古畑 仁 (フルハタ ヒトシ)
| 理学研究院 数学部門 数学分野 | 教授 |
| 電子科学研究所 附属社会創造数学研究センター | 教授 |
Last Updated :2026/04/14
■研究者基本情報
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■研究活動情報
論文
- Reduced centroaffine curves on homogeneous centroaffine hypersurfaces
Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata
Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry, 67(2026), 255, 269, Springer Science and Business Media LLC, 2025年08月08日, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - A variation problem for mappings between statistical manifolds
Hitoshi Furuhata, Ryu Ueno
Results in Mathematics, 80, 57, Springer Science and Business Media LLC, 2025年02月25日, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Centroaffine surfaces of cohomogeneity one with planar curvature lines
Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata
Colloquium Mathematicum, 172, 2, 173, 190, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, 2023年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌）, 40298734 - Toward differential geometry of statistical submanifolds
Hitoshi Furuhata
Information Geometry, 7, S1 (2024), 99, 108, Springer Science and Business Media LLC, 2022年11月22日, ［査読有り］, ［招待有り］
研究論文（学術雑誌） - Chen invariants and statistical submanifolds
Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa, Naoto Satoh
Communications of the Korean Mathematical Society, 37, 3, 851, 864, 2022年07月, ［査読有り］
英語 - A characterization of the alpha-connections on the statistical manifold of normal distributions
Hitoshi Furuhata, Jun-ichi Inoguchi, Shimpei Kobayashi
Information Geometry, 4, 1, 177, 188, Springer Science and Business Media LLC, 2020年10月20日, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Statistical submanifolds from a viewpoint of the Euler inequality
Naoto Satoh, Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa, Toshiyuki Nakane, Yukihiko Okuyama, Kimitake Sato, Mohammad Hasan Shahid, Aliya Naaz Siddiqui
Information Geometry, 4, 189, 213, Springer Science and Business Media LLC, 2020年09月04日, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Centroaffine surfaces of cohomogeneity one
FUJIOKA Atsushi, FURUHATA Hitoshi
Bull. Braz. Math. Soc., NS., 50, 1, 291, 313, 2019年, ［査読有り］
英語 - The center map of a centroaffine ruled surface
FUJIOKA Atsushi, FURUHATA Hitoshi
An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi. Mat. (N.S.), 64, 343, 355, 2018年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Kenmotsu statistical manifolds and warped product
Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa, Yukihiko Okuyama, Kimitake Sato
Journal of Geometry, 108, 3, 1175, 1191, Birkhauser Verlag AG, 2017年12月01日, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Sasakian statistical manifolds
Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa, Yukihiko Okuyama, Kimitake Sato, Mohammad Hasan Shahid
JOURNAL OF GEOMETRY AND PHYSICS, 117, 179, 186, 2017年07月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Sasakian statistical manifolds II
