次元表現とべき零共役類

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 2000年 -2001年 

  代表者 : 山下 博, 西山 享, 澁川 陽一, 齋藤 睦, 和地 輝仁, 太田 琢也, 山田 裕史

   

  実簡約リー群の無限次元既約表現に付随したハリシュ・チャンドラ加群は,リー代数のべき零共役類からなる随伴多様体を基本不変量にもつ.さらに,随伴多様体の各既約成分の当該加群における重複度は,対応するべき零軌道上の一点の固定部分群の等方(固定)表現の次元として捉えることができる.研究代表者の一連の研究により,多くの場合に,双対ハリシュ・チャンドラ加群を実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて等方表現を記述できることが,原理的には分かっている.本研究では,四元数型無限次元表現,離散系列や最高ウェイト加群など,既約な随伴多様体をもつハリシュ・チャンドラ加群に対する等方表現の研究を開始し,以下に述べる成果を挙げた. 1.随伴サイクルに対するヴォーガン理論を出発点に,等方表現の構造の一般論を展開した.等方表現の既約性に対する判定条件を与え,勾配型微分作用素により等方表現が特定できるのは如何なる場合かを調べた。 2.四元数型を含む一般の離散系列表現について,等方表現の零でない商表現を構成した.この商表現は等方表現のなかで十分大きいと考えられるが,各離散系列加群に対応して定まるテータ安定な放物型部分群が対称対に付随したリチャードゾン型のべき零軌道を持つ場合に、これを支持する定性的な定理を得た. 3.エルミート型リー代数BI, DI, EVIIの特異ユニタリ最高ウェイト加群に対する等方表現を,具体的に特定した.最終的に,任意のエルミート型単純リー代数の特異ユニタリ最高ウェイト加群に付随する等方表現が既約になることを見出した. 4.各研究分担者は本研究に常時参画した.齋藤は,ユニタリ最高ウェイト加群と密接に関わるA-超幾何系の研究を進め,A-超幾何系が斉次の場合にランクの公式を得た.和地は一般バーマ加群上にキャペリ恒等式の類似物を構成した.西山と太田は,それぞれ独自の視点から,対称対に付随するべき零軌道のモーメント写像による対応(双対対に関するテータ・リフト)を与えた.
• 超幾何微分方程式系の分類問題

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 2000年 -2001年 

  代表者 : 齋藤 睦, 澁川 陽一, 松本 圭司, 山下 博, 和地 輝仁, 山田 裕史, 三宅 敏恒

   

  コンピュータによる多数の例の計算や、国内外における研究者との交流などにより、以下のような成果を得た。 齋藤睦は、A-超幾何系について研究した。まず、A-超幾何系の分類定理を非斉次のときや、解析的カテゴリーにおいても証明した.また。斉次のときにlog係数を持たないA-超幾何級数からなる空間の次元公式を与え、さらにAの凸包が単体のとき、A-超幾何系のランクの公式を与えた。このとき、さらに全てのパラメータに対してランクが凸包の体積と等しくなるという条件が、Aから決まるトーリック多様体がコーエン-マッコウレイであるという条件と同値であることを示した。 山下博は、Harish-Chandra加群に付随する等方表現に関する一般理論を整備・展開した。特に、等方表現が既約となるのはいつかについて、有用な新知見を得た。さらに、離散系列に属するHarish-Chandra加群について、等方表現の零でない商表現を統一的に構成した。 松本圭司は、n次元複素射影空間上の積分表示をもつ合流型超幾何関数で最も合流が進んだ一般化されたAiry関数に関する捩れコホモロジー群間にあるペアリングを明らかにした。捩れコホモロジー群の基底をヤング図形を用いて定め、その基底に関してできるペアリングをskew-Schur多項式で表示できることを示した。 澁川陽一は、ヤン・バクスター方程式を満たす関数空間上の線型作用素であるR作用素の分類問題を解決した。 山田裕史は、まずいくつかのアフィンリー環の基本表現に関して、そのウエイトベクトルを具体的に求める、という研究を行った。特に一番簡単なアフィンリー環であるA^<(1)>_1に関しては2つの実現を考えウエイトベクトルがそれぞれシューア函数のモジュラー版、シューアのQ-函数で書けることを発見した。 和地輝仁は、一般バーマ加群の構造、特に規約性について、不変式との関連に注目して研究を行った。
• リーマン面のモジュライ空間の位相幾何学

