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眞崎 聡 (マサキ サトシ)
| 理学研究院 数学部門 数学分野 | 教授 |
| 附属社会創造数学研究センター | 教授 |
研究者基本情報
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- Global well-posedness and scattering in weighted space for nonlinear Schrödinger equations below the Strauss exponent without gauge-invariance
Masaki Kawamoto; Satoshi Masaki; Hayato Miyazaki
Mathematische Annalen, 392, 1, 1051, 1097, Springer Science and Business Media LLC, 2025年02月28日, ［査読有り］
研究論文（学術雑誌）, Abstract
In this paper, we consider the nonlinear Schrödinger equation (NLS) with a general homogeneous nonlinearity in dimensions up to three. We assume that the degree (i.e., power) of the nonlinearity is such that the equation is mass-subcritical and short-range. We establish global well-posedness (GWP) and scattering for small data in the standard weighted space for a class of homogeneous nonlinearities, including non-gauge-invariant ones. Additionally, we include the case where the degree is less than or equal to the Strauss exponent. When the nonlinearity is not gauge-invariant, the standard Duhamel formulation fails to work effectively in the weighted Sobolev space; for instance, the Duhamel term may not be well-defined as a Bochner integral. To address this issue, we introduce an alternative formulation that allows us to establish GWP and scattering, even in the presence of poor time continuity of the Duhamel term. - Scattering for the focusing, $ L^2 $-supercritical fourth-order NLS in one dimension
Koichi Komada; Satoshi Masaki
Discrete and Continuous Dynamical Systems, 45, 2, 480, 510, American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2025年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Asymptotic Behavior in Time of Solution to System of Cubic Nonlinear Schrödinger Equations in One Space Dimension
Satoshi Masaki; Jun-Ichi Segata; Kota Uriya
Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 119, 180, Springer Nature Singapore, 2024年07月04日, ［査読有り］
論文集(書籍)内論文 - Global Behavior of Solutions to Generalized Gross-Pitaevskii Equation
Satoshi Masaki; Hayato Miyazaki
Differential Equations and Dynamical Systems, 32, 3, 743, 761, Springer Science and Business Media LLC, 2024年07月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Scattering of solutions with group invariance for the fourth-order nonlinear Schrödinger equation
Koichi Komada; Satoshi Masaki
Nonlinearity, 37, 8, 085003, 085003, IOP Publishing, 2024年06月19日, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌）, Abstract
In this paper, we consider the focusing, L 2-supercritical and -subcritical fourth-order nonlinear Schrödinger equations. We show the scattering of group-invariant solutions below the ground state threshold, under the hypothesis that the threshold for group-invariant solutions is less than a certain value. - Global dynamics below excited solitons for the non-radial NLS with potential
Satoshi Masaki; Jason Murphy; Jun-Ichi Segata
Indiana University Mathematics Journal, 73, 3, 1097, 1205, Indiana University Mathematics Journal, 2024年, ［査読有り］, ［責任著者］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Scattering for the Mass-Critical Nonlinear Klein–Gordon Equations in Three and Higher Dimensions
Xing Cheng; Zihua Guo; Satoshi Masaki
Vietnam Journal of Mathematics, 51, 4, 869, 909, Springer Science and Business Media LLC, 2023年07月10日, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌）, Abstract
In this paper we consider the mass-critical nonlinear Klein–Gordon equations in three and higher dimensions. We prove the dichotomy between scattering and blow-up below the ground state energy in the focusing case, and the energy scattering in the defocusing case. We use the concentration-compactness/rigidity method developed by C. E. Kenig and F. Merle. The main novelty from the work of R. Killip, B. Stovall, and M. Visan (Trans. Amer. Math. Soc. 364, 2012) is to approximate the large scale (low-frequency) profile by the solution of the mass-critical nonlinear Schrödinger equation when the nonlinearity is not algebraic. - Polynomial deceleration for a system of cubic nonlinear Schrödinger equations in one space dimension
Naoyasu Kita; Satoshi Masaki; Jun-ichi Segata; Kota Uriya
Nonlinear Analysis, 230, 113216, 113216, Elsevier BV, 2023年05月
研究論文（学術雑誌） - Asymptotic stability of solitary waves for the 1d NLS with an attractive delta potential
Satoshi Masaki; Jason Murphy; Jun-ichi Segata
