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Last Updated :2024/07/25

研究者情報

マスター

アカウント（マスター）

  • 氏名

    齋藤　睦(サイトウ　ムツミ), サイトウ　ムツミ

所属（マスター）

  • 理学研究院　数学部門　数学分野

所属（マスター）

  • 理学研究院　数学部門　数学分野

独自項目

syllabus

  • 2021, 代数学Ｂ, Algebra B, 学士課程, 理学部, 群の作用，有限生成ア－ベル群の構造定理，シローの定理，冪零群，可解群，有限群の表現論
  • 2021, 基礎数学演習Ａ２, Exercises on Basic Mathematics A2, 学士課程, 理学部, 基礎数学A2に準ずる．
  • 2021, 基礎数学Ａ２, Basic Mathematics A2, 学士課程, 理学部, ベクトル空間，線形写像，固有値，固有ベクトル，計量空間
  • 2021, 線形代数学Ⅰ, Linear Algebra I, 学士課程, 全学教育, 行列, 連立１次方程式, 基本変形, 階数, 行列式, 逆行列

PositionHistory

  • 教育研究評議会評議員, 2019年4月1日, 2021年3月31日
  • 教育研究評議会評議員, 2021年4月1日, 2023年3月31日
  • 大学院理学研究院副研究院長, 2015年4月1日, 2017年3月31日
  • 大学院理学研究院副研究院長, 2017年4月1日, 2019年3月31日
  • 大学院理学研究院副研究院長, 2019年4月1日, 2021年3月31日
  • 大学院理学研究院副研究院長, 2021年4月1日, 2023年3月31日

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プロフィール情報

学位

  • Ph.D.（Penn. State Univ.）

プロフィール情報

  • 姓

    齋藤, サイトウ

  • 名

    睦, ムツミ

  • ID各種

    200901045266929228

業績リスト

研究キーワード

  • 代数解析学   環論   Algebraic Analysis   Representation Theory   Ring Theory   

研究分野

  • 自然科学一般 / 代数学

委員歴

  • 2013年03月 - 2015年02月   日本数学会   全国区代議員

論文

  • Mutsumi Saito
    International Journal of Mathematics 31 13 2050110 - 2050110 2020年12月 [査読有り]
     
    The method of Frobenius is a standard technique to construct series solutions of an ordinary linear differential equation around a regular singular point. In the classical case, when the roots of the indicial polynomial are separated by an integer, logarithmic solutions can be constructed by means of perturbation of a root. The method for a regular [Formula: see text]-hypergeometric system is a theme of the book by Saito, Sturmfels and Takayama. Whereas they perturbed a parameter vector to obtain logarithmic [Formula: see text]-hypergeometric series solutions, we adopt a different perturbation in this paper.
  • Confluent hypergeometric systems associated with principal nilpotent p-tuples
    Mutsumi SAITO, Hiroyasu TAKEDA
    International Journal of Mathematics 29 12 2018年10月 [査読有り][通常論文]
  • Projective linear monoids and hinges
    齋藤 睦
    http://arxiv.org/abs/1711.01397 2017年11月 [査読無し][通常論文]
  • Mutsumi Saito
    JOURNAL OF LIE THEORY 27 1 51 - 84 2017年 [査読有り][通常論文]
     
    Let g be a simple Lie algebra of rank n over C. We show that the n-dimensional abelian ideals of a Borel subalgebra of g are limits of Jordan Lie subalgebras. Combining this with a classical result by Kostant, we show that the g-module spanned by all n-dimensional abelian Lie subalgebras of g is actually spanned by the Jordan Lie subalgebras.
  • Mutsumi Saito
    JOURNAL OF PURE AND APPLIED ALGEBRA 217 1 31 - 44 2013年01月 [査読有り][通常論文]
     
    An A-hypergeometric system is not irreducible, if its parameter vector is resonant. In this paper, we present a way of computing a finite system of generators of the first syzygy module of an irreducible A-hypergeometric quotient. In particular, if the semigroup generated by A is simplicial and scored, then an explicit system of generators is given. (c) 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.
  • Norihiro Nakashima, Go Okuyama, Mutsumi Saito
    JOURNAL OF ALGEBRA 351 1 294 - 318 2012年02月 [査読有り][通常論文]
     
    Let A be a generic hyperplane arrangement composed of r hyperplanes in an n-dimensional vector space, and S the polynomial ring in n variables. We consider the S-submodule D((m))(A) of the nth Weyl algebra of homogeneous differential operators of order m preserving the defining ideal of A. We prove that if n >= 3, r > n, m > r - n + 1, then D((m))(A) is free (Holm's conjecture). Combining this with some results by Holm, we see that D((m))(A) is free unless n >= 3, r > n, m < r - n + 1. In the remaining case, we construct a minimal free resolution of D((m))(A) by generalizing Yuzvinsky's construction for m = 1. In addition, we construct a minimal free resolution of the transpose of the m-jet module, which generalizes a result by Rose and Terao for m = 1. (C) 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.
  • Mutsumi Saito
    COMPOSITIO MATHEMATICA 147 2 613 - 632 2011年03月 [査読有り][通常論文]
     
    Gel'fand, Kapranov and Zelevinsky proved, using the theory of perverse sheaves, that in the Cohen-Macaulay case an A-hypergeometric system is irreducible if its parameter vector is non-resonant. In this paper we prove, using the theory of the ring of differential operators on an affine toric variety, that in general an A-hypergeometric system is irreducible if and only if its parameter vector is non-resonant. In the course of the proof, we determine the irreducible quotients of an A-hypergeometric system.
  • Mutsumi Saito
    COMMUNICATIONS IN ALGEBRA 38 3 829 - 847 2010年 [査読有り][通常論文]
     
    We describe the set of Z(d)-graded prime ideals of the graded ring of the ring D of differential operators of a scored semigroup algebra. Moreover, we describe the characteristic varieties of Z(d)-graded critical D-modules of a certain type.
  • Mutsumi Saito
    COMMUNICATIONS IN ALGEBRA 38 2 618 - 631 2010年 [査読有り][通常論文]
     
    Let D be the ring of differential operators of an affine semigroup algebra. Regarding the Krull dimension of finitely generated Z(d)-graded D-modules, we characterize critical Z(d)-graded D-modules. Moreover, we explicitly describe cyclic ones.
  • Mutsumi Saito, Ken Takahashi
    OSAKA JOURNAL OF MATHEMATICS 46 2 529 - 556 2009年06月 [査読有り][通常論文]
     
    We consider the Noetherian properties of the ring of differential operators of an affine semigroup algebra. First we show that it is always right Noetherian. Next we give a condition, based on the data of the difference between the semigroup and its scored closure, for the ring of differential operators being anti-isomorphic to another ring of differential operators. Using this, we prove that the ring of differential operators is left Noetherian if the condition is satisfied. Moreover we give some other conditions for the ring of differential operators being left Noetherian. Finally conjecture necessary and sufficient conditions for the ring of differential operators being left Noetherian.
  • Mutsumi Saito
    TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL 59 1 119 - 144 2007年03月 [査読有り][通常論文]
     
    We show that the classification of A-hypergeometric systems and that of multi-graded simple modules (up to shift) over the ring of differential operators on an affine toric variety are the same. We then show that the set of multi-homogeneous primitive ideals of the ring of differential operators is finite. Furthermore, we give conditions for the algebra being simple.
  • M Saito, WN Traves
    JOURNAL OF ALGEBRA 278 1 76 - 103 2004年08月 [査読有り][通常論文]
     
    We prove that the ring of differential operators of any semigroup algebra is finitely generated. In contrast, we also show that the graded ring of the order filtration on the ring of differential operators of a semigroup algebra is finitely generated if and only if the semigroup is scored. (C) 2004 Elsevier Inc. All rights reserved.
  • M Saito
    DUKE MATHEMATICAL JOURNAL 115 1 53 - 73 2002年10月 [査読有り][通常論文]
     
    We give a dimension formula for the space of logarithm-free series solutions to an A-hypergeornetric (or a Gel'fand-Kapranov-Zelevinskii (GKZ) hypergeometric) system. In the case where the convex hull spanned by A is a simplex, we give a rank formula for the system, characterize the exceptional set, and prove the equivalence of the Cohen-Macaulayness of the toric variety defined by A with the emptiness of the exceptional set. Furthermore, we classify A-hypergeometric systems as analytic D-modules.
  • M Saito
    COMPOSITIO MATHEMATICA 128 3 323 - 338 2001年09月 [査読有り][通常論文]
     