Hitoshi Furuhata
Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics), 10589, 179, 185, Springer Verlag, 2017年, ［査読有り］
英語, 研究論文（国際会議プロシーディングス） - Submanifold theory in holomorphic statistical manifolds
Hitoshi Furuhata, Izumi Hasegawa
Geometry of Cauchy-Riemann Submanifolds, 179, 215, Springer Singapore, 2016年01月01日, ［査読有り］, ［招待有り］
英語, 論文集(書籍)内論文 - Projective surfaces and pre-normalized Blaschke immersions of codimension two
FUJIOKA Atsushi, FURUHATA Hitoshi, SASAKI Takeshi
Int. Electron. J. Geom., 9, 100, 110, 2016年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Projective minimality for centroaffine minimal surfaces
Atsushi Fujioka, Hitoshi Furuhata, Takeshi Sasaki
Journal of Geometry, 105, 1, 87, 102, 2014年04月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - HESSIAN MANIFOLDS OF NONPOSITIVE CONSTANT HESSIAN SECTIONAL CURVATURE
Hitoshi Furuhata, Takashi Kurose
TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL, 65, 1, 31, 42, 2013年03月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Statistical hypersurfaces in the space of Hessian curvature zero II
FURUHATA Hitoshi, HU Na, Luc VRANCKEN
J. Van der Veken, I. Van de Woestyne, L. Verstraelen, L. Vrancken (eds.), Pure and Applied Differential Geometry - PADGE 2012 In Memory of Franki Dillen, Shaker Verlag GmbH, Germany, 136, 142, Shaker Verlag GmbH, 2013年, ［査読有り］, ［招待有り］
英語, 研究論文（国際会議プロシーディングス）, We construct cylindrical statistical immersions between spaces of Hessian curvature zero.The words "statistical submanifold" can be found in the paper [5] in 1989, which was written by Vos in the context of statistical inference or information geometry. Although the history of this geometry is not so short, it is hard to find classical differential geometric approaches for the study of statistical submanifolds. In this paper, we would like to continue to try it after [2], and give some of basic examples of statistical submanifolds apart from applications for statistics. In other words, we will study immersions between statistical manifolds preserving statistical structures, which are called statistical immersions, in particular, called statistical hypersurfaces if the codimension equals one. We take a space Nn in Definition 1.1, which can be considered as a basic model of a statistical manifold of dimension n. The space Nn has been known as a Hessian manifold of constant Hessian curvature zero. In [2], a statistical hypersurface of a Hessian manifold of constant Hessian curvature negative into the space Nn+1 is uniquely determined. Besides, there exist no statistical hypersurfaces of a Hessian manifold of constant Hessian curvature positive into the space Nn+1. On the other hand, we have plenty of statistical hypersurfaces of Nn into Nn+1. In this paper, we determine statistical diffeomorphisms of Nn onto itself, and statistical hypersurfaces of Nn into Nn+1 with vanishing statistical second fundamental form (Propositions 2.1 and 2.2). Moreover, we explicitly construct and determine statistical immersions of a domain of N2 into N3 of cylinder type (Theorem 3.1).Pure and Applied Differential Geometry - PADGE 2012 In Memory of Franki Dillen, Shaker Verlag GmbH, Germany, ISBN: 9783844023633, (2013), 136-142. - Statistical hypersurfaces in the space of Hessian curvature zero