Discrete and Continuous Dynamical Systems, 43, 6, 2137, 2185, American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2023年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Classification of a class of systems of cubic ordinary differential equations
Satoshi Masaki
Journal of Differential Equations, 344, 471, 508, Elsevier BV, 2023年01月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - On asymptotic behavior of solutions to cubic nonlinear Klein-Gordon systems in one space dimension
Satoshi Masaki; Jun-ichi Segata; Kota Uriya
Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 9, 18, 517, 563, American Mathematical Society (AMS), 2022年06月08日, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌）,In this paper, we consider the large time asymptotic behavior of solutions to systems of two cubic nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension. We classify the systems by studying the quotient set of a suitable subset of systems by the equivalence relation naturally induced by the linear transformation of the unknowns. It is revealed that the equivalence relation is well described by an identification with a matrix. In particular, we characterize some known systems in terms of the matrix and specify all systems equivalent to them. An explicit reduction procedure from a given system in the suitable subset to a model system, i.e., to a representative, is also established. The classification also draws our attention to some model systems which admit solutions with a new kind of asymptotic behavior. Especially, we find new systems which admit a solution of which decay rate is worse than that of a solution to the linear Klein-Gordon equation by logarithmic order.
- A SHARP SCATTERING THRESHOLD LEVEL FOR MASS-SUBCRITICAL NONLINEAR SCHRODINGER SYSTEM
Masaru Hamano; Satoshi Masaki
DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS, 41, 3, 1415, 1447, 2021年03月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Long range scattering for the complex-valued Klein-Gordon equation with quadratic nonlinearity in two dimensions
Satoshi Masaki; Jun-ichi Segata; Kota Uriya
JOURNAL DE MATHEMATIQUES PURES ET APPLIQUEES, 139, 177, 203, 2020年07月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - A survey on long range scattering for Schrödinger equation and Klein-Gordon equation with critical nonlinearity of non-polynomial type
眞崎聡
数理解析研究所講究録別冊, B82, 103, 135, 2020年06月, ［査読有り］
英語, 研究論文（国際会議プロシーディングス） - OPTIMAL DECAY RATE OF SOLUTIONS FOR NONLINEAR KLEIN-GORDON SYSTEMS OF CRITICAL TYPE
Satoshi Masaki; Koki Sugiyama
DIFFERENTIAL AND INTEGRAL EQUATIONS, 33, 5-6, 247, 256, 2020年05月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - STABILITY OF SMALL SOLITARY WAVES FOR THE ONE-DIMENSIONAL NLS WITH AN ATTRACTIVE DELTA POTENTIAL
Satoshi Masaki; Jason Murphy; Jun-ichi Segata
ANALYSIS & PDE, 13, 4, 1099, 1128, 2020年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Modified Scattering for the One-Dimensional Cubic NLS with a Repulsive Delta Potential
Satoshi Masaki; Jason Murphy; Jun-Ichi Segata
INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES, 2019, 24, 7577, 7603, 2019年12月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - LONG-RANGE SCATTERING FOR NONLINEAR SCHRODINGER EQUATIONS WITH CRITICAL HOMOGENEOUS NONLINEARITY IN THREE SPACE DIMENSIONS
Satoshi Masaki; Hayato Miyazaki; Kota Uriya
TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 371, 11, 7925, 7947, 2019年06月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - NONEXISTENCE OF SCATTERING AND MODIFIED SCATTERING STATES FOR SOME NONLINEAR SCHRODINGER EQUATION WITH CRITICAL HOMOGENEOUS NONLINEARITY
Satoshi Masaki; Hayato Miyazaki
DIFFERENTIAL AND INTEGRAL EQUATIONS, 32, 3-4, 121, 138, 2019年03月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - THE RADIAL MASS- SUB CRITICAL NLS IN NEGATIVE ORDER SOBOLEV SPACES
Rowan Killip; Satoshi Masaki; Jason Murphy; Monica Visan
DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS, 39, 1, 553, 583, 2019年01月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - On the scattering problem of mass-subcritical Hartree equation
Satoshi Masaki
ASYMPTOTIC ANALYSIS FOR NONLINEAR DISPERSIVE AND WAVE EQUATIONS, 81, 259, 309, 2019年, ［査読有り］
英語, 研究論文（国際会議プロシーディングス） - MODIFIED SCATTERING FOR THE QUADRATIC NONLINEAR KLEIN-GORDON EQUATION IN TWO DIMENSIONS
Satoshi Masaki; Jun-ichi Segata
TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 370, 11, 8155, 8170, 2018年11月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - MODIFIED SCATTERING FOR THE KLEIN-GORDON EQUATION WITH THE CRITICAL NONLINEARITY IN THREE DIMENSIONS