    Given a finite set A of integral vectors and a parameter vector, Gel'fand, Kapranov, and Zelevinskii defined a system of differential equations, called an A-hypergeometric (or a GKZ hypergeometric) system. Classifying the parameters according to the D-isomorphism classes of their corresponding A-hypergeometric systems is one of the most fundamental problems in the theory. In this paper we give a combinatorial answer for the problem under the assumption that the finite set A lies in a hyperplane off the origin, and illustrate it in two particularly simple cases: the normal case and the monomial curve case.
  • Differential algebras on semigroup algebras
    M. Saito, W. Traves
    Contemporary Mathematics 286 207 - 226 2001年 [査読有り][通常論文]
  • M Saito, B Sturmfels, N Takayama
    COMPOSITIO MATHEMATICA 115 2 185 - 204 1999年01月 [査読有り][通常論文]
     
    We examine connections between A-hypergeometric differential equations and the theory of integer programming. In the first part, we develop a 'hypergeometric sensitivity analysis' for small variations of constraint constants with creation operators and b-functions. In the second part, we study the indicial polynomial (b-function) along the hyperplane x(i) = 0 via a correspondence between the optimal value of an integer programming problem and the roots of the indicial polynomial. Grobner bases are used to prove theorems and give counter examples.
  • M Saito, B Sturmfels, N Takayama
    PROCEEDINGS OF THE JAPAN ACADEMY SERIES A-MATHEMATICAL SCIENCES 74 7 111 - 113 1998年09月 [査読有り][通常論文]
  • Mutsumi Saito
    Hokkaido Mathematical Journal 25 3 591 - 619 1996年 [査読有り][通常論文]
     
    The structure of the symmetry algebras of normal A-hypergeometric systems is studied and determined in terms of generators and relations. An irreducible component of the semisimple part of their symmetry Lie algebras is proved to be either of A-type or of C-type. This result generalizes Hrabowski’s theorem [Hr]. © 1996 by the University of Notre Dame. All rights reserved.
  • Contiguity relations for the Lauricella functions
    M. Saito
    Funkcialaj Ekvacioj 38 37 - 58 1995年 [査読有り][通常論文]
  • M SAITO
    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN 46 4 699 - 724 1994年10月 [査読有り][通常論文]
  • Restrictions of A-hypergeometric systems and connection formulas of the hypergeometric function of prism type
    M. Saito, N. Takayama
    International journal of Mathematics 5 537 - 560 1994年 [査読有り][通常論文]
  • M SAITO
    TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL 44 4 523 - 534 1992年12月 [査読有り][通常論文]
     
    We treat the problem of shifting parameters of the generalized hypergeometric systems defined by Gelfand when their associated toric varieties are normal. In this context we define and determine the Bernstein-Sato polynomials for the natural morphisms of shifting parameters. We also give some examples.
  • M SAITO
    TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL 43 2 213 - 234 1991年06月 [査読有り][通常論文]

書籍等出版物

  • グレブナー基底の現在
    日比孝之他 (担当:共著)
    数学書房 2006年
  • D-modules and microlocal calculus
    M. Kashiwara (担当:単訳)
    American Mathematical Society 2003年
  • Groebner deformations of hypergeometric differential equations
    M. Saito, B. Sturmfels, N. Takayama (担当:共著)
    Springer-Verlag 2000年

所属学協会

  • 日本数学会   Mathematical Society of Japan   

Works（作品等）

  • 表現論，微分方程式系とその周辺
    2007年
  • Representation Theory, Systems of Differential Equations and their Related Topics
    2007年
  • 「２００３年度表現論シンポジウム」
    2003年
  • 群の表現論と等質空間上の解析学
    1995年

共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2022年04月 -2026年03月 
    代表者 : 齋藤 睦
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2018年04月 -2023年03月 
    代表者 : 齋藤 睦
     
    本研究の目的は，線型群の表現のコンパクト化を考え，その構造を明らかにすることにより線型作用の極限を統一的に扱うことを目指すことである。数学の多くの対象においてその線型変形の極限を考察することが良くあるので，この研究は多方面での応用が期待できる。本研究期間においては，応用面では主に超幾何微分方程式系の変形に適用することを目指している。
    線型群の表現のコンパクト化そのものについては，顕著な前進はなかったが，超幾何微分方程式系の理論については，前年度に引き続きフロベニウスの方法による解の構成について進展があった。確定特異点型の常微分方程式の古典的理論におけるフロベニウスの方法とは，決定方程式がジェネリックのときの級数解の指数を別変数と見て微分する方法のことで，Logを含む級数解を構成できる。前年度にA-超幾何微分方程式系でも同様の考え方で一般的な定理を証明することができた。
    引き続き，2021年度では，北海道科学大学の奥山豪氏との共同研究として，フロベニウスの方法の研究を続けた。まず，前年度に得られた結果を精密化した。さらに，或る緩い条件を満たすKer(A)の基底に付随して多項式環のイデアルを複数定義し，それらイデアルの関係を条件として，フロベニウスの方法により解空間の基底を構成できることを示した。さらに，青本-ゲルファント系やLauricellaのC型関数に付随するA-超幾何微分方程式系について，パラメータが0のときにフロベニウスの方法により具体的に基本解を構成した。以上の成果について，「Logarithmic A-hypergeometric series II」という奥山氏との共著論文にまとめ，arXivに挙げ，論文雑誌に投稿中である。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2015年04月 -2019年03月 
    代表者 : 齋藤 睦
     
    射影一般線型群PGL(V)の１つのコンパクト化としてPM(V)というものを構成し，提案した。PM(V)はPGL(V)を稠密開集合として含むコンパクト位相空間で，射影空間P(V)に作用する半群である。また，PGL(V)のコンパクト化として良く知られたワンダフルコンパクト化との関係も表した。 武田裕康氏と共同で，ゲルファント流超幾何微分方程式系の合流について，冪零正則元を一般化した主冪零p組による随伴作用の極限としての記述を行った。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2013年04月 -2017年03月 
    代表者 : 山下 博, 齋藤 睦, 阿部 紀行
     
    本研究では，簡約リー群に対する随伴軌道の幾何学的量子化をとおして，特異冪零軌道に対応する既約ユニタリ表現の良い実現を与えることを研究の目的とした．その結果，実階数４の例外型単純リー群の四元数型特異ユニタリ表現のそれぞれから実放物型誘導表現（主系列）への埋め込みを特定し，当該の埋め込みが一意的であることを示した．さらに，四元数型特異冪零軌道の幾何構造を階数の低い管状のエルミート対称対あるいは四元数型対称対を用いて記述した．
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2012年04月 -2015年03月 
    代表者 : 齋藤 睦, 山下 博, 阿部 紀行, 奥山 豪
     
    ゲルファント流の超幾何微分方程式系の合流操作に関連して，カルタン部分リー代数の変形について研究した．階数nの任意の複素単純リー代数gにおいて，ボレル部分リー代数のn次元イデアルがジョルダン部分リー代数（冪零正則元の中心化代数）の極限であることを証明した．ジョルダン部分リー代数はカルタン部分代数の極限であるので，ボレル部分リー代数のn次元イデアルはカルタン部分代数の極限であるということになる． また，コスタントの古典的結果と合わせると，n次元可換部分リー代数からなるg-加群は，カルタン部分リー代数達やジョルダン部分リー代数達で張られることが分かった．
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2010年04月 -2014年03月 
    代表者 : 石川 剛郎, 山口 佳三, 泉屋 周一, 斎藤 睦, 待田 芳徳, 田邊 晋, 齋藤 幸子, 高橋 雅朋, 北川 友美子
     
    サブリーマン幾何やトロピカル幾何と関連する外微分式系の積分曲線に付随する特異曲面に関して，実代数幾何の見地から特異性の分類を実行し，ジェネリックな標準形を完成させた．ルジャンドル双対性と制御理論の見地から，枠付き曲線や曲面の接線ヴァライティーの特異性を分類し，写像のオープニング構成の概念を発展させ，一般の部分多様体の接線ヴァライティーの特異性の分類問題に応用した．また，G2サブリーマン幾何を非線形制御理論と実代数群の表現論の側面などから研究し，関連する特異性を分類した．さらにD4幾何の三対性とD型特異点論を進展させた．以上について論文を執筆し，国際的学術雑誌に発表済みまたは現在投稿中である．
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2010年 -2012年 
    代表者 : 山下 博, 齋藤 睦, 澁川 陽一, 阿部 紀行, 西山 享
     
