共同研究・競争的資金等の研究課題

• Gevreyクラスの多重強漸近展開と漸近解の研究
  科学研究費助成事業
  2021年04月01日 - 2024年03月31日
  本多 尚文
  本研究課題では、偏微分方程式系の多重強漸近展開可能解のより詳細な漸近挙動を解析する為にGevrey級の多重強漸近展開可能層を導入し、その性質を研究する。また、偏微分方程式系のGevrey級多重強漸近展開可能な解のなす層に対し順像定理や逆像定理を示すことで、異なる多重強漸近展開可能解の相互の関係を明らかにする。これらの結果を用いることで極大過剰決定系の多重強漸近展開可能解に関する存在定理等の基本的な性質を明らかにすることが目的である。
  この目的を達成するには、基本的な道具である多重特殊化関手の理論の拡張と整備がまず必要である。実際、今までの理論では複数の部分多様体の配置にかなり強い条件を必要としていたが、本研究課題を実行するには、それを弱める必要があった。本年度は、Padova大学のLuca Prelliと伴にこの点に関して理論の整備と拡張をおこなった。特に、複数の部分多様体の配置が縮退している場合についての多重錘の幾何の特徴付けに成功した。この場合は、今までの幾つかの錘の交差によって幾何を記述する方法は用いることが出来ない。そこで、多様体に付随する或る種の単項式の生成する半群を準備し、この半群によって幾何的対象を記述した。この場合、記述された幾何が良い性質を持つかは自明のことではなくなり、研究が必要であった。最終的には、cohomology的に自明となる非常に良い性質を持った幾何が現れることを示す事が出来た。
  漸近展開理論を展開するには、更に、このような集合上でのWhitney正則関数のコホモロジー消滅定理が必要であるが、その問題についても満足できる結果が得られた。
  以上の結果については、現在Luca Prelliと論文を作成中である。
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 21K03284
• 複雑領域における楕円型方程式系のスペクトル解析と応用
  科学研究費助成事業
  2019年04月01日 - 2023年03月31日
  神保 秀一, 本多 尚文
  領域変形と楕円型方程式系におけるスペクトルの摂動問題を継続して研究している. 以下ケースごとの研究内容を記述する. (I) ストークス方程式の固有値問題についてアダマールの変分公式を研究協力者の牛越氏と計算した. 摩擦項付きスリップ条件下での公式を得たがその表現が非常に複雑過ぎて自然な最終形の公式となっているかどうかを不明で未だ検討中である. 論文を完成するところまで到達していない. (II) 弾性体の新道に関する作用素の固有値問題を解析している (i)細い弾性体の低周波モードの解析を行っている. 以前断面が極端なアスペクト比をもつケースを牛越氏と調べ漸近公式を得たが, 複数のそれらを組み立てて出来る立体の場合を協力者である牛越氏本多氏とともに計算している. (ii) バルクな弾性体に小さな穴をあけたときの固有値の摂動問題を伊東氏と研究している. ２次元の場合の結果を見通すことが出来て漸近公式を計算したが, 当初の目標である３次元弾性体の穴や亀裂がある場合の解析には全然届いていない. (III) ダブルY型グラフ上のアレン・カーン方程式のダイナミクスの研究を森田氏岩崎氏と協力して行った. 定常解の構造およびヘテロクリニック軌道に対応する時間全域解を調べた. その際定常解の安定性を解析する新しい手法を考案した. さらに一般のグラフについてダイナミクスの研究を行う. また, グラフ上のHeat Kernel の具体的表現を得る手法を俣野氏と協力して考案した.それによって一般星型グラフなどの単純ながらループを含む場合にも可能な計算法を得た.