Satoshi Masaki; Jun-ichi Segata
COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS, 17, 4, 1595, 1611, 2018年07月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Existence of a minimal non-scattering solution to the mass-subcritical generalized Korteweg-de Vries equation
Satoshi Masaki; Jun-ichi Segata
ANNALES DE L INSTITUT HENRI POINCARE-ANALYSE NON LINEAIRE, 35, 2, 283, 326, 2018年03月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - REFINEMENT OF STRICHARTZ ESTIMATES FOR AIRY EQUATION IN NONDIAGONAL CASE AND ITS APPLICATION
Satoshi Masaki; Jun-Ichi Segata
SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS, 50, 3, 2839, 2866, 2018年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - LONG RANGE SCATTERING FOR NONLINEAR SCHRODINGER EQUATIONS WITH CRITICAL HOMOGENEOUS NONLINEARITY
Satoshi Masaki; Hayato Miyazaki
SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS, 50, 3, 3251, 3270, 2018年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Large data mass-subcritical NLS: critical weighted bounds imply scattering
Rowan Killip; Satoshi Masaki; Jason Murphy; Monica Visan
NODEA-NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS AND APPLICATIONS, 24, 4, 2017年08月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - On minimal nonscattering solution for focusing mass-subcritical nonlinear Schrodinger equation
Satoshi Masaki
COMMUNICATIONS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 42, 4, 626, 653, 2017年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - ON THE WELL-POSEDNESS OF THE GENERALIZED KORTEWEG-DE VRIES EQUATION IN SCALE-CRITICAL (L)over-cap(r)-SPACE
Satoshi Masaki; Jun-Ichi Segata
ANALYSIS & PDE, 9, 3, 699, 725, 2016年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Existence and uniqueness of two dimensional Euler-Poisson system and WKB approximation to the nonlinear Schrodinger-Poisson system
Satoshi Masaki; Takayoshi Ogawa
JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS, 56, 12, 2015年12月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - A SHARP SCATTERING CONDITION FOR FOCUSING MASS-SUBCRITICAL NONLINEAR SCHRODINGER EQUATION
Satoshi Masaki
COMMUNICATIONS ON PURE AND APPLIED ANALYSIS, 14, 4, 1481, 1531, 2015年07月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - A survey on nonlinear Schrodinger equation with growing nonlocal nonlinearity
Masaya Maeda; Satoshi Masaki
NONLINEAR DYNAMICS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 64, 273, 280, 2015年, ［査読有り］
英語, 研究論文（国際会議プロシーディングス） - AN EXAMPLE OF STABLE EXCITED STATE ON NONLINEAR SCHRODINGER EQUATION WITH NONLOCAL NONLINEARITY
Masaya Maeda; Satoshi Masaki
DIFFERENTIAL AND INTEGRAL EQUATIONS, 26, 7-8, 731, 756, 2013年07月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Large time WKB approximation for multi-dimensional semiclassical Schrodinger-Poisson system
Satoshi Masaki
JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, 251, 11, 3028, 3062, 2011年12月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - ENERGY SOLUTION TO A SCHRODINGER-POISSON SYSTEM IN THE TWO-DIMENSIONAL WHOLE SPACE
Satoshi Masaki
SIAM JOURNAL ON MATHEMATICAL ANALYSIS, 43, 6, 2719, 2731, 2011年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Local Existence and WKB Approximation of Solutions to Schrodinger-Poisson System in the Two-Dimensional Whole Space
Satoshi Masaki
COMMUNICATIONS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 35, 12, 2253, 2278, 2010年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - ASYMPTOTIC EXPANSION OF SOLUTIONS TO THE NONLINEAR SCHRODINGER EQUATION WITH POWER NONLINEARITY
Satoshi Masaki
KYUSHU JOURNAL OF MATHEMATICS, 63, 1, 51, 82, 2009年03月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Semiclassical analysis for Hartree equation
Remi Carles; Satoshi Masaki
ASYMPTOTIC ANALYSIS, 58, 4, 211, 227, 2008年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Semi-classical analysis for Hartree equations in some supercritical cases
Satoshi Masaki
ANNALES HENRI POINCARE, 8, 6, 1037, 1069, 2007年09月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌）
- Two minimization problems on non-scattering solutions to mass-subcritical nonlinear Schrödinger equation
Satoshi Masaki, 2016年05月30日
In this paper, we introduce two minimization problems on non-scattering
solutions to nonlinear Schr\"odinger equation. One gives us a sharp scattering
criterion, the other is concerned with minimal size of blowup profiles. We
first reformulate several previous results in terms of these two minimizations.