    本研究では,リー群の特異既約ユニタリ表現の実現について,幾何学的アプローチによる研究を行った.第一に,簡約リー群の特異ユニタリ最高ウェイト表現について,基本的表現のテンソル積を(表現に対する)幾何学的不変量を用いて分解することによって,テータ双対性対応の拡張を与えるDvorsky-Sahi理論のフォック模型版を築いた.第二に,実階数4の例外型単純リー群の四元数型構造から生じる既約概均質ベクトル空間上の特異軌道をルート系の情報を用いて記述した上で,Gross-Wallachによって発見された四元数型特異ユニタリ表現が,冪零K-軌道の幾何学的量子化によって実現されることを明らかにした.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2009年 -2011年 
    代表者 : 齋藤 睦, 秦泉寺 雅夫, 奥山 豪
     
    Aから定まる半群環の微分作用素環の理論を応用することにより、A-超幾何系がD-加群として既約であることと、パラメーターベクトルがノンレゾナントであることとが同値であることを示した。その過程において、A-超幾何系を固定した時、その剰余既約加群として現れる既約加群を全て求め、それが重複度1で現れることを示した。 A-超幾何系の既約な剰余加群の第1シジジー加群の有限生成系を計算する方法を示した。特に、Aから生成される半群が単体的かつスコアードのとき、具体的な有限生成系を与えた。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2008年 -2011年 
    代表者 : 島田 伊知朗, 木村 俊一, 石井 亮, 高橋 宣能, 高橋 浩樹, 隅広 秀康, 平之内 俊郎, 松本 眞, 伊藤 浩行, 齋藤 睦, 岡 睦雄, 金銅 誠之, 松本 圭司, 寺尾 宏明, 石川 剛郎, 伊藤 浩行, 松本 眞
     
    格子に関する種々の計算機プログラムを書き, K3曲面および関連する代数多様体の代数的サイクルのなす格子に適用することで,多くの幾何学的帰結を得た.特に,単純特異点のみを持つ6次平面曲線のザリスキペアに関して, Z-分裂曲線という概念を用いて系譜関係まで込めて完全に分類した.また,複素代数曲面上の曲線のなす格子が位相的サイクルのなす格子の中で原始的であるか否かを判定するアルゴリズムを提出した.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2006年 -2009年 
    代表者 : 山下 博, 吉田 知行, 山口 佳三, 齋藤 睦, 澁川 陽一, 立澤 一哉, 河添 健, 松本 久義, 谷口 健二, 和地 輝仁, 西山 享, 松木 敏彦, 関口 次郎, 伊師 英之, 示野 信一, 森田 英章, 平井 武
     
    表現や群軌道に関する様々な双対性に焦点を当て,半単純リー群の表現論と等質空間上の解析学の新たな展開を目指した.その結果,ユニタリ最高ウェイト加群に対する等方表現と一般Whittaker模型が表現のテータ対応に関するHowe双対性を制御していることが明らかになった.また,離散系列,退化主系列表現に対する幾何学的不変量の記述,旗多様体上の松木双対性の複素解析的延長,一般Verma加群の間の準同型の分類等々について多様な研究を実施し,数多くの重要な成果を得た.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2006年 -2009年 
    代表者 : 日比 孝之, 齋藤 睦, 竹村 彰通, 横山 和弘, 大杉 英史, 大阿久 俊則, 松井 泰子, 齋藤 恭司, 高山 信毅, 青木 敏
     
    本基盤研究では、計算可換代数、計算代数解析、計算代数統計、代数的アルゴリズムなど、グレブナー基底を巡る複数の研究分野に属する研究者から構成される研究プロジェクトを組織し、永続性と国際性を考慮し、グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性の具象的探究を強力に推進し、グレブナー基底の現代的理論を進化させることに成功した。本研究はJST CREST研究「現代の産業社会とグレブナー基底の調和」に継承されている。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2006年 -2008年 
    代表者 : 齋藤 睦, 山下 博, 柳川 浩二, 島田 伊知朗, 沼田 泰英, 柳川 浩二, 島田 伊知朗, 沼田 泰英
     
    アフィントーリック多様体上の(アフィン半群環の)微分作用素環D の構造及びその(微分作用素の)階数による次数環 Gr(D) の構造の研究に関しての構造の研究に関して大きな進展があった。まず, いつもDは右ネターであることを示した。次に左ネター性についてであるが, 左ネターであるための或る十分条件、或る必要条件を与え, さらに、必要十分条件を予想した。また、クリティカル D-加群の特徴付けを行い, 単項生成の場合の分類を行った。さらに、Gr(D) がネター環のとき、 Gr(D) の素イデアルを記述した。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2006年 -2007年 
    代表者 : 島田 伊知朗, 岡 睦雄, 石川 剛郎, 今野 一宏, 齋藤 睦, 徳永 浩雄
     
    (1)Duc Tai Pho氏との共同研究により,標数5における Artin 不変量が3の超特異K3曲面は単有理であることを証明した.これは,「すべての超特異K3曲面は単有理であろう」という Artin-Shioda 予想に対する新しい肯定的証拠である. (2)複素数体上の代数的K3曲面上にあらわれる正規特異点の組み合わせをすべて分類した.この結果から,十分大きな標数における超特異K3曲面上にあらわれる正規特異点の組み合わせについてもいくつかのことが言える. (3)数体F上定義された代数多様体Xを考える.基礎体Fを複素数体に埋め込むことによりXから複素多様体が得られるが,その超越格子は一般にFの複素数体への埋め込みに依存する.これらの超越格子について考察し,複素数体の自己同型のもとで共役であるが位相同型とはならない代数多様体の例を多数構成した.特にXが特異K3曲面の場合に,これらの超越格子の集合を,虚2次体の類体論を用いて詳しく調べ,応用として,複素特異K3曲面の定義体の有理数体上の次数に下からの限界を与えた. (4)数体F上定義された特異K3曲面Xを有限素点Pで還元して超特異K3曲面X(P)が得られるとすると,X(P)のネロン・セヴェリ格子の中でのXのネロン・セヴェリ格子の直交補格子を考えることができる.有限素点Pを動かしたときのこの格子を調べ,超越格子の場合と類似の定理を得た. (5)グラスマン多様体内の双対多様体の補集合の位相的基本群に対して,Lefschetz型の超平面切断定理を証明し,さらにこの基本群を点付きリーマン面のブレイド群の剰余群として記述する方法を得た.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2006年 -2006年 
    代表者 : 日比 孝之, 齋藤 睦, 竹村 彰通, 横山 和弘, 大杉 英史, 大阿久 俊則
     
    研究代表者らは、従来から、組合せ論と計算可換代数に関する国際研究集会を継続的に開催し、当該分野の国際的な研究活動を円滑に推進させる重要な役割を担ってきた。研究代表者らは、類似の趣旨の国際研究集会「計算可換代数と計算代数幾何」を2008年6月、札幌に於いて開催する準備を進めている。目下の所、当該国際研究集会の根幹となる研究領域は、D加群とアルゴリズム、ジェネリックイニシャルイデアルの理論と実践、シテジーとヒルベルト函数、応用数学・情報数学における計算代数幾何的な展開、グレブナー基底の効率的計算、とするのが有力である。当該企画調査では、それらの研究領域の妥当性を慎重に審議した。具体的には、研究代表者と研究分担者が5回の連絡会議を開催し、会議を担当する分担者が研究領域の調査結果を報告し、海外招待講演者の候補者などを議論した。以下、連絡会議の開催時期、開催場所、審議する研究領域、会議を担当した分担者氏名を記載する。 ●第1回(2006年6月、京都)「D加群とアルゴリズム」 齋藤睦 大阿久俊則 高山信毅 ●第2回(2006年7月、東京)「ジェネリックイニシャルイデアル」 横山和弘 大杉英史 大阿久俊則 ●第3回(2006年9月、札幌)「シチジーとヒルベルト函数」 齋藤睦 大杉英史 高山信毅 (Juergen Herzog) ●第4回(2006年11月、京都)「情報数学における計算代数的な展開」 竹村彰通 阪田省二郎 松井泰子 青木敏 ●第5回(2006年1月、京都)「グレブナー基底の効率的計算」 横山和弘 松井泰子 高山信毅
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2003年 -2006年 
    代表者 : 高山 信毅, 野呂 正行, 福山 克司, 増田 哲, 大阿久 俊則, 斎藤 睦, 松本 圭司
     