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 19K03576
• 種々の増大度を持つ解析的擬微分作用素の基礎理論の研究
  科学研究費助成事業
  2018年04月01日 - 2021年03月31日
  本多 尚文
  解析的擬微分作用素は局所コホモロージー群が定義する核関数として導入され、その表象理論が作られた。表象の列の増大度を制限することによって，GevreyクラスやWhitneyクラスのような種々の増大度を持つ解析的擬微分作用素のクラスを導入出来る。本研究課題はそれらのクラスの核関数を近年展開されているsubanalytic site上の層の理論やチェックドルボーコホモロジーの理論を用いて代数解析的手法で構成することが目的である。結果として研究代表者らが展開している多重超局所解析の範疇を含めて層の射の多重超局所関手を構成することで、これらの核関数の代数的な構成に成功した。
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 18K03316
• 特異あるいは極端形状をもつ領域と楕円型方程式系
  科学研究費助成事業
  2016年04月01日 - 2019年03月31日
  神保 秀一, 本多 尚文, 伊東 裕也, 牛越 惠理佳
  一様で等方的材質をもつ非一様な形状をもつ細い弾性体の固有振動に関する作用素を研究し, 固有値の分布を解明した. 曲げモードは細い領域においては固有値が小さくゼロ近傍に集積する. これの精密な漸近公式を領域の極限の線分上の方程式系として特徴付けた. 伸縮モードおよび捩れモードに相当する固有値の挙動を軸対称な場合に導出した. それらは変数係数の２階の常微分方程式となる. 地球地震学に現れる作用素のスペクトルの構造を解析した. 液体と固体が混在する弾性体をモデル化した線形楕円型作用素であり、離散スペクトル以外のものが発生し本質的スペクトが生じる. そして複素平面で有界集合をなすこと示した.
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 16K05218
• 多重超局所解析の基礎理論とその応用の研究
  科学研究費助成事業
  2015年04月01日 - 2018年03月31日
  本多 尚文
  多重超局所解析とは、複数の部分多様体に沿って同時に超局所化を行なうことを可能とする手法で、研究代表者らによって導入された. 本研究は、この多重超局所解析を偏微分方程式論等に応用する際に必要となる基礎理論を構築し，多重超局所作用素の理論を構築することが目標である.
  研究期間の前半２年では，縮退する場合を含むような一般的な場合まで理論を拡張した. 後半では，多重超局所作用素の理論を構成する上で，大変有効な手法であると考えられるチェックドルボー理論を超関数理論へ応用する研究を行い，幾つかの興味深い結果を得た.
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 15K04887
• パラメトリック・ストークス現象の代数解析
  科学研究費助成事業
  2014年04月01日 - 2018年03月31日
  青木 貴史, 中村 弥生, 鈴木 貴雄, 本多 尚文, 河合 隆裕, 竹井 義次, 山崎 晋, 小池 達也, 梅田 陽子
  超幾何微分方程式に含まれる3つの固有パラメータに大きなパラメータを1次関数として導入するとWKB解と呼ばれる形式解が構成できる。この構成は代数的、初等的に可能であるが得られた解は一般に発散し、そのままでは解析的な意味を持たない。この形式的に解をボレル総和法を適用することができ、解析的な解が構成できる。一方、超幾何微分方程式には超幾何関数で表示される標準的な解析解が知られている。本研究では、これらの古典的な解とWKB解のボレル和として得られる解の間の線型関係式を明らかにした。応用として超幾何関数のパラメータに関する漸近展開の公式を一般的に得た。ストークス現象を記述する式も併せて得られている。
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 近畿大学, 26400126
• 偏微分方程式の逆問題のインバージョンに関する数学的厳密性と実用可能性の研究
  科学研究費助成事業
  2016年 - 2018年
  中村 玄, 本多 尚文, 笹山 智司
  能動的サーモグラフィー, 光及び蛍光光トモグラフィー, バイブロサイス地盤解析法, MREやPVSのデータ解析法など幾つかの非破壊検査法に対する数学的にロジカルなインバージョン法の確立とその周辺研究を行い, 次の成果をあげた.