Then, the main result of the paper is existence of minimizers to the both
minimization problems for mass-subcritical nonlinear Schr\"odinger equations.
To consider the latter minimization, we consider the equation in a Fourier
transform of generalized Morrey space. It turns out that the minimizer to the
latter problem possesses a compactness property, which is so-called almost
periodicity modulo symmetry. - 非線型Schrodinger方程式の準古典解析 (準古典解析における諸問題--RIMS研究集会報告集)
眞崎 聡, 数理解析研究所講究録, 1763, 1763, 31, 52, 2011年09月
京都大学数理解析研究所, 日本語 - Analysis of Hartree equation with an interaction growing at the spatial infinity
Satoshi Masaki, 2011年03月16日
We consider nonlinear Schr\"odinger equation with a Hartree-type nonlocal
nonlinearity. The case where a nonlinear interaction potential grows at the
spatial infinity is studied. By virtue of an effective decomposition of the
nonlinearity based on conservation of mass, this kind of growing nonlinear
interaction is known to contain an effect like a linear potential. In this
paper, a well-posedness result is obtained in a suitable energy space for a
class of interaction potential growing at the spatial infinity in at most the
quadratic order. If the growth rate of interaction potential is faster than the
linear order, a priori information on the center of mass plays a crucial role.
When the interaction potential is exactly in the quadratic order, solution are
written explicitly. - Semiclassical limit of Schrodinger-Poisson system and classical limit of quantum Euler-Poisson equations in 2D (Mathematical analysis in fluid and gas dynamics)
眞崎 聡, 数理解析研究所講究録, 1730, 1730, 45, 57, 2011年02月
京都大学数理解析研究所, 英語 - 2次元全空間におけるPoisson方程式について (スペクトル・散乱理論とその周辺--RIMS共同研究報告集)
眞崎 聡, 数理解析研究所講究録, 1696, 1696, 94, 106, 2010年07月
京都大学数理解析研究所, 日本語
- 数理解析学講義, 2024年, 修士課程, 理学院
- 数理解析学特別講義, 2024年, 修士課程, 理学院
- ベクトル解析, 2024年, 学士課程, 理学部
- 入門微分積分学, 2024年, 学士課程, 全学教育
- 微分積分学Ⅰ, 2024年, 学士課程, 全学教育
- 数理解析学続論, 2024年, 学士課程, 理学部