    この研究により得られた結果は以下の通り。 1.A-超幾何微分差分方程式(不確定特異点も含む)のvol(A)個の収束解を構成した. 2.局所グレブナ扇はpolyhedral fanであることを証明した.またその応用として局所BS多項式の計算,局所tropical多様体の計算,超幾何方程式のslopeとの関係の考察をおこなった. 3.icms 2006(国際数学ソフト会議)の主催者として活動し,proceedings, DVDの編集や講演のビデオアーカイブの作成を通じて超幾何関数関連ソフトの総括をおこなった. 4.Toric varietyの上の微分作用素上の加群とA-超幾何方程式系の関係を明らかにした. 5.(超幾何関数の逆関数である)種々の領域に付随するテータ関数について,その関係式等を明らかにした. 6.局所的なD加群についてのアルゴリズム,とくにtangent coneアルゴリズムの基礎を与え,超幾何方程式系への応用を論じた. 7.数学公式集の基礎となるquote型データをRisa/Asirに導入した. 8.パンルベ系の新しい超幾何解を与えた.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2005年 -2005年 
    代表者 : 日比 孝之, 齋藤 睦, 竹村 彰通, 大阿久 俊則, 横山 和弘, 大杉 英史
     
    研究代表者と研究分担者が研究連絡会議を開催し、グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性に関する共同研究の企画調査を実施する旨の研究計画に従い、5月(東京大学)、8月(立教大学)、9月(東京大学)、11月(大阪大学)と研究連絡会議を開催し、それぞれ、竹村彰通が計算代数統計の、大阿久俊則が計算代数解析の、大杉英史が計算可換代数と計算代数幾何の、横山和弘と松井泰子がグレブナー基底の計算の効率化の研究領域に関する調査結果を報告した。なお、8月の研究連絡会議は、日本学術振興会の国際研究集会(立教大学、2005年8月22日〜26日)Theoretical Effectivity and Practical Effectivity of Grobner Basesに付随して開催し、拡大研究連絡会議と称し、Juergen Herzog(ドイツ)、Henry P.Wynn(イギリス)、Uli Walther(米国)を招聘した。海外招聘者は、グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性に関し、それぞれの専門領域における欧米諸国の研究の現状を報告し、組織的な国際共同研究に発展させる際の具体的な指針についての貴重な意見を述べた。 企画調査の結果、今後、我が国において、少なくとも5年以上の長期に亘って継続されるグレブナー基底の理論と実践に関する共同研究を推進するための総括的な方針を擁立することができ、永続的な国際共同研究に発展することを視野に入れ、実際の研究活動を展開する準備が整った。企画調査の結果を踏まえ、その実際の研究活動とし、京都大学数理解析研究所、平成18年度、プロジェクト研究「グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性」が始まる。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2003年 -2005年 
    代表者 : 日比 孝之, 齋藤 睦, 大杉 英史, 松井 泰子, 高山 幸秀, 寺井 直樹
     
    純粋数学と応用数学の両者に深く拘わる0次元ラティスイデアルの普遍グレブナー基底について、その代数的基礎理論を構築し、可換代数と代数幾何への理論的有効性とともに、整数計画、符号理論、統計数学などへの実践的有効性を多角的に探究することが当該基盤研究の申請書類作成段階における目的であった。当該基盤研究の研究成果を列挙する。第1に、有限グラフに付随するトーリックイデアルから得られる0次元ラティスイデアルの普遍グレブナー基底の具象的研究を展開し、その構造を有限グラフの言葉で記述することに成功した。第2に、有限グラフの整数計画問題にいわゆるGomoryのrelaxationと呼ばれる整数計画の技巧を使うことが可能なとき、最適解を探すための計算量を有限グラフの組合せ論を使って決定する研究を推進した。第3に、0次元ラティスイデアルのcorner polyhedronを有界な凸多面体と凸錐のMinkowski和として表示する研究を推進し、その多面体的諸性質についての顕著な結果が得られた。第4に、統計数学における分割表のマルコフ基底に関する代数的研究を展開し、完全多重グラフのトーリックイデアルに付随する統計モデルを提唱し、その統計学的な解析を遂行した。以上の研究成果は、整数計画問題の代数的な分析の展開に十分な貢献をする。他方、当該基盤研究においては、海外から著名な研究者を招聘し、2件の国際会議を開催した。それらは(1)可換代数と代数幾何(於、大阪大学)平成16年3月、(2)グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性(於、立教大学)平成17年8月、である。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2002年 -2005年 
    代表者 : 山下 博, 吉田 知行, 齋藤 睦, 西山 享, 落合 啓之, 関口 次郎
     
    本課題研究では,実半単純リー群の既約許容表現に対応するハリシュ-チャンドラ加群について,そのべき零不変量や一般ホイッタッカー模型との間の相互関係を深いレベルで明瞭に解き明かすために,随伴サイクルの重複度を定める等方表現に焦点を絞って,ハリシュ-チャンドラ加群に対するべき零軌道理論を追求することを研究の主目的とした. (1)エルミート型実単純リー代数の特異ユニタリ最高ウェイト加群に対する等方表現を,PRV-成分への射影を用いて全て決定し,その既約性を証明した.また,等方表現を用いて,一方がコンパクトな簡約デュアルペアに関するHowe双対性定理の別証明を与えた.例外型EVIIの場合に,スカラー型でない(特異)ユニタリ最高ウェイト加群に対する等方表現が,Dvorski-Sahiが提唱しているHowe双対性の拡張を与えることを示し,当該等方表現と階数1のコンパクト対称空間上の調和解析を結びつけた. (2)既約な随伴多様体をもつハリシュ-チャンドラに対して,ある種の自然な仮定のもとで,等方表現をリーマン対称空間上の勾配型不変微分作用素の主表象を用いて書き下す一般的手法を確立した.これにより,離散系列に対する等方表現と旗多様体上の対称部分群による閉軌道の余法束上定義されたモーメント写像の一般ファイバーの間に,明示的な関係式を与えることができた. (3)上記モーメント写像の一般ファイバーを同定するために,対称対に付随したRichardson軌道の研究を行った.対称対に付随した放物型部分群は,その冪零根基の対称部分のRichardson元の集合に,推移的に働くかどうかは未解決であった.この推移性が成立するための良い十分条件を与えると同時に,A型の場合に反例を初めて構成することで,モーメント写像の一般ファイバーの構造について重要な新知見を得た.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2002年 -2004年 
    代表者 : 山下 博, 山口 佳三, 齋藤 睦, 澁川 陽一, 和地 輝仁
     
    本課題研究は,無限次元半単純リー代数(群)や量子群に対して,有限次元群の場合の既約許容表現,すなわちハリシュ-チャンドラ加群に相当する新しい表現の族を構成・分類するために,「代数的量子化」の理論が無限次元の場合にいかに展開できるか,その可能性を探ること主目標としている.今年度は,昨年度に行った試行的研究を推し進め,代数的ディラク作用素及びディラクコホモロジーを用いて,共役類の量子化と許容表現の構成を検討した.また,リー代数の作用に関する不変式論,トーリック多様体上の微分作用素環,量子群の研究を併せて行った.その研究経過と得られた知見について,以下に報告する. 研究代表者山下は,A型のリー代数に対して,簡約あるいはべき零な部分リー代数から定まるディラク作用素の構成とコホモロジー空間の構造を検討した.その過程で,表現論国際会議(平成16年8月開催,於新疆大学)に参加し,有限次元の場合の専門家であるJing-Song Huang(香港科技大)およびPavle Pandzic(Zagreb大)と研究打合せを重点的に行った.無限次元リー代数に理論が拡張できる部分と障害となる部分が明らかになり,今後研究を発展させるために重要な手がかりが得られたと考えている.また,ディラク作用素と基盤研究(B)(課題番号14340001)で実施中の離散系列に対する等方表現との間の関係を調べた.研究分担者和地は,対称対に関する不変微分作用素を定める普遍包絡代数の元の研究を行い,デュアルペアと関わる明示的公式を得た. 無限次元リー代数の表現の研究に資するため,研究分担者齋藤は,アフィン半群環上の微分作用素環やA-超幾何系において基本的な加群の圏Oを扱い,各々の圏Oにおいてヴァーマ的対象や単純対象と,それらの間の基本的な関手について考察した.研究分担者澁川は,力学的ヤン・バクスター方程式の集合論的解を構成した.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2003年 -2003年 
    代表者 : 日比 孝之, 松井 泰子, 大杉 英史, 齊藤 睦, 寺井 直樹, 高山 幸秀
     