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 1999年 -2001年 

  代表者 : 河澄 響矢, 大場 清, 森田 茂之, 松本 幸夫, 秋田 利之, 澁川 陽一, 皆川 宏之, 廣瀬 進, 笹原 泰, 橋本 義武

   

  写像類群の有理コホモロジー(分担者森田と代表者):リーマン面のモジュライ空間のコホモロジー環のジョンソン準同型による第一近似が非安定的にも森田マンフォード類で生成されることを論文にまとめた。有限グラフからねじれ係数森田マンフォード類への対応のグラフの退化に伴う振る舞いを完全に記述した。 モジュライ空間の微分幾何学とマグナス展開(代表者):普遍リーマン面の相対接束の接続と二次微分の関係を細部にいたるまで明らかにした。点付き写像類群でのねじれ係数森田マンフォード類のIH関係式と森田マンフォード類の微分形式表示が、リーマン面の複素構造の定める調和的マグナス展開というものによって統一的に扱うことが出来ることが分かった。さらに、調和的マグナス展開の擬等角第一変分を具体的な有理型二次微分として求めた。この二次微分は複素解析的手法による写像類群の研究の重要な鍵となるであろう。 写像類群のトージョンコホモロジー(分担者秋田と代表者):分担者秋田による森田・マンフォード類についての予想を中心に研究した。秋田と代表者は準自由作用の場合に肯定的に証明した。代表者は超楕円的写像類群の上で、森田・マンフォード類の振る舞いを完全に計算し超楕円的写像類群では予想が成り立つことを証明した。秋田は写像類群の有限部分群の奇数次の森田マンフォード類の2倍が、G-符号数の不変量であるという著しい結果を証明した。 ブルスキ・カロジェロ方程式(分担者澁川と代表者):一変数有理型函数解を完全に求めた。澁川はこれを用いて一変数有理型函数の空間に作用するR-作用素を完全に分類した。 詳細および他の成果は、研究成果報告書(冊子体)において報告する。
• アフィンリー環と対称群の組合せ論的表現論

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 1999年 -2000年 

  代表者 : 山田 裕史, 田口 雄一郎, 斎藤 睦, 山下 博, 中島 達洋, 渋川 陽一

   

  山田は,まずいくつかのアフィンリー環の基本表現に関して,そのウエイトベクトルを具体的に求める,という研究を行った.特に一番簡単なアフィンリー環であるA^<(1)>_1に関しては2つの実現を考えウエイトベクトルがそれぞれシューア函数のモジュラー版,シューアのQ-函数で書けることを発見した.これら2つの実現を詳しく解析することにより,対称群のスピン分解行列の単因子について興味深い事実を見い出した.すなわち対称群の標数2の場合のスピン分解行列の単因子がすべて2の冪になっている,ということである.対称群のモジュラー表現の一般論を用いても証明できるが,その後,アフィンリー環論を用いた簡明な証明を発見した.単因子が2の冪ということだけではなく,その指数の出方についても詳しく知ることができるのではないか,と模索している. ジャック多項式の特殊化である帯多項式の研究過程において,対称群の指標表にちょっと不思議な現象があることを発見した.実はこの現象は50年前にリトルウッドによって証明されていることを知るのだが,彼の元々の証明は煩雑を極める.そこで大学院生の水川裕司とともにその簡明な証明を与えた.同様の現象が対称群のスピン指標表においても見つかっており,その証明も与えられた.通常の指標ではシューア函数の表示が本質的に用いられるがスピンの場合はQ-函数のパフィアン表示が必要となる. 池田岳との共同研究でアフィンリー環A^<(1)>_1の基本表現の斉次実現を詳しく考察して非線型シュレディンガー方程式系の斉重多項式解のすべてを求めることができた.長方形のヤング図形に付随するシューア函数が本質的に登場する.現在論文を準備中であり,また一般のアフィンリー環への拡張を模索中である.
• 2つのヤン・バクスター方程式の楕円関数解と楕円的量子群

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 奨励研究(A)