- 数学特別講義Ⅱ, 2024年, 学士課程, 理学部
- 非線形分散型方程式における分散効果と非線形項効果の均衡・調和に関する研究
科学研究費助成事業
2024年04月01日 - 2028年03月31日
眞崎 聡; 水谷 治哉; 瓜屋 航太; 山崎 陽平
日本学術振興会, 基盤研究(B), 北海道大学, 24K00529 - 非線形偏微分方程式のおける解の臨界正則性と特異性
科学研究費助成事業
2021年04月01日 - 2026年03月31日
三浦 英之; 眞崎 聡; 前川 泰則
日本学術振興会, 基盤研究(B), 東京工業大学, 21H00991 - 質量劣臨界非線項を持つ分散型偏微分方程式の解の大域解析
科学研究費助成事業
2021年04月01日 - 2025年03月31日
瀬片 純市; 若狭 徹; 眞崎 聡; 高田 了; 山崎 陽平
本研究の目的は, 物理学, 工学に現れる非線形分散型方程式に対し, ソリトンおよび散乱という観点から解の長時間挙動を解明することである. 研究代表者(瀬片)は研究分担者(眞崎)および瓜屋航太氏(岡山理科大)とともに, 空間1次元において3次の非線形項をもつ非線形シュレディンガー連立系(システム)の解の長時間挙動について考察した. 線形シュレディンガー方程式の散乱理論の観点から同方程式系はちょうど長距離型と短距離型散乱理論の境目に相当し, 解の長時間挙動を調べるのは容易でない. これまでの研究では, システムが良いハミルトン構造を持つ場合に, スカラーの場合には現れなかった興味深い解挙動を示すシステムの例を見つけたが, 今年度はシステムに良いハミルトン構造がないにもかかわらず, 小さな解が時間大域的に有界になるようなシステムの例を見つけた. また, 川島秀一氏(早稲田大), 小川卓克氏(東北大), Dharmawardane氏(Wayamba University of Sri Lanka)とともに記憶型応力項を伴う熱粘弾性体の動きを記述する双曲型-放物型偏微分方程式系の解の長時間挙動について考察し, 周波数空間でエネルギー法を用いることで同方程式の定数解まわりの線形化方程式の解の減衰を導出した. 研究分担者(若狭)は菅徹氏(大阪公立大)とともに, 不連続境界条件を持つChafee-Infante問題について考察した. 研究分担者(高田)は, 3次元全空間においてCoriolis力付き磁気流体力学方程式の初期値問題に関して研究を行い, スケール臨界なSobolev正則性をもつ初期速度場および初期磁場に対して, 回転速度が十分大きい場合の時間大域的適切性を証明した. 研究分担者(山崎)は, 非線形シュレディンガー方程式の不安定な定在波に対し, 中心安定多様体の構成とその中心安定多様体上の解の漸近挙動について考察した.
日本学術振興会, 基盤研究(B), 九州大学, 23K20805 - 質量劣臨界非線項を持つ分散型偏微分方程式の解の大域解析
科学研究費助成事業
2021年04月01日 - 2025年03月31日
瀬片 純市; 若狭 徹; 眞崎 聡; 高田 了; 山崎 陽平
日本学術振興会, 基盤研究(B), 九州大学, 21H00993 - 非線形波動方程式の大域ダイナミクス
科学研究費助成事業 基盤研究(B)
2017年04月01日 - 2022年03月31日
中西 賢次; 水谷 治哉; 眞崎 聡
眞崎は質量劣臨界の非線形 Schrodinger 方程式について、球対称で負の斉次 Sobolev 空間に入る解を調べた。反発性非線形項の場合は、臨界ノルムが有界な大域解の漸近挙動は散乱で与えられることを示し、集約性の場合は、臨界ノルムの大域上界が最小となる非散乱解を構成し、その解軌道がプレコンパクトであることを示した。また、吸引的なデルタポテンシャルを持つ１次元非線形 Schrodinger 方程式について、小さい初期値に対するソリトン分解定理、即ち時刻無限大でソリトンと散乱波の和に漸近することを示した。
水谷はポテンシャル付き非線形 Schrodinger 方程式のエネルギー散乱への応用を念頭に、線形散乱において (修正) 波動作用素が L2 上で存在する場合に Sobolev 空間上でも存在するための十分条件を抽象的な枠組で導出した。例えば１階の Sobolev 空間の場合、この条件は臨界特異性を持つ短距離型、滑らかな長距離型、一次元点相互作用等のポテンシャルを含み、更に Schrodinger 方程式以外の分散型方程式にも適用できる。