    当該企画調査では,Oberwoltach型の中規模準備会議を開催し,当該分野の研究の動向を詳細に分析し,研究目的に列挙した研究領域(トーリックイデアルとグレブナー基底,整数計画とGomory relaxation,0次元ラティスイデアルの普遍グレブナー基底,単項式イデアルの極小自由分解,幾何学的なBuchbergerアルゴリズムの高速化)の妥当性を慎重に審議した。その準備会議の概要を列挙する。[1]可換代数におけるアルゴリズム的手法(責任者:寺井直樹/於:大阪大学/平成15年7月)斉次代数の極小自由分解とベッチ数列,トーリック環の正則度と重複度などを題材とし,可換代数におけるアルゴリズム的手法を議論した。[2]有限グラフと0次元ラティスイデアル(責任者:大杉英史/於:立教大学/平成15年11月)有限グラフの隣接行列から生起する0次元ラティスイデアルを可換代数と組合せ論の両面から具象的に探求し,未解決問題を集約した。[3]グレブナー基底と応用数学(責任者:大杉英史/於:立教大学/平成16年1月)整数計画における代数的手法の有効性,Gomory relaxationと算術次数,符号理論と統計数学におけるトーリックイデアルとグレブナー基底の有効性について研究した。[4]可換代数と代数幾何(責任者:日比隆之/於:大阪大学/平成16年3月)いわゆるaffine algebraic geometryとその周辺領域,多項式環の組合せ論についての国際会議である。海外からの参加者はJurgen Herzogら7名であった。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2001年 -2003年 
    代表者 : 松本 圭司, 島田 伊知朗, 斉藤 睦, 前田 芳孝
     
    研究代表者松本圭司(北大理)は代数曲線のPrym多様体を用いて、いくつかの代数多様体の周期写像の構成やその単写像から得られる保型形式を構成した。 実際、Allcock,Carlson,Toledoによって構成された非特異3次曲面族に対する周期写像に対しては,1の3乗根ωが作用する種数10の代数曲線のPrym多様体を用いて記述し、周期写像の逆写像をPrym多様体に関するtheta constantsを用いて構成した。そしてそれらのtheta関数がみたす代数関係式を決定した。 また、複素射影直線の8点で分岐する4重被覆として得られる種数9の代数曲線族に対し、5次元複素超球への周期写像をこの代数曲線のPrym多様体を用いて構成した。このPrym多様体に関するtheta constantsを用いて5次元複素超球上の保型形式を構成した。そしてそれらのtheta constantsがみたす代数関係式を決定した。 研究分担者斎藤睦(北大理)はアフィントーリック多様体上の微分作用素環D(R_A)とA-超幾何系のシンメトリー代数が反同型であることを示し、非斉次のときも含めてA-超幾何系の同型類を組合せ的に分類した。また、次数環gr(D(R_A))が有限生成になるための条件を考察した。さらに、アフィントーリック多様体上の関数環R_AのD(R_A)-加群としての組成因子を与えた。 研究分担者島田伊知朗(北大理)は代数的ファイバー空間において、特異ファイバーの特異生が弱いときに底空間の2次のホモトピーから一般ファイバーの基本群への境界準同型が構成できることをしめした。そして一般化されたリザルタント超曲面の補集合の基本群が可換であることも示した。また、超特異K3曲面はつねに射影平面の2重被覆となることを示した。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2002年 -2002年 
    代表者 : 日比 孝之, 枡田 幹也, 松井 泰子, 齋藤 睦, 大杉 英史, 寺井 直樹
     
    現在研究代表者らは国際研究集会「凸多面体を巡る組合せ数学の代数的諸相」を平成16年7月に札幌で開催する準備を進めているが,根幹となる研究領域を(1)グレブナー基底と組合せ数学(2)凸多面体の三角形分割と整数計画(3)外積代数とalgebraic shifting(4)単項式イデアルの極小自由分解(5)斉次整域の正則度と重複度,とする原案が有力である.当該企画調査では,当該分野の昨今の研究動向などに関する周到な調査を遂行し,上記項目を研究集会の研究領域の根幹とすることの妥当性を吟味するため,Oberwolfach型の中規模国内準備会議を2回開催した.すなわち,「グレブナー基底の理論的有効性と実践的有効性」(責任者:大杉英史/於:京都大学/平成14年7月)と「ジェネリックイニシャルイデアルの研究」(責任者:寺井直樹/於:大阪大学/平成14年12月)である.前者においては凸多面体の三角形分割と整数計画問題,符号理論と暗号理論などにおけるグレブナー基底の果たす役割について多角的に研究した.後者においては多項式環と外積代数のジェネリックイニシャルイデアルの相互関係を可換代数と組合せ論の両面から具象的に探究した.その他,平成14年6月にイタリアで開催された研究集会「可換代数の昨今の潮流」に研究代表者と研究分担者の一部が参加し,当該分野の研究の進展状況を把握した.当該企画調査の結論として,上記の根幹となる研究領域はすべて妥当であると判断され,個々の研究領域において当該国際研究集会に相応しい話題を選別する作業を推進した.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2000年 -2001年 
    代表者 : 齋藤 睦, 澁川 陽一, 松本 圭司, 山下 博, 和地 輝仁, 山田 裕史, 三宅 敏恒
     
    コンピュータによる多数の例の計算や、国内外における研究者との交流などにより、以下のような成果を得た。 齋藤睦は、A-超幾何系について研究した。まず、A-超幾何系の分類定理を非斉次のときや、解析的カテゴリーにおいても証明した.また。斉次のときにlog係数を持たないA-超幾何級数からなる空間の次元公式を与え、さらにAの凸包が単体のとき、A-超幾何系のランクの公式を与えた。このとき、さらに全てのパラメータに対してランクが凸包の体積と等しくなるという条件が、Aから決まるトーリック多様体がコーエン-マッコウレイであるという条件と同値であることを示した。 山下博は、Harish-Chandra加群に付随する等方表現に関する一般理論を整備・展開した。特に、等方表現が既約となるのはいつかについて、有用な新知見を得た。さらに、離散系列に属するHarish-Chandra加群について、等方表現の零でない商表現を統一的に構成した。 松本圭司は、n次元複素射影空間上の積分表示をもつ合流型超幾何関数で最も合流が進んだ一般化されたAiry関数に関する捩れコホモロジー群間にあるペアリングを明らかにした。捩れコホモロジー群の基底をヤング図形を用いて定め、その基底に関してできるペアリングをskew-Schur多項式で表示できることを示した。 澁川陽一は、ヤン・バクスター方程式を満たす関数空間上の線型作用素であるR作用素の分類問題を解決した。 山田裕史は、まずいくつかのアフィンリー環の基本表現に関して、そのウエイトベクトルを具体的に求める、という研究を行った。特に一番簡単なアフィンリー環であるA^<(1)>_1に関しては2つの実現を考えウエイトベクトルがそれぞれシューア函数のモジュラー版、シューアのQ-函数で書けることを発見した。 和地輝仁は、一般バーマ加群の構造、特に規約性について、不変式との関連に注目して研究を行った。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 2000年 -2001年 
    代表者 : 山下 博, 西山 享, 澁川 陽一, 齋藤 睦, 和地 輝仁, 太田 琢也, 山田 裕史
     
    実簡約リー群の無限次元既約表現に付随したハリシュ・チャンドラ加群は,リー代数のべき零共役類からなる随伴多様体を基本不変量にもつ.さらに,随伴多様体の各既約成分の当該加群における重複度は,対応するべき零軌道上の一点の固定部分群の等方(固定)表現の次元として捉えることができる.研究代表者の一連の研究により,多くの場合に,双対ハリシュ・チャンドラ加群を実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて等方表現を記述できることが,原理的には分かっている.本研究では,四元数型無限次元表現,離散系列や最高ウェイト加群など,既約な随伴多様体をもつハリシュ・チャンドラ加群に対する等方表現の研究を開始し,以下に述べる成果を挙げた. 1.随伴サイクルに対するヴォーガン理論を出発点に,等方表現の構造の一般論を展開した.等方表現の既約性に対する判定条件を与え,勾配型微分作用素により等方表現が特定できるのは如何なる場合かを調べた。 2.四元数型を含む一般の離散系列表現について,等方表現の零でない商表現を構成した.この商表現は等方表現のなかで十分大きいと考えられるが,各離散系列加群に対応して定まるテータ安定な放物型部分群が対称対に付随したリチャードゾン型のべき零軌道を持つ場合に、これを支持する定性的な定理を得た. 3.エルミート型リー代数BI, DI, EVIIの特異ユニタリ最高ウェイト加群に対する等方表現を,具体的に特定した.最終的に,任意のエルミート型単純リー代数の特異ユニタリ最高ウェイト加群に付随する等方表現が既約になることを見出した. 4.各研究分担者は本研究に常時参画した.齋藤は,ユニタリ最高ウェイト加群と密接に関わるA-超幾何系の研究を進め,A-超幾何系が斉次の場合にランクの公式を得た.和地は一般バーマ加群上にキャペリ恒等式の類似物を構成した.西山と太田は,それぞれ独自の視点から,対称対に付随するべき零軌道のモーメント写像による対応(双対対に関するテータ・リフト)を与えた.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1999年 -2000年 
    代表者 : 山田 裕史, 田口 雄一郎, 斎藤 睦, 山下 博, 中島 達洋, 渋川 陽一
     