  研究期間 : 1998年 -1999年 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  本年度は,昨年度に引き続き,加法定理型の微分方程式であるBruschi-Calogero方程式について,その解の分類に関する研究を行った。Bruschi-Calogero方程式とは次のものである。 (^*) a(x)a'(y)-a'(x)a(y)=(a(x+y)-a(x)a(y))(b(x)-b(y)) ここでaとbを未知関数としている。Bruschi-Calogeroは,この微分方程式の一般的な解析的解として楕円関数解を求め,その退化した解として,三角関数解,有理関数解などをも求めている。次に問題となるのは,この微分方程式の解はBruschi-Calogeroによって得られた解のみしかないのかということである。そこで研究代表者は,この微分方程式の,原点近傍で定義された有理型関数解をすべて求めようと試み,これに成功した。すなわち,本研究によって得られた新たな知見等の成果は次の通りである。 aとbを原点中心のpunctured disk上定義された正則関数とする。関数aとbが微分方程式(^*)を満たすならば,aはC上定義された有理型関数となる。関数aは指数関数,楕円関数,三角関数,有理関数のいずれかで表される。 本研究に関する成果は近い将来,雑誌論文として発表される予定である。また,本研究の成果の口頭発表として,平成11年9月,日本数学会秋季総合分科会無限可積分系セッションにおいて、特別講演を行った。 これを記している現在,本研究の成果を用いて,ヤン・バクスター方程式の解であるR作用素の分類を行おうと試みている。
• 超幾何微分方程式系の代数解析的・表現論的研究

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 1998年 -1999年 

  代表者 : 齋藤 睦, 渋川 陽一, 山下 博, 山田 裕史

   

  コンピュータによる多数の例の計算や、国内外における研究者との交流などにより、以下のような成果を得た。 齋藤睦は、A-超幾何系について研究した。まず、B.Sturmfels氏、高山信毅氏と共同で、A-超幾何系と整数計画法との関連について研究した。さらに、両氏と共同で、D-加群のグレブナー変形について研究し、それをA-超幾何系の研究に応用した。正則ホロノミック系のランク(解空間の次元)がグレブナー変形で不変であることを示し、A-超幾何系のランクがAの成す凸包の体積に等しくなるための具体的な十分条件を与えた。また、A-超幾何系のパラメータを対応するA-超幾何系のD-加群としての同型類で分類するという問題に対して組合せ論的解答を得た。 山田裕史は、Q-函数とアフィンリー環との関係について研究した。Q-函数を冪和対称函数たちの多項式として表示したものはあるアフィンリー環の基本表現を多項式環上に実現したときのウエイトベクトルになることを見出し、そのQ-函数のウエイトをYoung図形を用いて明示した。また、SchurのS-函数とQ-函数との一見奇妙な関係を発見した。 山下博は、Harish-Chandra加群に関して研究した。まず、Borel-de Siebenthal離散系列の主系列表現への埋め込みを特定した。また、離散系列、ユニタリ最高ウェイト表現について、その随伴サイクルが、双対Harish-Chandra加群を核空間として実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて記述できることを明らかにした。 渋川陽一は、河澄響矢氏と共同でRuijsenaars-Schneiderのdynamicalな可積分系のLax表示に関連するBruschi-Calogeroの微分方程式の全ての有理型関数解を求めた。
• 対称空間上の勾配型不変微分作用素とリー代数の表現

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(B)

  研究期間 : 1997年 -1999年 

  代表者 : 山下 博, 澁川 陽一, 齋藤 睦, 山田 裕史, 西山 享, 平井 武

   