中西は４次元 Zakharov 系に対する大域ダイナミクスの結果を球対称から一般解へ拡張する為、大域 Strichartz 評価の証明枠組を解作用素展開とプロファイル分解の観点から簡素化し、また鍵となる双線形評価を得た。量子効果付き Zakharov 系に対しては L2 解の初期値問題を考察し、局所・大域適切性および散乱について、成立する空間次元に関して古典系より大幅に改善されることを示した。他方、２次元のエネルギー臨界である二乗指数型非線形項の熱方程式に対して初期値問題の強解一意性の崩れを示し、関連する Trudinger-Moser 不等式に対して、最大化元の存在・非存在を分ける非線形項の境界を、第３項まで具体的な漸近展開で与えた。
日本学術振興会, 基盤研究(B), 17H02854 - 分散性を伴う非線形偏微分方程式の解の長時間挙動の解析
科学研究費助成事業 基盤研究(B)
2017年04月01日 - 2021年03月31日
瀬片 純市; 眞崎 聡; 前田 昌也; 高田 了; 生駒 典久
本研究課題では物理学, 工学に現れる非線形分散型方程式に対し, ソリトンおよび散乱という立場から研究を行っている. 研究代表者の瀬片は, gauge不変な非線形項をもつKlein-Gordon方程式の複素数値解の時刻無限大での詳細な挙動を, 解の漸近形がみたす常微分方程式を精密に解析することにより捉える事ができた. また, Jason Murphy氏, 研究分担者の眞崎氏とともに, 前年度に引き続き, 吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式のソリトンのまわりでの解の長時間挙動について研究を行った. これまでは小さなソリトンのまわりの解について考察してきたが, 今年度は, 線形の散乱理論を援用することで, 必ずしも小さいとは限らないソリトンのまわりの解の挙動について考察した. 研究分担者の前田は, Scipio Cuccagna氏とともに吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式に対し, virial型の議論をすることで質量劣臨界の場合に小さな解が時刻無限大でソリトンと分散波に分かれることを証明した. また, 非線形シュレディンガー方程式の臨界周波数付近でのソリトン解の振動を解析した. 研究分担者の高田は, 2次元非粘性成層 Boussinesq方程式の初期値問題を考察し, 最適な初期正則性のもとで長時間可解性を証明した. 研究分担者の生駒は, 質量が一定という制約条件の下，ハミルトニアンを最小化するにする関数の存在および非存在を考察した. 特に調和ポテンシャルのように強い効果を持たないポテンシャル関数と一般的な非線形項の取り扱いに成功した. また, 2つの冪乗型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式に対する基底状態解の一意性および非退化性を示した. 特に1つの冪はSobolev臨界であり，周波数が非常に大きい状態を取り扱った.
日本学術振興会, 基盤研究(B), 17H02851 - 非線形分散型方程式の遷移現象の研究
科学研究費助成事業 若手研究(B)
2017年04月01日 - 2021年03月31日
眞崎 聡
本研究では、主に３つの課題がある。それぞれの進捗について分けて述べる。
まず、長距離散乱理論の研究について。瀬片純市氏、瓜屋航太氏と空間１、２次元において非線型クラインゴルドン方程式のシステムを考察した。これまでの研究で培った長距離散乱に関する技術を用いて、小さな解に対する漸近挙動を分類することを目指した。既存の結果よりも広い範囲のモデルを取り扱えることが分かったが、当初想定していたより状況が複雑であり、決定的な結果には至らなかった。現在、この結果は論文としてまとめているところである。また、関連する話題として、非線形クラインゴルドン方程式系の解の時間減衰の最適性の結果を得ることができた。
遷移現象に関しては、少し方向性を替えて、近隣モデルの考察に重点をおいた。質量臨界クラインゴルドン方程式および質量劣臨界非線形シュレディンガー方程式系を取り扱った。とくに非線形シュレディンガー方程式系の研究においては、システムならではの問題点をいくつか発見するに至った。これらは論文にまとめ現在投稿中である。また、関連分野の情報収集のために、国内研究集会を主催した。
また、吸引的なデルタポテンシャルを持つ１次元非線形シュレディンガー方程式をMurphy 氏、瀬片氏ら考察した。必ずしも小さくない定在波解の漸近安定性を考察した。これにあたっては、特に定在波解周りでの線形作用素の散乱理論の解析を主に担当した。この結果は現在論文としてまとめているところである。