  1)拡散方程式に対するinterior transmission problemのGreen関数の構成とその逆問題への応用
  2)小介在物同定光トモグラフィー法に対するMUSIC法の確立
  3)蛍光光トモグラフィーの数値的に有効なインバージョン法(有効なinitial guessの探索法)の研究
  4)MREデータ解析のモデル方程式であるスカラーモデル方程式に対するLM法の収束性証明
  5)定常均質等方弾性方程式に対する3つのスカラー関数だけで表現される特殊なヘルムホルツ分解の完全性の証明とそのPVS逆問題への応用
  6)区分的に解析的な静・動非等方弾性方程式の境界値問題に対する一意性(バイブロサイス地盤解析法の数学的正当化)の証明
  7)非整数階時間微分を持つ拡散方程式に対する一意接続定理の証明
  日本学術振興会, 国際共同研究加速基金(帰国発展研究), 北海道大学, 15K21766
• 層とＤ加群のための境界値問題の代数解析的研究
  科学研究費助成事業
  2013年04月01日 - 2017年03月31日
  内田 素夫, 本多 尚文
  層とＤ加群のための境界値問題を定式化し，基本定理を証明した。またマイクロ微分方程式系に対する初期値問題を考察し，基本定理としてのコーシー・コワレフスカヤ型定理を（高次コホモロジー群まで考慮に入れた柏原正樹による定式化に倣つて）層の超局所化のことばで定式化し証明を与えた。
  日本学術振興会, 挑戦的萌芽研究, 大阪大学, 25610019
• 領域変形と弾性体, 電磁場の振動問題に現れる楕円型作用素の解析
  科学研究費助成事業
  2013年04月01日 - 2016年03月31日
  神保 秀一, 本多 尚文, 利根川 吉廣
  正則および特異的な領域変形に対する楕円型作用素(ラメ作用素,ストークス作用素, マックスウェル作用素)のスペクトルの研究を行った (i) 弾性体の斉次方程式の多項式解,有理型の関数の解の構成および構造の研究(本多氏,伊東氏と共同), (ii) ストークス作用素のHadamard型変分公式(Dirichlet条件の場合, 牛越氏と共同), スリップ境界条件の場合も計算を行った(牛越氏と共同), マックスウェル作用素につても同じ結果を得た. (iii) 小さな穴の開いた領域上のラメ作用素およびマックスウェル作用素の固有値の摂動公式, (iv) 細い棒による複合弾性体の低周波固有数の挙動,を求めた.
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 25400153
• インスタントン解の漸近解析
  科学研究費助成事業
  2010年04月01日 - 2014年03月31日
  青木 貴史, 鈴木 貴雄, 泉 脩藏, 松井 優, 中村 弥生, 本多 尚文, 河合 隆裕, 竹井 義次, 小池 達也
  本研究では大きなパラメータを持つ微分方程式の解の大域的性質の解析を完全WKB解析の立場から行った。本研究で得られた成果は大きく分けて三つ挙げられる．まず、パンルヴェ階層の高次方程式の形式的一般解である指数漸近級数解（インスタントン解）の構成を行った．また，大きなパラメータをもつ超幾何微分方程式のストークス曲線の位相的形状を方程式のパラメータの条件により分類した．さらに超幾何微分方程式に対してヴォロス係数の決定を行い，それらがボレル総和可能でありボレル和の具体形が求まることを示した．これにより超幾何微分方程式のWKB解に対してパラメータに関するストークス現象が記述可能となった．
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 近畿大学, 22540210
• 完全ＷＫＢ法における超局所解析
  科学研究費助成事業
  2011年 - 2013年
  本多 尚文, 内田 素夫
  本研究課題は、大きなパラメーターを持つ高階線形常微分方程式およびパンルベ階層などの非線形常微分方程式系のストークス現象を研究したものである。
  高階の線形常微分方程式のなすストークス幾何は大変複雑であり、接続係数を求める問題は決して自明でない。この問題に対し、ある種の指標を用いることで、各ストークス曲線上のストークス接続係数を順番に求めるアルゴリズムを構成することに成功した。
  また、パンルベ階層(PI)_mに対して、そのストークス現象を考察する上で重要なインスタントン解を構成することに成功した。ここでの手法は他のパンルベ階層に対しても有効であり、更なる応用が期待される。
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 23540178
• 複合構造をもつ領域上のラメ作用素の固有値問題
  科学研究費助成事業
  2010年 - 2012年
  神保 秀一, 本多 尚文, 中村 玄
  弾性体の振動特性を表すラメ作用素の固有値問題を解析した.細い(特異的な)領域やそれらを接合した領域の固有値の漸近挙動を記述する極限固有値問題を得た.それらは局所的には1次元のグラフ上の4階の常微分作用素の固有値問題になり,頂点においては複雑な両立条件を有する.また,弾性係数が退化するようなラメ作用素の固有値問題の漸近解析を行い,極限系を得た.極限系は流体力学に現れるストークス作用素の固有値問題となる.そして境界条件としてディリクレ条件またはスリップ境界条件が現れる.