  「実半単純リー群Gの無限次元既約表現の誘導加群への埋込み(模型)が,リーマン対称空間X=K＼G上の勾配型不変微分作用素族が定める微分方程式系の誘導加群の関数空間における解により特徴づけられる」という核型定理をもとに,各既約表現(Harish-Chandra加群)について,種々の模型を記述することを目標にした研究を実施し,次の成果を得た. 1.エルミート型単純群Gの最高ウェイトをもつ既約Harish-Chandra加群Lから,K＼Gの正則接空間に含まれるリー代数のべき零軌道たちO_m(m=0,1,…,r)に付随した「一般化Gelfand-Graev誘導表現」Γ_mへの埋込み:一般化Whitta ker模型,を決定した.表現Lの随伴多様体はあるべき零K_軌道O_(K_Cは極大コンパクト群Kの複素化)の閉包と一致する.表現LのΓ_への埋込みが勾配型微分作用素の主表現を用いてテ特定される.古典群の場合には,簡約相対対のoscillator表現を用いて,より具体的な結果を得た. 2.四元数型単純リー群のBorel-de Siebenthal離散系列表現について,Schmid-勾配型微分方程式を主系列の表現空間において解くことにより,0次n-ホモロジー空間を特定した. 3.既約な髄伴多様体をもつHarish-Chandra加群について,ある種の代数的な仮定のもとに,その随伴サイクルに現れる「重複度」を,双対Harish-Chandra加群を実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて記述する一般理論を構築した. 4.各研究分担者は,表現論と微分方程式(齋藤・佐藤),表現と相互律(平井・西山・山田),保型形式と整数論(田口・三宅・前田)量子群や無限次元リー代数の表現(須藤・内藤・澁川・吉田)の研究を各自押し進めると同時に,これらの研究が深く関わる上記の研究過程で,セミナーや討論をとおして本研究に常時参加した.
• 群、環の表現論とその組み合わせ論的側面

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 基盤研究(C)

  研究期間 : 1997年 -1998年 

  代表者 : 山田 裕史, 中島 達洋, 寺尾 宏明, 渋川 陽一, 斉藤 睦, 山下 博

   

  Q-函数とアフィンリー環との関係について研究を進めた.まずQ-函数を幕和対称函数たちの多項式として表示したものはあるアフィンリー環の基本表現を多項式環上に実現したときのウェイトベクトルになることを見出した.一般にQ-函数はヤング図形で添字づけられるが,与えられたQ-函数がどのウェイト空間に属するかを,ヤング図形の組合せ論を用いて明らかにした.またこの処方箋を別の最も簡単なアフィンリー環に適用することにより,シューアのS-函数とQ-函数との間の一見奇妙な関係を発見した.対称群のスピンモジュラー表現の観点から眺めることにより,スピン分解行列を通してその意味が明らかになった.この事実が発端となってスピン分解行列そのものを研究対象とみなし始めた.標数2の場合のスピン分解行列は正方行列になるがその行列式が2のべキになっていることを証明した.もう一つの研究成果としては複素鏡映群G(r,p,n)の「高次シュペヒト多項式」の構成がある.群G(r,p,n)は自然にn変数の多項式環に作用するがその基本不変式で生成されるイデアルによる剰余環は『余不変式環』とよばれる.余不変式環におけるG(r,p.n)の表現は正則表現に同値であるが各既約成分の基底を多項式として具体的に書いたものが高次シュぺヒト多項式である.対称群S_n=G(1,1,n)の場合から始めて徐々に一般化を進めてきたがようやく広いクラスの群G(r,p,n)まで到達できた.
• 量子代数とその表現論

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 奨励研究(A)

  研究期間 : 1996年 -1996年 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  ここ数年、ヤン・バクスター方程式の無限次元解である完全Z対称なR行列を、関数空間上に実現することにより得られる楕円型R作用素の満たす性質について研究している。本年度に主として研究したのは、楕円型R作用素に付随した可換な差分作用素族の構成である。 ヤン・バクスター方程式の解である楕円型R作用素である適切な有限次元部分空間上に制限すると、Belavinにより構成されたヤン・バクスター方程式の有限次元解が得られる。そこで「Belavinにより構成された有限次元解の性質は、楕円型R作用素の性質から導かれるのではないか」という問題が生じる。研究代表者が以前に示した楕円型R作用素に関するVertex-IRF対応も、上記の問題を肯定的に解決したものであると捉えられる。 ヤン・バクスター方程式の有限次元解は、多くの数理物理学者により研究されている。特に、有限次元解に付随した可換な差分作用素族の構成は、現在、活発に研究されている分野の1つである。 昨年度の科学研究費補助金実績報告書に記載したように、楕円型R作用素から可換な差分作用素族を構成する方法の1つは知られていた。Belavinによる解では、これ以外の構成方法が知られている。そこで本年度は、この方法を一般化して楕円型R作用素に付随した可換な差分作用素族を構成しようと試みた。現在、簡単な結果が得られている。今後は、これをさらに発展させ、論文にまとめていきたいと考えている。
• ヤン・バクスター方程式の楕円型解とそれに付随する代数の表現