    山田は,まずいくつかのアフィンリー環の基本表現に関して,そのウエイトベクトルを具体的に求める,という研究を行った.特に一番簡単なアフィンリー環であるA^<(1)>_1に関しては2つの実現を考えウエイトベクトルがそれぞれシューア函数のモジュラー版,シューアのQ-函数で書けることを発見した.これら2つの実現を詳しく解析することにより,対称群のスピン分解行列の単因子について興味深い事実を見い出した.すなわち対称群の標数2の場合のスピン分解行列の単因子がすべて2の冪になっている,ということである.対称群のモジュラー表現の一般論を用いても証明できるが,その後,アフィンリー環論を用いた簡明な証明を発見した.単因子が2の冪ということだけではなく,その指数の出方についても詳しく知ることができるのではないか,と模索している. ジャック多項式の特殊化である帯多項式の研究過程において,対称群の指標表にちょっと不思議な現象があることを発見した.実はこの現象は50年前にリトルウッドによって証明されていることを知るのだが,彼の元々の証明は煩雑を極める.そこで大学院生の水川裕司とともにその簡明な証明を与えた.同様の現象が対称群のスピン指標表においても見つかっており,その証明も与えられた.通常の指標ではシューア函数の表示が本質的に用いられるがスピンの場合はQ-函数のパフィアン表示が必要となる. 池田岳との共同研究でアフィンリー環A^<(1)>_1の基本表現の斉次実現を詳しく考察して非線型シュレディンガー方程式系の斉重多項式解のすべてを求めることができた.長方形のヤング図形に付随するシューア函数が本質的に登場する.現在論文を準備中であり,また一般のアフィンリー環への拡張を模索中である.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1998年 -1999年 
    代表者 : 齋藤 睦, 渋川 陽一, 山下 博, 山田 裕史
     
    コンピュータによる多数の例の計算や、国内外における研究者との交流などにより、以下のような成果を得た。 齋藤睦は、A-超幾何系について研究した。まず、B.Sturmfels氏、高山信毅氏と共同で、A-超幾何系と整数計画法との関連について研究した。さらに、両氏と共同で、D-加群のグレブナー変形について研究し、それをA-超幾何系の研究に応用した。正則ホロノミック系のランク(解空間の次元)がグレブナー変形で不変であることを示し、A-超幾何系のランクがAの成す凸包の体積に等しくなるための具体的な十分条件を与えた。また、A-超幾何系のパラメータを対応するA-超幾何系のD-加群としての同型類で分類するという問題に対して組合せ論的解答を得た。 山田裕史は、Q-函数とアフィンリー環との関係について研究した。Q-函数を冪和対称函数たちの多項式として表示したものはあるアフィンリー環の基本表現を多項式環上に実現したときのウエイトベクトルになることを見出し、そのQ-函数のウエイトをYoung図形を用いて明示した。また、SchurのS-函数とQ-函数との一見奇妙な関係を発見した。 山下博は、Harish-Chandra加群に関して研究した。まず、Borel-de Siebenthal離散系列の主系列表現への埋め込みを特定した。また、離散系列、ユニタリ最高ウェイト表現について、その随伴サイクルが、双対Harish-Chandra加群を核空間として実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて記述できることを明らかにした。 渋川陽一は、河澄響矢氏と共同でRuijsenaars-Schneiderのdynamicalな可積分系のLax表示に関連するBruschi-Calogeroの微分方程式の全ての有理型関数解を求めた。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1998年 -1999年 
    代表者 : 池田 裕司, 斉藤 睦, 高山 信毅, 高野 恭一
     
    本研究では正則ホロバックな線形微分方程式系の解の無限遠点での漸近行動をGrobner fasisを用いて解析する手法を与えた。第1近似を決める方程式をinitial systemと呼ぶ。GKZ hypergeometric systemの場合にはinitial systemは本質的にモノミアルイデアルであり,その組合せ論を用いて解析できる。 現在この研究はさまざまな方向に発展しつつある。 (1)Bayer-Stunmfelsによればモノミアルイデアルはstairの上のグラフ理論を用いた解析ができる。これのGKZ hypergeometric systemへの応用は興味深いところである. (2)漸近行動をきめる方法が確立されたので,有理解,大域解をきめる基礎ができた。超幾何系はPaileve系の特殊解として現われる.超幾何系の有理解,同型問題,大域解の研究はPaileve系のそれらと深く関っている. (3)不確定特異点のまわりでの漸近行動をきめる問題は重要であるが超幾何系に対してすら未解決なのが現状である.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1997年 -1999年 
    代表者 : 山下 博, 澁川 陽一, 齋藤 睦, 山田 裕史, 西山 享, 平井 武
     
    「実半単純リー群Gの無限次元既約表現の誘導加群への埋込み(模型)が,リーマン対称空間X=K＼G上の勾配型不変微分作用素族が定める微分方程式系の誘導加群の関数空間における解により特徴づけられる」という核型定理をもとに,各既約表現(Harish-Chandra加群)について,種々の模型を記述することを目標にした研究を実施し,次の成果を得た. 1.エルミート型単純群Gの最高ウェイトをもつ既約Harish-Chandra加群Lから,K＼Gの正則接空間に含まれるリー代数のべき零軌道たちO_m(m=0,1,…,r)に付随した「一般化Gelfand-Graev誘導表現」Γ_mへの埋込み:一般化Whitta ker模型,を決定した.表現Lの随伴多様体はあるべき零K_軌道O_(K_Cは極大コンパクト群Kの複素化)の閉包と一致する.表現LのΓ_への埋込みが勾配型微分作用素の主表現を用いてテ特定される.古典群の場合には,簡約相対対のoscillator表現を用いて,より具体的な結果を得た. 2.四元数型単純リー群のBorel-de Siebenthal離散系列表現について,Schmid-勾配型微分方程式を主系列の表現空間において解くことにより,0次n-ホモロジー空間を特定した. 3.既約な髄伴多様体をもつHarish-Chandra加群について,ある種の代数的な仮定のもとに,その随伴サイクルに現れる「重複度」を,双対Harish-Chandra加群を実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて記述する一般理論を構築した. 4.各研究分担者は,表現論と微分方程式(齋藤・佐藤),表現と相互律(平井・西山・山田),保型形式と整数論(田口・三宅・前田)量子群や無限次元リー代数の表現(須藤・内藤・澁川・吉田)の研究を各自押し進めると同時に,これらの研究が深く関わる上記の研究過程で,セミナーや討論をとおして本研究に常時参加した.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1997年 -1998年 
    代表者 : 山田 裕史, 中島 達洋, 寺尾 宏明, 渋川 陽一, 斉藤 睦, 山下 博
     
    Q-函数とアフィンリー環との関係について研究を進めた.まずQ-函数を幕和対称函数たちの多項式として表示したものはあるアフィンリー環の基本表現を多項式環上に実現したときのウェイトベクトルになることを見出した.一般にQ-函数はヤング図形で添字づけられるが,与えられたQ-函数がどのウェイト空間に属するかを,ヤング図形の組合せ論を用いて明らかにした.またこの処方箋を別の最も簡単なアフィンリー環に適用することにより,シューアのS-函数とQ-函数との間の一見奇妙な関係を発見した.対称群のスピンモジュラー表現の観点から眺めることにより,スピン分解行列を通してその意味が明らかになった.この事実が発端となってスピン分解行列そのものを研究対象とみなし始めた.標数2の場合のスピン分解行列は正方行列になるがその行列式が2のべキになっていることを証明した.もう一つの研究成果としては複素鏡映群G(r,p,n)の「高次シュペヒト多項式」の構成がある.群G(r,p,n)は自然にn変数の多項式環に作用するがその基本不変式で生成されるイデアルによる剰余環は『余不変式環』とよばれる.余不変式環におけるG(r,p.n)の表現は正則表現に同値であるが各既約成分の基底を多項式として具体的に書いたものが高次シュぺヒト多項式である.対称群S_n=G(1,1,n)の場合から始めて徐々に一般化を進めてきたがようやく広いクラスの群G(r,p,n)まで到達できた.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1996年 -1996年 
    代表者 : 齋藤 睦
     