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 22540216
• 弾性方程式族の逆問題研究
  科学研究費助成事業
  2010年 - 2012年
  中村 玄, 神保 秀一, 本多 尚文, 川下 美潮, 田沼 一実, 渡邊 道之, 代田 健二
  生体組織の粘弾性率を非侵襲的に測定するelastographyのデータ解析とそれに関連する放物型方程式に対するLSM(linear sampling method)及び異常拡散方程式に対するCarleman評価について研究し、十分な成果を挙げた。この数年間研究を行ってきた深さ方向に非均質な残留応力を持つ半無限弾性体に対するRayleigh波の速度分散公式を完成した。通常の橋やビルの構造物の基本ユニットであるコンクリート・鉄接合梁のコネクターの損傷同定問題に対する逆解析手法を与えた。
  日本学術振興会, 基盤研究(B), 北海道大学, 22340023
• フックス型偏微分方程式系の代数解析的・超局所的視点からの研究
  科学研究費助成事業
  2008年 - 2012年
  山崎 晋, 青木 貴史, 本多 尚文
  (1)実解析的線型偏微分方程式系(D加群)に対し,本多尚文氏(北海道大学)による非正則度の条件を課せば,対応するジュヴレイ函数及び超分布解に対して非特性初期値,境界値が定義出来た.更に(弱)双曲型という条件下で,コーシー問題及び境界値問題の一意可解性が証明出来た.(2)正則特殊化可能系に対し,田原秀敏氏(上智大学)による非正則度の仮定の下で,境界に於いて延長可能なシュヴァルツ超函数及び超分布解に対する境界値写像を定義する事が出来た.(3)青木貴史氏(近畿大学),本多尚文氏(北海道大学)との共同研究で,解析的範疇の無限階擬微分作用素の新たなコホモロジー表現及び表象理論が確立出来た.