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 重点領域研究

  研究期間 : 1995年 -1995年 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  ここ数年、ヤン・バクスター方程式の関数空間上の解である、楕円型R作用素の満たす性質いついて研究ししている。 昨年度、楕円型R作用素がvertex-face対応という性質を持つことを証明し、その後、本年度にかけてこの結果を論文にまとめた。それが「11.研究発表」に記した論文である。したがって、この論文中のほとんどの結果は昨年度中に得られたものであるが、論文末の「Note added in proof」に書いた2つの結果は、本年度になってから得られたものである。そのうちの1つは、incoming intertwining vectorにもう1つパラメータを付け加えることができるということである。これは、後に記す可換な差分作用素族を構成するときに必要となる。また、outgoing intertwining vetorが存在するということは昨年度中までに得られていたが、本年度になってその具体的な形を求められることに気が付いた。これが2つ目の結果である。 これ以外に、楕円型R作用素を退化させて得られる三角関数型R作用素に付随する格子模型に関する研究を桑野泰宏・山田裕二両氏と行った。格子模型の統計力学的取り扱いに習熟していない私にとっては、大変有意義なものであった。そして、楕円型R作用素から可換な差分作用素族が構成できることもわかった。構成方法は野海正俊氏に教えてもらったものである。可換な差分作用素族の構成には別の方法がある。これに関しても簡単な場合には計算することができた。一般の場合についても、計算していきたい。 以上の研究を実行する上で、パーソナルコンピューター(パワーマッキントッシュ8100)とそれに入れた計算用ソフト(マセマティカ)を利用した。このソフトでは簡単な楕円関数も扱えるので、大変役立っている。
• 量子代数とその表現論

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 奨励研究(A)

  研究期間 : 1995年 -1995年 

  代表者 : 渋川 陽一

   

  ここ数年、ヤン・バクスター方程式の関数空間上の解である、楕円型R作用素の満たす性質について研究している。 昨年度、楕円型R作用素がvertex-face対応という性質を持つことを証明し、その後、本年度にかけてこの結果を論文にまとめた。それが「11.研究発表」に記した論文である。したがって、この論文中のほとんどの結果は昨年度中に得られたものであるが、論文末の「Note added in proof」に書いた2つの結果は、本年度になってから得られたものである。そのうちの1つは、incoming intertwining vectorにもう1つパラメータを付け加えることができるということである。また、outgoing intertwining vectorが存在するということは昨年度中までに得られていたが、本年度になってその具体的な形を求められることに気が付いた。これが2つ目の結果である。 これ以外に、楕円型R作用素を退化させて得られる三角関数型R作用素に付随する格子模型に関する研究を桑野泰宏・山田裕二両氏と行った。格子模型の統計力学的取り扱いに習熟していない私にとっては、大変有意義なものであった。そして、楕円型R作用素から可換な差分作用素族が構成できることもわかった。構成方法は野海正俊氏に教えてもらったものである。可換な差分作用素族の構成には別の方法がある。これに関しても簡単な場合には計算することができた。一般の場合についても今後、計算していきたい。
• ヤンバクスター方程式と量子代数

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 奨励研究(A)

  研究期間 : 1994年 -1994年 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  以下、completely Z symmetric R matrixのことを楕円型R作用素ということにする。最近、FelderとPasquierはこの楕円型R作用素をmodifyした上で、その定義域をある有限次元部分空間上に制限して得られるR行列がBelavinのR行列と一致することを証明した。このBelavinのR行列に関しては、その量子代数も、さらにはその簡単な表現(いわゆるfactorized L-operator)も構成されている。そこで、楕円型R作用素についても、ここに用いられた手法と同様の手法でfactorized L-operatorが構成できないか、という問題が考えられる。結果からいうと、この問題は肯定的に解決された。解決への鍵となるのは、楕円型R作用素に関するVertex-IRF対応である。これはこの楕円型R作用素と、ある面型のヤンバクスター方程式の解との間の関係を記述する公式である。この公式が得られたので、これを元にして、BelavinのR行列に対して用いられた手法とほぼ同様の手法を用いることにより、factorized L-operatorが構成できたのである。研究実施計画は実現できたことになる。この結果とFelder-Pasquierの結果を合わせることにより、BelavinのR行列に関するVertex-IRF対応が得られる、そしてfactorized L-operatorが構成できることが再証明される。今後、これをさらに発展させ、当初の目標である、楕円型R作用素に付随した量子代数を定義したい。そのためにはまだまだ、楕円型R作用素の性質を詳しく研究しなくてはならない。また最近、楕円型R作用素と可換な差分作用素のなす族との関連を示す論文が発表されたので、それも参考にしながら研究をすすめていきたいと思う。
• 単体的複体と凸多面体の離散構造の代数的諸相