Visan氏のもとに長期滞在し、Killip氏、Visan氏との共同研究を行った。質量劣臨界非線形分散型方程式群における遷移現象の理解のため、可積分構造を用いた解析により、新しい知見を得ることを目指した。この結果、転換点の候補となり得る特殊解が浮かび上がってきた。この解は可積分系の場合しか存在が知られていない。存在結果の拡張を試みたが、完成しなかった。
日本学術振興会, 若手研究(B), 大阪大学, 17K14219 - 非線形分散型方程式における遷移現象とソリトンの安定性理論の研究
科学研究費助成事業 国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(A))
2019年 - 2021年
眞崎 聡
本研究では、質量劣臨界方程式における遷移現象を考察することを目的としている。そのために、近年発展が目覚ましい分野である「可積分系に対する新しい保存則とそれを用いた解析」からの知見を生かして未知の転換点の挙動を探る。
可積分系の理論でその存在が知られているある特殊解が、目的のものではないかと予想をし、それを確かめるべく研究を行った。その特殊解は可積分系の方程式である1次元３次非線形シュレディンガー方程式に対して存在が知られているが、本研究で考えたい方程式は違う次数を持ち可積分系の構造がない方程式である。そこで、この解の存在を可積分系のない他の次数の非線形シュレディンガー方程式へと拡張することを目標として設定した。これは、遷移現象という観点を抜きにしてそれ自身が非常に興味深い研究内容であると言える。それに向かって、可積分系で存在が知られている解を、可積分系の言葉ではなくより偏微分方程式論的な言葉によって理解することを中間的な目標として設定し研究を行った。
その研究を通し、不安定な解を構成する道具立て・理論が必要になることが判明した。その理論を構築するべく、線形ポテンシャルの拘束から逃れる定在波解の構成について考察した。この部分について解析の枠組みを与えることができた。
併せて、デルタポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の定在波解の漸近安定性についての研究を行った。定在波解周りでの線形化作用素の解析、特にレゾナンスの有無に関する解析を行った。モデルの具体性を活かした新しい手法を考案し、いくつかの興味深い結果が得られた。
日本学術振興会, 国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(A)), 大阪大学, 18KK0386 - 量子流体の側面から見たシュレディンガー方程式の解の構造の研究
科学研究費助成事業 若手研究(B)
2012年04月01日 - 2016年03月31日
眞崎 聡
本研究は、シュレディンガー方程式の量子流体としての側面に着目し、対応する古典力学の崩壊現象とシュレディンガー方程式の解の爆発現象との関係を調べることを目標として開始された。その際、近年分散型方程式で進展の目覚ましい、結果の否定から架空の解を構成するという背理法の議論を用いることにした。
まずこの手法について研究を進めた結果、予想外の方向へ進展し、質量劣臨界と呼ばれる基底状態が安定となる場合に、適切な意味で最小となる特殊な非散乱解を発見するに至った。この解は、従来知られていた解とはどれとも異なる挙動を示すものである。その後、関係の深い一般化KdV方程式も考察し、同様の現象が起こることを確認した。
日本学術振興会, 若手研究(B), 広島大学, 24740108 - 空間遠方で増大する非局所的非線型項を持つ非線型シュレディンガー方程式の解析
科学研究費助成事業 研究活動スタート支援
2010年 - 2011年
眞崎 聡