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 日本大学, 20540191
• 仮想変わり点の定めるリーマン面上のストークス幾何の研究
  科学研究費助成事業
  2008年 - 2010年
  本多 尚文
  本研究課題の目的は,完全WKB解析における仮想変わり点の幾何を解明することである。研究代表者は、仮想変わり点のなすリーマン面を構成し、それ上に深さ関数と呼ばれる、ストークス曲線の依存関係を表す指標を構成した。深さ関数は、互いに複雑に依存しているストークス曲線と仮想変わり点の関係を表す量であり、この関数を用いることにより様々な性質を帰納的に証明することが出来るようになる。そのような深さ関数の応用として、ストークス曲線上の接続係数を与えるアルゴリズムの正当性を示した。
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 20540150
• 偏微分方程式の未知境界・係数同定逆問題の再構成スキームの研究
  科学研究費助成事業
  2007年 - 2009年
  中村 玄, 本多 尚文, 利根川 吉廣, 平良 和昭, 磯崎 洋, 山本 昌宏, 代田 健二, 渡邊 道之, 大江 貴司, 多久和 英樹
  1)散乱の逆問題、2)thermography、3)流体方程式の逆問題に対して、新しい再構成スキームや各種再構成スキームの関連、包括的枠組を与えた。
  日本学術振興会, 基盤研究(B), 北海道大学, 19340028
• 微分方程式系の完全WKB解析
  科学研究費助成事業
  2006年 - 2008年
  青木 貴史, 本多 尚文, 大野 泰生, 中村 弥生, 松井 優, 本多 尚文, 中村 弥生
  大きなパラメータを自然な形で含む連立非線型微分方程式系の形式解を構成するためには,主要部を決定する代数方程式系を解く必要がある.方程式の階数や方程式の個数が大きい場合は代数方程式系が複雑なものとなり,一見したところでは主要部が決定可能かどうかの判定は困難である.本研究では,この間題に関して主要部が決定可能であることを保証する幾つかの条件を与えた.これらの条件を実際の例に適用して重要な方程式系に対する形式解の存在が証明された.
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 近畿大学, 18540197
• 特異領域変形,係数退化を伴う楕円型作用素のスペクトル漸近解析と応用
  科学研究費助成事業
  2005年 - 2008年
  神保 秀一, 中村 玄, 立澤 一哉, 本多 尚文, 森田 善久, 倉田 和浩
  1. 典型的な2階楕円型作用素において, 特異的な領域変形の過程あるいは変数係数が特異摂動を受ける過程において, 固有値の漸近挙動を解析した. 扱った作用素はラプラス作用素, ラメ作用素, マクスウェルの作用素シュレディンガー作用素などである.
  2. ジャンクションをもつ集合上のギンツブルク-ランダウ方程式の解構造を解析した. 分岐や安定性を調べた.
  日本学術振興会, 基盤研究(B), 北海道大学, 17340042
• Gevrey超関数に対する緩増大関手の研究
  科学研究費助成事業
  2001年 - 2002年
  本多 尚文
  本研究はSchwartz超函数に対する緩増大関手を拡張しGevrey超函数に対しても同様のGevrey緩増大関手を構成する事を目的としている。Schwartz超函数に対する緩増大関手はM.Kashiwaraによって構成され、Riemann-Hilbert対応を具体的に与える関手となっている。このように、緩増大関手は確定特異点型の極大過剰決定系等の研究に於いて重要な道具となっている。一方、不確定特異点型の極大過剰決定系の研究に於いては、その解が指数的な発散を一般に伴うため、指数的な増大度を持つような緩増大関手の構成が望まれる。その構成は、Gevrey超函数の台の分解がSchwartz超函数の場合のように上手くいかず、本質的に困難な問題が存在する。本研究者はこの問題をGevrey超函数の概念を拡張する事によって解決する事を試みた。この拡張は対象となる超函数の台が特異点を持たない場合は既存のGevrey超函数に一致するようなものである。