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 一般研究(C)

  研究期間 : 1994年 -1994年 

  代表者 : 日比 孝之, 澁川 陽一, 齋藤 睦

   

  近年,現代数学の様々な分野において離散構造の重要性が認識されてきた.古典的な組合せ論の研究対象である単体的複体,半順序集合や凸多面体に限っても,その面,鎖の個数や格子点の数え上げは可換代数や代数幾何と深い接点を持つことが判明し,更に,凸多面体の三角形分割の組合せ論は超幾何函数の理論などとの相互関係を保ちながら急激に進展している.このような現状において,当該研究の目的は(1)凸多面体の離散構造の研究を代数的側面から刺激し進展させること,及び(2)単体的複体に付随する可換代数の代数的不変量を組合せ論的に記述することであった.目的(1)について,当該年度は,整凸多面体P⊂R^Nに含まれる格子点の個数i(P,n)の母函数から定義されるδ-列の組合せ論的特徴付けを探究した.我々は,函数i(P,n)をHilbert函数とする可換整域A(P)を定義しその代数的振舞からPのδ-列の組合せ論的諸性質を研究した.更に,可換整域A(P)が次数1の元で生成されるならば,Pのδ-列はいわゆる上限定理型の不等式を満たすことに着目し,A(P)が次数1の元で生成されるための必要十分条件をPの組合せ論で記述することを試み,部分的な成果を得た.目的(2)について,当該年度は,単体的複体Δに付随するStanley-Reisner環k[Δ]のBetti数列を組合せ論的に記述する研究を遂行した.我々は,k[Δ]の有限自由分解が純となるような単体的複体Δを組合せ論的に分類することに挑戦したが,その際,計算代数の成果とグレブナ-基底の基礎理論を使って,計算機実験をしたことが有益であった.更に,Δが有限半順序集合Xの順序複体のとき,k[Δ]のBetti数列をXのメビウス函数を使って表示する方法を模索し,modular束Xの順序複体のCohen-Macaulay型を計算するための効果的な公式を発見した.
• コンプリ-トリ-でシンメトリックなRマトリックスに付随した量子代数とその表現

  日本学術振興会：科学研究費助成事業 奨励研究(A)

  研究期間 : 1993年 -1993年 

  代表者 : 澁川 陽一

   

  以下、コンプリ-トリ-ZシンメトリックなRマトリックスのことを簡単のため楕円関数型のR行列ということにする。楕円関数型のR行列に付随した代数をすぐに取り扱うことは難しいので、それを退化させて得られる三角関数型のR行列に付随した代数をまず研究した。研究目的・研究実施計画にもある通りこの代数の定義をし、そしてその表現を構成したいのであるが、そのためには三角関数型のR行列の性質を知ることが重要になってくるのでその性質についても合わせて研究した。代数に関しては、R行列の有限次元表現をとり、さらに上三角部分をとった上で量子代数を定義すると、それは量子群U_q(sl_n)のq-Serre関係式の一部を関係式として持つことがわかった。次は表現についてである。研究実施計画にも書いたように、表現を構成するときにはZamolodchikov代数が重要な役割を果たす。今の場合Zamolodchikov代数を用いて表現を構成するとき無限和が現れないことがわかった。すなわちそうなるようにうまく定義することができるのである。これを利用していくつか簡単な表現を得ることができた。今後、これらをさらに発展させ、当初の目標であるところの楕円関数型のR行列に付随した量子代数を定義したい。そのために、まず楕円関数型のR行列の性質を詳しく研究しなくてはならない。また最近他の楕円関数型のR行列に付随した量子代数について論文が発表されたので、それも参考にしながら研究をすすめていきたいと思う。

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