半導体のモデル方程式の一つであるシュレディンガー・ポアッソン方程式系を空間2次元において考察すると、ポアッソン方程式の解を与えているニュートン核の形状がlog型関数になることに起因し、ポアッソン方程式で定まる非線型ポテンシャルが遠方で発散するものになる。この状況を一般化し、遠方で増大するような積分核との合成積により与えられる非線型項を持つ非線型シュレディンガー方程式を考える。その高次元からの自然な導出とは対照的に、その扱いは高次元とは全く異なるものが必要となる。本研究では、シュレディンガー方程式固有の保存法則を利用した方程式の変換を新しく導入することによって、この方程式の数学的な取扱いを確立した。その中で、このような非線型が線型ポテンシャルのような効果を含むことが明らかになった。具体的な成果としては、初期値問題のエネルギー空間における時間大域的適切性が得られている。また、調和振動子に現れる2次ポテンシャルをとった場合には、非線型方程式にも関わらず解の陽表示が得られた。この解はその挙動を非常に詳細に調べることが可能であるので、非線型性の与える効果の理解にとって非常に役に立つものである。また、この特殊なモデル自体も興味深い例を含んでおり、このモデルを用いることで、安定な励起状態解が存在しうることを例示した。
日本学術振興会, 研究活動スタート支援, 学習院大学, 22840039 - 半古典近似を用いた非線形Schrodinger方程式の解析
科学研究費助成事業 特別研究員奨励費
2009年 - 2011年
眞崎 聡
非線型シュレディンガー方程式にプランク定数に相当するパラメータをいれて、そのパラメータをゼロに近づける半古典曲極限と呼ばれる極限下での解の挙動を探る。この極限は物理現象をマクロな視点から見ていることに対応しており、量子力学で支配される世界から古典力学で支配される世界への移行を記述する。
21年度の目標として、流体力学の手法を学び、古典軌道を解析することを挙げた。これについて大きな成果が得られた。特に、シュレディンガー・ポアッソン方程式系において、ある特殊な形の初期値を与えると、対応する古典軌道が焦点を形成せずに時刻無限大まで伸びることがわかった。この研究では対応するオイラー・ポアッソン方程式の解の非常に詳細な解析が必要であった。また、この特殊例に対しては、半古典極限におけるWKB型の解の近似が準大域的に成立することも示した。
また、6月にフランス・イギリスに一か月滞在して、国際研究集会において研究発表を行い、また海外の研究者と議論を交わし情報交換を行った。そこでの情報交換をもとにして、シュレディンガー・ポアッソン方程式系における解の半古典極限におけるWKB型近似を空間2次元に対して拡張した。先行結果で1次元と3次元以上に関しては知られていたが、2次元についてはわかっていなかった。
この結果に関しては反響も大きく、9月に開催された日本数学会2009年度総合分科会で初めて発表したのち、約3カ月の間にセミナーや研究集会などで7回もの講演の機会を得ることにつながった。
日本学術振興会, 特別研究員奨励費, 東北大学, 09J00824 - 半古典近似を用いた非線型Schrodinger方程式の解析
科学研究費助成事業 特別研究員奨励費
2007年 - 2008年
眞崎 聡
本研究の目標は,半古典パラメータを持つ非線型Schrodinger方程式において,焦点を持つような初期値を与え,半古典パラメータがOに近づいた際の解の漸近挙動が非線型項の「強さ」や「減衰度」(非線型項の短距離性・長距離性にかかわる性質)に応じてどう変化するを調べ,非線型Schrodinger方程式において焦点が存在することがどのような影響を及ぼすのか探ることであった.
20年度では,べき乗型の非線型項に対する先行研究をHartree方程式に対しても拡張し,さらに以下の二つの点で改良した.第一の点は,取り扱う非線型項の「強さ」に関する制限を緩めたこと.第二の点は動く焦点の形成を示したことである.この研究は論文にまとめ,現在投稿中である.また,上で述べた研究の第二の点に関わる"古典軌道"の解析に大きな進展があった.ここでいう"古典軌道"とは考察する非線型Schrodinger方程式を"量子力学を記述する方程式"とみなした時に,対応する"古典力学を記述する方程式"の解のことである.この対応する方程式とは圧縮性のEuler方程式になる.Euler方程式の解は有限時間で崩壊してしまうことがあり,一般には大域的ではない.この解か有限時間で崩壊することが本研究のターゲットである焦点の形成と対応している.球対称な場合に圧縮性のEuler-Poisson方程式に対してその古典解か大域的になる必要十分条件を導いた.この結果はRemarks on global existence of classical solution to multi-dimensional compressible Euler-Poisson equations with geometrical symmetry, RIMS Kokyuroku Bessatsuとして発表した.
日本学術振興会, 特別研究員奨励費, 京都大学, 07J04229