    青本-Gelfand超幾何微分方程式系の表現論的一般化を谷崎俊之氏は、コンパクトエルミート対称空間上のあるねじれ微分作用素環D_λのある加群として提案した。 A型とC型でねじれ具合が極小軌道に対応する場合には、いわゆるA-超幾何微分方程式系になり、これらに関しては、特性サイクル、回の級数表示、積分表示などが既にGelfandをはじめとする人々によって得られている。しかし、他の場合については非常に少しのことしか知られていない。特に、非自明な解が存在するかどうかさえ知られていない。今回私は、B型とD型の一つについてねじり具合が極小軌道に対応した場合である特別な状況のとき、非自明な級数解を構成し、谷崎氏提案の微分方程式系がA型とD型以外にも非自明なものが存在することを示した。 また、北海道大学の大学院生の和地輝仁氏と共同で、A型とC型の場合に、カペリの恒等式の類似と言える恒等式を発見、証明した。これを用いてこの場合に一般Verma加群のJantzenよる既約判定法と菅修一氏によるb-関数の零点による判定法を直接結び付けた。(これは、Wallachの結果の別証である。)また現在、この恒等式を使って、谷崎氏提案の微分方程式系の研究に応用できないかどうか考察中である。 さらに今年度では、A-超幾何微分方程式系の理論と整数計画法の関連について考察した。この問題に関しては、カリフォルニア州立大学バ-クレイ校のB.Sturmfels氏、神戸大学の高山信毅氏との共著論文を投稿中である。この共著論文では、A-超幾何微分方程式系のb-函数の理論を応用して、実行可能解の母函数を求めるためのアルゴリズムを得、また、A-超幾何微分方程式系の決定多項式を計算して、最適解の満たすべき性質を求めた。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1996年 -1996年 
    代表者 : 山下 博, 平井 武, 本多 尚文, 山田 裕史, 齊藤 睦
     
    1.実半単純リー群Gの表現,より正確には、表現を微分して得られる展開環U(g)上のHarish-Chandra加群Hの随伴多様体ν(H)は、Riemann対称対(G,K)を複素化して得られる対(G_C, K_C)の接空間pにおけるべき零K_軌道からなる。研究代表者は、「各K_軌道O⊂ν(H)からケーリ-型変換と偏極化をとおしてH上に局所自由に作用するべき零部分環(群)n_oの存在」を示した昨年度からの研究を押しすすめ、Hが規約最高ウェイト表現の場合に、対応するべき零部分環n_oの具体的記述を与えた。この一連の研究結果をとりまとめた論文を日本数学会および数理解析研究所共同研究集会で口頭発表し、学会雑誌へ投稿した(京大行者明彦氏との共著)。 2.半単純リー群Gの極小べき零共役類に付随した極小ユニタリ表現H_mは、既約ユニタリ表現の分類問題とも深く関わる重要な表現である。(1)の成果をふまえて、G=SU(n,n)の極小表現Hmの一般化されたホイッタッカー模型を、HmをG/K上で実現するG_-不変な2階偏微分方程式系を用いて決定した(論文準備中)。さらに、極小表現のフォック模型を使って、U(n_o)-加群としてのHmの構造を明らかにした。この結果を任意の最高ウェイト加群に拡張することを目標とした研究を現在実施中である。 3.各研究分担者は、ホロノミックな不確定特異点型微分方程式系(本多)、多変数超幾何方程式(齊藤)、あるいは各種の群の表現に対するシューア・ワイルの相互律の研究(平井・山田)を各自押しすすめると同時に、これらののテーマが深く関わる上記2の研究実施の過程で、個人的な討論やセミナーをとおして本研究に常時参加した。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1996年 -1996年 
    代表者 : 吉田 知行, 坂内 英一, 辻下 徹, 山田 裕史, 中村 郁, 斉藤 睦
     
    本研究の目的は群論における古典的問題であった。この研究課題について、研究代表者と分担者は以下のような研究成果を得た。研究成果は順次整理公表の予定である。 1:有限群のcrossed Burnside環についての成果として、(a)群環のQuantum doubleとの関係の発見、(b)基本定理(群環の直積への埋め込み)の証明、(c)ベキ等元公式とその群論の古典的問題への応用。これらは、プレプリント(Crossed G-sets and crossed Burnside rings)としてまとめられている。また内外の研究集会(7月シアトル、8月山形、8月草津など)でも発表した。 2:位相的量子場の理論との関係については、Dijkgraaf-Witten不変量が、ある程度整数に近いことを、いくつかの場合に確かめた。例えば多様体が3次元トーラスの場合、確かに整数である。またゲージ群が巡回群の場合にもやや弱い結果があるが、当初の予想が成り立たず、若干の訂正が必要であった。これらについては、山形での代数学シンポジウムの報告集にある。 3:Schur関数に関する多くの結果が得られた。特にreduced Schur関数とaffine Lie algebraとの深い関連を発見した。これらは、ミネアポリスでの組合せ論の研究集会で発表した。 4:その他分担者は、環論、実代数幾何、モノイダルカテゴリー論(2月熊本で発表)、力学系の直観主義論理の関係(7月札幌で発表)といった分野でも多くの成果を得ている。 5:設備備品費で購入したワークステーションとノートパソコンは、数式処理システム(Mathematica,GAP)を動かすのに使用した。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1994年 -1994年 
    代表者 : 齋藤 睦
     
    超幾何微分方程式系の一般化の一つであるα-超幾何微分方程式系は、非常に対称性の豊かな方程式系である。私は以前、このα-超幾何微分方程式系の隣接関係式に関連して、α-超幾何微分方程式系のb-函数-(これは佐藤幹夫氏によって導入された通常のb-函数の類似である。)を定義し、方程式系が正規と呼ばれる場合に計算した。これまでの研究により、このb-函数がα-超幾何微分方程式系の対称性を統制する非常に重要なものであることが判っていた。 今年度、北海道大学大学院生の近藤昌晴氏と共同で、合流型α-超幾何微分方程式系のb-函数を定義し、方程式系が正規の場合に計算した。その結果は、以前に行った合流型でない場合の素直な一般化となっている。 また、神戸大学の高山信毅氏との共同研究では、αが一般プリズム△_1×△_の場合に級数解の接続公式を導いた。αが一般プリズムの場合は、α-超幾何函数はロ-リチェラ函数F_Dであるが、既にF_Dの接続公式は、松本圭司氏、佐々木武氏、高山信毅氏、吉田正章氏により、ブレイド群のI-コサイクルとして実現され、また、青山和彦氏、加藤芳文氏、三町勝久氏によりF_Dのq-類似の接続公式も対称群の1-コサイクルとして表わされていた。我々の結果も同様の結果ではあるが、証明方法は新しく、より一般のα-超幾何函数の接続公式への適用が期待される。我々の証明方法の基本的なアイデアは次の通りである。まず、b-函数の理論を応用するとパラメータが特殊でない場合に、△_1×△_-超幾何微分方程式系をその特異部分空間に制限することにより、△_1×△_-超幾何函数の接続公式が△_1×△_-超幾何函数の接続公式から導かれることが判る。更に、△_1×△_のセカンダリ-ポリトープを考慮し、底空間を適当に単連結空間に分解すれば、級数解に関する上述の帰納的計算がうまくいき、最後には△_1×△_1-超幾何函数、つまり、ガウスの超幾何函数の接続公式に帰着されるという訳である。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1994年 -1994年 
    代表者 : 清原 一吉, 齋藤 睦, 泉屋 周一, 西森 敏之
     