Hitoshi Furuhata
DIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS, 29, S86, S90, 2011年08月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Hypersurfaces in statistical manifolds
Hitoshi Furuhata
DIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS, 27, 3, 420, 429, 2009年06月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - The center map of an Affine immersion
Hitoshi Furuhata, Luc Vrancken
Results in Mathematics, 49, 3-4, 201, 217, 2006年12月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Self-dual centroaffine surfaces of codimension two with constant affine mean curvature
H Furuhata, T Kurose
BULLETIN OF THE BELGIAN MATHEMATICAL SOCIETY-SIMON STEVIN, 9, 4, 573, 587, 2002年10月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Codazzi structures induced by minimal affine immersions
FURUHATA Hitoshi
Banach Center Publ., 57, 17, 19, 2002年, ［査読有り］
英語, 研究論文（国際会議プロシーディングス） - Minimal centroaffine immersions of codimension two
H Furuhata
BULLETIN OF THE BELGIAN MATHEMATICAL SOCIETY-SIMON STEVIN, 7, 1, 125, 134, 2000年01月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - A conformal gauge invariant functional for Weyl structures and the first variation formula
ICHIYAMA Toshiyuki, FURUHATA Hitoshi, URAKAWA Hajime
Tsukuba Math. J., 23, 3, 551, 564, Institute of Mathematics, University of Tsukuba, 1999年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - An intrinsic characterization of isometric pluriharmonic immersions with codimension one
Hitoshi Furuhata
Journal of Geometry, 65, 1-2, 111, 116, Birkhauser Verlag Basel, 1999年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Holomorphic centroaffine immersions and the Lelieuvre correspondence
FURUHATA Hitoshi, MATSUZOE Hiroshi
Result. Math., 33, 294, 305, 1998年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Open problems in affinedifferential geometry and related topics
FURUHATA Hitoshi, MATSUZOE Hiroshi, URAKAWA Hajime
Interdiscip. Inform. Sci., 4, 2, 125, 127, 東北大学, 1998年, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌）, The following problems were raised in the workshop "Affine Differential Geometry and Related Topics" at Graduate School of Information Sciences, Tohoku University at December 16-18, 1996. - A cylinder theorem for isometric pluriharmonic immersions
H Furuhata
GEOMETRIAE DEDICATA, 66, 3, 303, 311, 1997年07月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Moduli space of isometric pluriharmonic immersions of Kahler manifolds into indefinite Euclidean spaces