他方、超函数の台が特異点を持つ場合には、もはや既存の超函数には一致せず、一般にはより大きい空間となる。このような拡張されたGevrey超函数を用いることで、実2次元以下の場合はGevrey増大関手の構成に成功した。しかし、実3次元以上でこの拡張は、Gevrey超函数の台の分解に対して不十分である事を示す特異な例も見つかった。従って、より大きな拡張が必要になる。特異な例は、実3次元以上では拡張されたGevrey超函数の層のみならず、それをある意味含むような複体を直接考察する必要性を示唆していると考えられる。そこで、Gevrey超函数層を係数とするSubanalytic setsの複体を考察したが、まだ、最終的な構成までは至っていない。この問題を今後も考察し、最終的な構成に至る予定である。なお、実2次元以下の構成方法は論文を投稿中である。
  日本学術振興会, 若手研究(B), 北海道大学, 13740086
• 過剰決定系のG_2幾何学
  科学研究費助成事業
  1998年 - 1999年
  山口 佳三, 中路 貴彦, 井上 純治, 上見 練太郎, 本多 尚文, 久保田 幸次
  本研究は、単純Lie環をその接触変換全体として持つ二階の系の内、特に例外型単純Lie環を無限小接触自己同型として持つ二階の系として、二階の過剰決定系のG_2-幾何学の研究を行うことである。
  歴史的には、E.Cartanが、次の過剰決定系Rを不変にする無限小接触変換の成すリー環が例外型単純リー環G_2であることを見いだした。
  R={(∂^2z)/(∂x^2)=1/2((∂^2z)/(∂y^2))^2,(∂^2z)/(∂x∂y)=1/3((∂^2z)/(∂y^2))^3}
  本研究の目的は、E.Cartanが発見した上記の例外型単純リー環G_2に随伴する特別な過剰決定系をより深く理解するために、他の単純リー環に対しても随伴する過剰決定系を構成しexplicitに書き下ろそうとするものであった。
  昨年度は、すべての例外型単純Lie群Gに対して、Boothy typeの接触多様体J=G/Pをもとに、E.CartanによるG_2モデル(例外単純リー環G_2を接触自己同型として持つ二階のsystem)の構成を他の例外型単純リー環の場合にも拡張し、古典型の場合への拡張も行った。
  今年度は、昨年度の一般論の定式化を踏まえ、具体的な計算を行い古典型の場合に一部結果を得たが、例外型の場合を網羅的に実行するには至らなかった。
  日本学術振興会, 萌芽的研究, 北海道大学, 10874009
• 非線型偏微分方程式と無限次元力学系の研究
  科学研究費助成事業
  1997年 - 1999年
  神保 秀一, 林 実樹広, 中路 貴彦, 儀我 美一, 森田 喜久, 三上 敏夫, 本多 尚文
  平成9-11年度の期間,非線型偏微分方程式に現れる解の力学系の観点からの研究を行った.本研究組織の得た主たる研究成果は次の通りである.
  (i)ギンツブルグランダウ方程式の安定解の存在と領域依存性を様々な場合について研究した.また,ボルテックスをもつ安定解の存在についてトポロジカルに多様なものを得る方法を考案した.非一様状況の状況におけるパターンフォーメーションも研究した.(ii)非定常複素ギンツブルグランダウ方程式の周期解の安定性や領域依存性について研究した.(iii)非定常ギンツブルグランダウ方程式の特異極限問題において力学系が有限次元に還元され常微分方程式の有限システムによって表され,さらにその表現公式を得た.(iv)反応拡散方程式に現れるホモクリニック軌道のパラメータによる構造変化(力学系の分岐現象)を研究した.(v)平均曲率流,表面拡散方程式などの曲面発展方程式に現れる力学系を研究し,漸近挙動や幾何学的な特徴を解析した.(vi)システムの非線型波動方程式について成分ごとに伝播速度が異なる場合について大域解の存在を研究した.(vii)急拡散方程式の解の消滅現象を研究した.(viii)ランダム結晶のなす曲率流方程式の定性的な研究.(ix)領域が部分的に退化する特異摂動において,半線型楕円型方程式の解の挙動の特徴付けをおよびラプラシアンの固有値の摂動公式を研究し(ノイマン境界条件),従来から知られている結果を退化次元が一般の場合へと拡張した.