    この研究の目標としたものの内、複素射影空間をモデルとするような、可積分測地流を持つ多様体のクラスとしてKahler-Liouville多様体を定義し、その性質を詳細に調べた。結果は「On a class of Kahler manifolds whose grodesic flows ane integrable」という題の論文にまとめつつある。その内容の概略は次の通りである。まず定義は実のLiouville多様体の形式的なHermite版となっている。そこには2次の(エルミートな)第一積分が複素次元個与えられているだけだが、適当な非退化性の条件の下で、同じ個数の無限小同型が自動的にでてくることがわかり、これにより測地流は可積分となっている。その内部構造を大まかに表すものとして有限半順序集合が不変量として付随している。多様体がcompactのとき、上記の無限小同型により問題の複素多様体はいわゆるトーリック多様体になることがわかる。特に代数多様体であり、又ample divisonをもつので射影的でもある。トーリック多様体としての構造を決定するfanの様子も上記の有限半順序集合を用いて簡明に記述される。compact Kahler-Liouville多様体(+適当な条件)の複素多様体としての様子はこれで完全にわかる。雑な云い方をすれば、有限半順序集合の各点にさまざまな次元の複素射影空間が付随しており、それらから半順序に従って次々にbundleを作ってできるものである。計量及び2次の第一積分たちもこの構成法(分解)に適合しており、それらの自由度は結局複素射影空間上での自由度に帰着していることがわかる。複素射影空間上の構造は部分多様体である実射影空間上のLiouville多様体の構造から決まっており、それがいつ複素化できるかも完全にわかる。そのようなものはやはり一変数関数の自由度がある。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1994年 -1994年 
    代表者 : 日比 孝之, 澁川 陽一, 齋藤 睦
     
    近年,現代数学の様々な分野において離散構造の重要性が認識されてきた.古典的な組合せ論の研究対象である単体的複体,半順序集合や凸多面体に限っても,その面,鎖の個数や格子点の数え上げは可換代数や代数幾何と深い接点を持つことが判明し,更に,凸多面体の三角形分割の組合せ論は超幾何函数の理論などとの相互関係を保ちながら急激に進展している.このような現状において,当該研究の目的は(1)凸多面体の離散構造の研究を代数的側面から刺激し進展させること,及び(2)単体的複体に付随する可換代数の代数的不変量を組合せ論的に記述することであった.目的(1)について,当該年度は,整凸多面体P⊂R^Nに含まれる格子点の個数i(P,n)の母函数から定義されるδ-列の組合せ論的特徴付けを探究した.我々は,函数i(P,n)をHilbert函数とする可換整域A(P)を定義しその代数的振舞からPのδ-列の組合せ論的諸性質を研究した.更に,可換整域A(P)が次数1の元で生成されるならば,Pのδ-列はいわゆる上限定理型の不等式を満たすことに着目し,A(P)が次数1の元で生成されるための必要十分条件をPの組合せ論で記述することを試み,部分的な成果を得た.目的(2)について,当該年度は,単体的複体Δに付随するStanley-Reisner環k[Δ]のBetti数列を組合せ論的に記述する研究を遂行した.我々は,k[Δ]の有限自由分解が純となるような単体的複体Δを組合せ論的に分類することに挑戦したが,その際,計算代数の成果とグレブナ-基底の基礎理論を使って,計算機実験をしたことが有益であった.更に,Δが有限半順序集合Xの順序複体のとき,k[Δ]のBetti数列をXのメビウス函数を使って表示する方法を模索し,modular束Xの順序複体のCohen-Macaulay型を計算するための効果的な公式を発見した.
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1994年 -1994年 
    代表者 : 諏訪 立雄, 齋藤 睦, 山口 佳三, 中居 功, 石川 剛郎, 泉屋 周一
     
    研究代表者を中心に、主として、複素解析的特異葉層構造の不変部分多様体に関する留数についての研究、及びそこでも用いられたCech-Rhamコホモロジー群およびstratifyされた空間上の積分理論の応用について研究を行った。 前者については、フランスのD.Lehmannとの共同研究において、複素2次元正則ベクトル場の非特異不変曲線に関する、Camacho-Sadの指数の一般化を考察し、複素解析的特異葉層構造の不変部分多様体に関する留数について、不変部分多様体が特異点を持つ場合にも留数を定義し、留数定理を証明した。またこの留数の計算法を求め、これが、いわば“相対的Grothendieck留数"で表わされることを示した。これらの結果は共著論文としてまとめられ、Journal of Differential Geometryに掲載される予定である。 後者に関しては、Cech-de Rhamコホモロジー群およびstratifyされた空間上の積分理論がを用いて代数的位相幾何学(ホモロジー理論,Poincare および Alexander-Lefschetzの双対性等)を記述し、代数幾何学,複素解析幾何学における基本的諸事実(特に、交点理論、分岐理論、特性類に関するもの、例えば、Thom類の特徴付け、因子の交点理論、Poincare-Hopfの定理、Milnor数の公式、Riemann-Hurwitzの公的、埋め込みに対するGrothendieck-Riemann-Rochの定理等)を特性類の留数の立場から統一的に証明し、さらにこれらを精密化、一般化した。この方法の特徴的なことは、(1)種々の公式が特異点集合に局所化された形で得られること、(2)Hardな解析を用いずに自然に計算が出来ること等である。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1990年 -1990年 
    代表者 : 堀田 良之, 長谷川 浩司, 齋藤 睦, 清水 勇二, 石田 正典, 小田 忠雄
     
    代数群の大域的指標を統制する偏微分方程式系として,HarishーChandro方程式系というホロノミ-系があり,ここ数年来その構造を研究してきた。本年度は,これとは異なる動機で成立したものであるが共通の側面をもつ青本・Gelfand型のホロノミ-系について幾分かの成果を得た。 青本・Gelfandのホロノミ-系は,本来Gauss以来長い間研究されてきた超幾何型微分方程式(函数)の一般化(多変数化)を目ろんだもので,いくつかの定式化があるが末だその全貌は明らかではない。 まず,このホロノミ-型微分方程式系は,代数群がベクトル空間に線型作用しているとき構成されるわけであるが,特に変換群がト-ラスであって相似変換を含むとき“一般超幾何型"と呼ばれている。この場合このホロノミ-系のフ-リエ変換を考えると,そのサポ-トは有限個の軌道からなり,かつ斉次的である。さらにD加群的考察によって,このホロノミ-系は群の(無限小)指標に関して“捩れ同変"(新しい概念)であることが判明した。このことを手がかりにすると,このフ-リエ変換されたホロノミ-系は確定特異点型(Fuchs型)であることが証明される。従って,斉次性によって,元の青本・Gelfand型のホロノミ-系(一般超幾何型も確定特異点型であることが結論される。 この定理は,今後この方程式系を考察・応用する場合欠かせない基礎事実となるであろう。 その他,この方程式系の特性多様体の構造について,ト-リック多様体の側面からの幾何学的・組合せ論的研究が,小田・石田らによってなされている。
  • 日本学術振興会：科学研究費助成事業
    研究期間 : 1989年 -1989年 
    代表者 : 堀田 良之, 長谷川 浩司, 齋藤 睦, 佐武 一郎, 石田 正典, 小田 忠雄
     
    研究代表者の堀田は、従来からのテ-マである指標の代数解析的研究すなわち指標D加群を追求する中で、青木・Gelfandの微分方程式系のD加群的取扱いを試みた。その結果、この方程式は、ト-ラスの埋込みによって、オイラ一方程式系を転移し、それをフ-リエ変換したものが主要部を占めることが分かった。このことから、この方程式系の正則性(確定特異点型であること)についての知見が得られる。 関連して、小田は、ト-リック多様体の代数幾何の研究の中で、組合せ幾何学との関連で、上のGelFand学派の結果の新しい応用を見出した。さらに、石田は、ト-リック多様体のある種の不変量の計算法を具体化し、特にカスプ特異点について新しい知見を得た。これらの研究は青木・Gelfand方程式の特性多様体の構造を解明するために大きく役立つものと思われる。 代数群の数論からの研究を行った佐武は、有理構造をもつ対称領域が有利点をもつ条件、およびその商空間の志村モデルの定義体との関係等を明らかにした。 D加群れの表現論への応用を試みた齋藤は、ト-ラスの作用がある多様体上のホロノミ-D加群の局所化定理を得た。これによって、指標をレフシェツ型不動点定理から計算する方法が拡大されたことになる。 可解格子模型とアフィン・リ一環の表現論の関連を追求してきた長谷川は、柏原・三輪が構成したBroken Zn-Symmetric modelと呼ばれる模型、すなわちYang-Baxter方程式の解を、Baxterの8頂点解に関連した代数(Sklyanin代数)を用いて体系的に導出することに成功した。
  • Systems of hypergeometric equations and their related D-modules

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