H Furuhata
PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS, 176, 1, 1, 14, 1996年11月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌） - Isometric Pluriharmonic Immersions of Kaehler Manifolds into Semi-Euclidean Spaces
FURUHATA Hitoshi
Tohoku Math. Publ., 1, 1, 70, 東北大学, 1995年, ［査読有り］
英語, 学位論文（博士） - CONSTRUCTION AND CLASSIFICATION OF ISOMETRIC MINIMAL IMMERSIONS OF KAHLER-MANIFOLDS INTO EUCLIDEAN SPACES
H FURUHATA
BULLETIN OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY, 26, 487, 496, 1994年09月, ［査読有り］
英語, 研究論文（学術雑誌）
その他活動・業績
書籍等出版物
- 感じる数学 : ガリレイからポアンカレまで = Tangible math
数学みえる化プロジェクト, 北海道大学総合博物館, 正宗, 淳
共立出版, 2022年08月, 9784320114784, x, 196p, 日本語, ［分担執筆］ - 曲面 ---幾何学基礎講義
古畑 仁
数学書房, 2013年, 9784903342382, ［単著］ - 北大高校生講座 数学の並木道
北大数学科, 中村郁, 第５章 形をはかる話
日本評論社, 2004年, 4535784116, 日本語, ［分担執筆］
講演・口頭発表等
- 確率単体の統計部分多様体
古畑仁
確率論・幾何学・数値解析の情報交換会, 2026年03月28日
2026年03月28日 - 2026年03月30日, ［招待講演］ - Statistical Submanifolds and Statistical Biharmonic Maps
Hitoshi Furuhata
The 22nd OCAMI-RIRCM Joint Differential Geometry Workshop on Submanifolds in Symmetric Spaces and Related Topics, 2026年02月22日
2026年02月21日 - 2026年02月23日, ［招待講演］ - 統計多様体にまつわる二重の調和性・非調和性
古畑仁
福岡大学微分幾何研究集会2024, 2025年02月15日
2025年02月15日 - 2025年02月17日, ［招待講演］ - 統計2重調和写像
上野龍, 古畑仁
日本数学会２０２４年度年会幾何学分科会, 2024年03月17日, 日本語, 口頭発表（一般）
2024年03月17日 - 2024年03月20日 - A class of mappings between statistical manifolds
古畑仁
RIMS共同研究(公開型) 部分多様体と群作用の幾何学, 2023年06月28日
2023年06月26日 - 2023年06月28日, ［招待講演］ - 「幾何学と言えば三角形」は本当か？
古畑仁
北海道算数数学教育会高等学校部会研究部数学教育実践研究会第125回研究会, 2023年06月10日, 日本語, 口頭発表（招待・特別）
2023年06月10日 - 2023年06月10日, ［招待講演］ - 数学をすべての人々へ アウトリーチの試み
古畑仁
令和4年度数学部門第1回FD研修会（北海道大学大学院理学研究院）, 2023年02月10日
2023年02月10日 - 2023年02月10日, ［招待講演］ - 幾何学者たちのヘレネー
古畑仁
北大道新アカデミー, 2022年07月22日, 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等 - 統計多様体は tangible か
古畑仁
北海道大学大学院理学研究院数学部門談話会, 2022年05月25日, 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等 - 双極小統計部分多様体といくつかの問題
古畑仁
Tsudoi KK, 2022年03月18日 - 統計部分多様体に対する不等式
古畑仁
福岡大学微分幾何セミナー, 2022年02月17日
［招待講演］ - 統計多様体の部分多様体論
古畑仁
日本数学会２０２１年度秋季総合分科会, 2021年09月16日, 日本語, 口頭発表（招待・特別）
［招待講演］ - 余等質性1の中心アファイン曲面
藤岡敦, 古畑仁
日本数学会２０２０年度年会幾何学分科会（開催中止）, 2020年03月16日, 口頭発表（一般） - 統計断面曲率とワープ積統計多様体
佐藤直飛, 古畑仁, 長谷川和泉
日本数学会２０２０年度年会幾何学分科会（開催中止）, 2020年03月16日, 口頭発表（一般） - Statistical submanifolds and warped product spaces
古畑 仁
The 18th International Conference, Graduate School of Mathematics, Nagoya University, Information Geometry and Affine Differential Geometry III, 2019年03月28日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - Centroaffine surfaces of cohomogeneity one
古畑 仁
研究集会「幾何学のスペクトル」, 2018年12月15日, 日本語, 口頭発表（一般）
［国内会議］ - 統計多様体，具体例からの入門
古畑 仁
ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (10), 2018年11月16日, 日本語
［国内会議］ - 統計多様体の定曲率空間
古畑 仁
福岡大学微分幾何研究集会（Geometry and Analysis 2018）, 2018年11月04日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - Sasakian statistical manifolds and hypersurfaces
古畑 仁
PNU-HU Joint Symposium, 2017年12月19日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - Sasakian statistical manifolds and warped product
古畑 仁
Seminar on Differential Geometry, 2017年11月13日, 英語, 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
［招待講演］, ［国際会議］ - Sasakian statistical manifolds II
古畑 仁
3rd conference on Geometric Science of Information, 2017年11月09日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - 中心写像から見た曲面の中心アファイン幾何学
古畑 仁
第６４回幾何学シンポジウム, 2017年08月28日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - アファイン空間の曲線論入門
古畑 仁
第５回水戸幾何セミナー, 2017年07月07日, 日本語, 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
［招待講演］, ［国内会議］ - 剱持統計多様体
古畑 仁
関大微分幾何研究会, 2017年06月25日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - 佐々木構造をもつ統計多様体
古畑 仁
名城研究集会「多様体上の計量と幾何構造」, 2017年03月04日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - もう一度はじめから，本当のアファイン曲線
古畑 仁
北海道大学幾何学コロキウム, 2016年04月22日, 日本語, 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
［招待講演］, ［国内会議］ - 正則統計多様体のＣＲ部分多様体
古畑 仁
福岡大学微分幾何学研究集会, 2015年10月30日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - Affine differential geometry and surfaces in the projective space
古畑 仁
研究集会「Differential Geoemetry with Dajczer」, 2015年10月06日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - 統計多様体の曲率
古畑 仁
ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (7), 2015年09月01日, 日本語, 口頭発表（一般）
［国内会議］ - 正則統計多様体とその曲率
古畑 仁
RIMS共同研究「統計多様体の諸分野への応用」, 2014年11月19日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - ヘッセ多様体とアファイン球面
古畑 仁
ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (5), 2014年01月10日, 日本語, 口頭発表（一般）
［国内会議］ - 中心アファイン極小曲面の射影極小性
古畑 仁
福岡大学微分幾何学研究集会, 2013年11月02日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - 接続の幾何学における部分多様体論にむけて
古畑 仁
ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (4), 2013年03月02日, 日本語, 口頭発表（一般）
［国内会議］ - Statistical immersions of spaces of constant Hessian curvature
古畑 仁
The 8th HU and SNU Symposium on Mathematics -Recent developments of Geometry and Topology-, 2012年12月07日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - Geometry of statistical submanifolds
古畑 仁
PADGE2012, 2012年08月29日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - Submanifold theory for statistical manifolds
古畑 仁
Workshop on Differential Geometry, 2012年06月08日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - A realization problem for statistical manifolds
古畑 仁
福岡大学微分幾何学研究集会, 2011年11月03日, 英語, 口頭発表（一般）
［国際会議］ - Statistical Immersions
古畑 仁
RIKEN Workshop on Information Geometry, 2011年08月31日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - 部分多様体の微分幾何学と統計多様体
古畑 仁
第１３回ＤＣＳセミナー, 2011年05月25日, 日本語, 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
［招待講演］, ［国内会議］ - 定曲率 Hesse 多様体のモデルについて
古畑 仁
研究集会「擬リーマン幾何学の展開III」, 2010年12月19日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - Statistical manifolds --- Hypersurfaces and complex structures
古畑 仁
ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (2), 2010年10月29日, 日本語, 口頭発表（一般）
［国内会議］ - Statistical submanifolds and spaces of constant Hessian sectional curvature
古畑 仁
Differential Geometry and its Applications, 2010年08月28日, 英語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国際会議］ - Centroaffine Surfaces with Special Center
古畑 仁
松江微分幾何学研究会２００９, 2009年12月11日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - 統計多様体の微分幾何学入門
古畑 仁
北海道大学特異点論セミナー, 2009年11月27日, 日本語, 公開講演，セミナー，チュートリアル，講習，講義等
［招待講演］, ［国内会議］ - Spaces of non-positive constant Hessian curvature
古畑 仁
福岡大学微分幾何学研究集会, 2009年11月20日, 日本語, 口頭発表（一般）
［招待講演］, ［国内会議］ - Examples of Statistical Manifolds
古畑 仁
ミニワークショップ 統計多様体の幾何学とその周辺 (1), 2009年09月06日, 日本語, 口頭発表（一般）
［国内会議］
共同研究・競争的資金等の研究課題
- 等質空間と部分多様体の統計構造の幾何学
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
2022年04月 - 2027年03月
古畑 仁
日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 研究代表者, 22K03279 - 諸分野に現れるアファインはめ込みの研究
2014年04月 - 2018年03月
古畑 仁
研究代表者, 競争的資金 - 現代的観点による古典的微分幾何の展開とその応用
科学研究費助成事業
2010年04月01日 - 2015年03月31日
黒瀬 俊, 陶山 芳彦, 濱田 龍義, 川久保 哲, 松浦 望, 井ノ口 順一, 古畑 仁, 藤岡 敦
さまざまな空間においてその中の曲線や曲面などの性質を調べる古典的微分幾何について、主に可積分系理論などの近年発展してきた解析手法を用いて研究をすすめ、古典的微分幾何とその応用に関する多くの結果を得た。特に、一定の規則に従って時間変化する曲線から可積分系理論の方程式が自然に現れることを利用して、可積分系理論の成果に幾何学的な表現・解釈を与えた。また、古典的微分幾何を応用して、数理統計や情報理論を微分幾何的な道具と手法を用いて研究する際に現れる幾何的対象の性質や構造の一端を明らかにした。
日本学術振興会, 基盤研究(C), 22540107 - 部分多様体にあらわれる統計構造の幾何学
2009年04月 - 2013年03月
古畑 仁
研究代表者, 競争的資金 - 微分式系と階別単純リー環に附随する幾何構造の研究
科学研究費助成事業
2007年 - 2010年
山口 佳三, 泉屋 周一, 小野 薫, 石川 剛郎, 松本 圭司, 古畑 仁, 八ツ井 智章, 中居 功, 小沢 哲也, 佐々木 武
背足の原理から導かれる、有限型微分方程式系の中で、無限小接触自己同型群が例外的に豊富となるクラスを決定し、このクラスの有限型微分方程式系のモデル方程式を具体的に記述した。また、二階接触幾何学において基本的な二つのReduction課程を整備し、これを二つの定理として定式化した。
日本学術振興会, 基盤研究(B), 北海道大学, 19340012 - 現代的観点による古典的微分幾何の再構築とその応用
科学研究費助成事業
2006年 - 2009年
黒瀬 俊, 陶山 芳彦, 濱田 龍義, 川久保 哲, 松浦 望, 山田 光太郎, 井ノ口 順一, 古畑 仁
古典的微分幾何を可積分系理論・特異点論などの現代的手法を用いて研究することにより、古典的微分幾何の諸分野とその応用に関して、特に曲線の運動を用いた可積分系の幾何的研究、4次元空間形内の共形平坦超曲面の具体的構成と分類、複素空間形内の実超曲面、3次元空間内の曲面論、アフィン微分幾何とそのヘッセ幾何・情報幾何への応用等に関して多くの新たな知見を得、また今後の研究の進展の基礎を築いた。
日本学術振興会, 基盤研究(C), 福岡大学, 18540103 - アファインはめ込みの大域的理論と情報幾何学の基礎的研究
2003年04月 - 2006年03月
古畑 仁
研究代表者, 競争的資金 - 現代的観点による古典的微分機何の再構築とその応用
科学研究費助成事業
2003年 - 2005年
黒瀬 俊, 陶山 芳彦, 濱田 龍義, 山田 光太郎, 井ノ口 順一, 古畑 仁
本研究では、古典的微分幾何の諸理論を現代的な手法、特に可積分系理論や特異点理論の手法を用いて基礎から書き直すことで新たな展開をはかった。本研究の成果は多岐にわたっているが、以下にそのうちの主なもののみをあげる。
1.(1)古典的微分幾何の中核理論の一つであるアフィン微分幾何において、アフィン超球面を中心に研究し、表現公式、スペシャル・ケーラー多様体の一般化である正則統計多様体との関係、その中心写像の性質を明らかにした。また、アフィン平面曲線および中心アフィン平面曲線を離散化し、差分ソリトン方程式に従うような時間発展を与えた。(2)4次元ユークリッド空間の共形平坦超曲面の古典例を特徴づけ、新しい例を構成した。(3)複素空間形内の実超曲面に新たな幾何的不変量を導入し、それを用いてホップ実超曲面の分類などを行った。
2.特異点をもつ曲面の微分幾何的な性質について考察し、(1)3次元双曲型空間のある種の特異点をもつ平坦な曲面(平坦フロント)のクラスを定義しその理論を構築した。特に、(弱)完備性の概念を定義することにより、平坦フロントの大域的な性質を明らかにした。(2)3次元ミンコフスキー空間の極大曲面の特異点の性質を調べ、特異点の一種であるcuspidal cross capの判定条件を与えた。さらに、3次元ミンコフスキー空間のある種の特異点を許す空間的極大曲面(極大面)のクラスを定義し、その大域的な性質を明らかにした。
3.曲面の変換について調べ、特にメビウス幾何における球叢を用いた変換は複素化された線叢で得られることを示した。また、3次元等質空間内の重調和曲線・曲面を考察し、特に3次元既約標準簡約等質空間内の重調和曲線を決定した。
日本学術振興会, 基盤研究(C), 福岡大学, 15540100 - 極小アファイン曲面の計量微分幾何学的研究
2001年04月 - 2003年03月
古畑 仁
研究代表者, 競争的資金 - アファインはめ込みの情報幾何学的研究
1999年04月 - 2002年03月
古畑 仁
稲盛財団, 研究代表者, 競争的資金 - 可積分測地流とマスロフの量子化条件
科学研究費助成事業
2001年 - 2002年
清原 一吉, 古畑 仁, 石川 剛郎, 泉屋 周一, 五十嵐 雅之, 島田 伊知朗
我々はまず2次元球面上のリーマン計量で、その測地流がファイバーごとに3次以上の多項式であるような第一積分を持つものの族を、すべての次数に対して構成した。このようなものは次数3、4に対する、ボルジノフとフォメンコの例を除けば、初めてのものである。さらに、ここで構成されたものはすべての測地線が閉じている多様体になっていて、ギルミンによってその存在が示昏れたものの具体例になっている。
また一般的なケーラー・リウヴィル多様体の構造を詳しく調べ、コンパクトでプロパーなケーラー・リウヴィル多様体は正則なファイバー束の構造を持ち、ファイバーは可積分測地流を持つケーラー・リウヴィル多様体、底空間は局所的に1次元ケーラー多様体の直積であるという構造定理を得た。特に、新たにtype(B)という可積分測地流を持つクラスを得た。これは以前にtype(A)のケーラー・リウヴィル多様体について、それを全空間とするファイバー束の構造を調べた時、そのファイバーとして現れたものであるが、そのような埋め込みによらない、一般的な定義を得ることができた。
さらに我々はエルミート・リウヴィル多様体の局所的構造を研究し,それをほぼ完全に解明した。さらに、複素射影空間上にケーラーでないエルミート・リウヴィル多様体の構造を構成した。これは複素射影空間上のケーラー・リウヴィル多様体の構造が実射影空間上のある種のリウヴィル多様体の構造から「複素化」によって得られる、その過程を複数の要素に分離し、いくつかのリウヴィル多様体の構造から1つのエルミート・リウヴィル多様体の構造を導き出すものである。初めのリウヴィル多様体が単一の時はケーラー・リウヴィル多様体になる。従って、非常に沢山の可積分測地流が得られたことになる。
日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 13640054 - アフィン幾何・射影幾何の現代的研究とその応用
科学研究費助成事業
2000年 - 2002年
黒瀬 俊, 山田 光太郎, 濱田 龍義, 陶山 芳彦, 古畑 仁, 井ノ口 順一, 松添 博
本研究では、研究の主対象たる古典的微分幾何・研究手法としての可積分系の理論・応用対象としての情報幾何のそれぞれについて組織的に研究を進め、以下のような成果を得た。
1.古典的微分幾何 (1)極小アフィン超曲面と余次元2の極小中心アフィンはめ込みの内的な特徴づけを与えた。さらに、余次元2の自己双対極小中心アフィン曲面の具体的な構成法を与えた。
(2)射影平坦かつ捩れを持たないアフィン接続が与えられた多様体に対し、そのリッチ曲率が対称かつ定値になるときの射影展開写像の単射性と像の凸性について基本的な結果を与えた。
(3)4次元球面内の共形平坦な超曲面に対し、新しい共形不変量を定義して古典例を特徴づけ、さらにこれまで知られていなかった新しい例を構成した。
(4)3次元等質空間の曲線と曲面に対する非常に具体的かつ包括的な理論を展開した。
2.可積分系の理論 古典的微分幾何に現れるさまざまな可積分系を調べ、3次元可解リー群の極小曲面や3次元双曲型空間の平坦な曲面など、3次元空間内の特徴的な曲面に対する表現公式を与えた。平均曲率の逆数が調和関数になる3次元のリーマン空間形およびローレンツ空間形における(空間的)曲面の総合的な理論を展開した。
3.情報幾何と統計多様体 (1)複素統計多様体を定義し、アフィン微分幾何や情報幾何(特に量子推定理論)とのかかわりについて研究した。
(2)スペシャル・ケーラー多様体の拡張として、ある適合条件を満たす複素構造を持つ統計多様体を定義し、その基本的な性質を調べた。
(3)(-1)-共形平坦な統計多様体において、計算幾何において重要な応用を持つボロノイ図の具体的な構成法を与えた。
日本学術振興会, 基盤研究(C), 福岡大学, 12640097 - ワイル構造および統計構造とアファインはめ込みの幾何学の研究
1999年04月 - 2001年03月
古畑 仁
研究代表者, 競争的資金 - Affine Immersions and Statistical Structures
2000年
競争的資金 - 一般余次元のアファインはめ込みの分類および構成
1997年04月 - 1999年03月
古畑 仁
研究代表者, 競争的資金 - ループ空間上の確率解析
科学研究費助成事業
1998年 - 1999年
会田 茂樹, 桑江 一洋, 関根 順, 長井 英生, 吉田 伸生, 数見 哲也, 古畑 仁, 岡田 正巳, 浦川 肇
平成10・11年度の主たる成果は次の通りである.
1.無限次元空間上の拡散過程の短時間挙動を研究した.
2.Wiener空間の中の部分集合がある意味で連結なときその上で定義された拡散過程が既約になることを証明した.
3.時刻1でpinnedした拡散過程について,Clark-Ocone-Haussmann formula(=COH formula)を証明した.
もう少し詳しく説明しよう.
1:FangがOrnstein-Uhelenbeck過程について証明していた推移確率の時間が0に収束したときの漸近挙動の研究を一般の変数係数の場合に一般化したものである.Wangの不等式とよばれるHarnack型の不等式が鍵になる.
2:会田は以前コンパクト多様体上のループ空間を考えるときその各ホモトピー類でディリクレ形式が既約になることを証明した.その際,楠岡成雄氏による定理を用いたがここでは楠岡氏の仮定より弱い仮定の下で既約性を与える定理を示した.
3の応用として双曲型空間の上のpinned Brownian motionについて非有界な拡散係数をもったディリクレ形式について対数ソボレフ不等式を証明した.また特別な多様体に対してであるが2で述べたループ空間上の既約性の別証明も与えた.Pinned measureについては対数ソボレフ不等式,スペクトルギャップの存在など不明であったがこの結果はポジティブな方向の初めての結果といえる.COH-formula自身は拡散過程の熱核(推移確率)の時刻0での振る舞いがあまり悪くないような場合に成立する.従ってCOH-formulaは双曲型空間を含むある多様体のクラスで成立するはずだが,その研究は今後の課題である.
日本学術振興会, 基盤研究(C), 10640147 - ケーラー多様体からユークリッド空間への等長はめ込みの研究
1995年04月 - 1996年03月
古畑 仁
研究代表者, 競争的資金
学術貢献活動