  日本学術振興会, 基盤研究(B), 北海道大学, 09440045
• 極大過剰決定系のストークス現象の研究
  科学研究費助成事業
  1997年 - 1998年
  本多 尚文
  不確定特異点型の極大過剰決定系のstokes現象を研究した。超局所解析の立場から、マイクロ正則解に対するstokes現象を定式化した。定式化にあたり、平坦な解層を新たに導入し、ここへの解層からの写像をstokes写像として、定義した。
  特に、stokes現象がε加群としての構造に、どの様に関わるかを考察し、一変数の場合に、形式的に同型なε加群をstokes写像の核から得られる情報によってε加群として分類出来る事を示した。
  また、グレブナーベースの理論を用いる事で、極大過剰決定系の不確定特異点度を計算するアルゴリズムを考察し、具体的なシステムに対して、計算機を用いて計算を行った。ただし、余次元1の超平面に沿った場合のみであるので、高余次元への拡張が望まれる。
  日本学術振興会, 奨励研究(A), 北海道大学, 09740080
• ギンツブルグ ランダウ 方程式の解の構造の研究
  科学研究費助成事業
  1996年 - 1996年
  神保 秀一, 森田 善久, 本多 尚文, 泉屋 周一, 久保田 幸次, 儀我 美一
  1.ギンツブルグ-ランダウ方程式の安定解の構造:
  領域を著しく変形したときに特徴的に現れる安定定常解を構成した.またさらに変形極限の方程式との関係を線型化固有値問題まで込めて導いた.次に,不均質媒質のモデルとされる変数係数のギンツブルグランダウ方程式の非一様安定解を構成した.また,非一様性によるゼロ点のピン止め効果により生じる安定定常解を構成し,さらに,与えられた点配置にたいし安定解のゼロ点の近似配置が可能であることを示した.また,近似配置を完全精密配置にできることを示す方法をなかば確立した.
  2.複素ギンツブルグ-ランダウ方程式の作る力学系の構造:
  流体現象(ベナ-ル対流)から導かれる非定常複素係数ギンツブルグランダウ方程式の解の挙動と周期解,不変集合の構成や分岐などを研究した,とくにS^1上においてはホップ分岐とともに安定な準周期解が生じることを示した.一般の有界領域の場合においては周期解を構成した.さらに,線型化安定性解析を行い,限られたパラメータ範囲での安定性を示した.さらにそれ以外の範囲におけるホップ分岐の可能性を探った.いまのところ,ゼロ点のない解について精密な挙動がわかっている.ゼロ点のある解については分岐によってゼロ点が運動する状況を解析した.また領域変形による力学系の不変集合の極限問題等の問題を考えた.
  3.領域の特異変形と固有値問題:
  有界領域から余次元2以上の部分多様体の管状近傍を取り除いてできる領域上のラプラシアンの固有値の摂動問題を研究した.すでにある小沢真,Courtois らの結果を一般化した.また,電磁場の固有振動の問題についても同様の研究を行った.
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 08640149
• 実半単純リー群の表現とベき零軌道のケーリ-型変換
  科学研究費助成事業
  1996年 - 1996年
  山下 博, 平井 武, 本多 尚文, 山田 裕史, 齊藤 睦
  1.実半単純リー群Gの表現,より正確には、表現を微分して得られる展開環U(g)上のHarish-Chandra加群Hの随伴多様体ν(H)は、Riemann対称対(G,K)を複素化して得られる対(G_C, K_C)の接空間pにおけるべき零K_軌道からなる。研究代表者は、「各K_軌道O⊂ν(H)からケーリ-型変換と偏極化をとおしてH上に局所自由に作用するべき零部分環(群)n_oの存在」を示した昨年度からの研究を押しすすめ、Hが規約最高ウェイト表現の場合に、対応するべき零部分環n_oの具体的記述を与えた。この一連の研究結果をとりまとめた論文を日本数学会および数理解析研究所共同研究集会で口頭発表し、学会雑誌へ投稿した(京大行者明彦氏との共著)。
  2.半単純リー群Gの極小べき零共役類に付随した極小ユニタリ表現H_mは、既約ユニタリ表現の分類問題とも深く関わる重要な表現である。(1)の成果をふまえて、G=SU(n,n)の極小表現Hmの一般化されたホイッタッカー模型を、HmをG/K上で実現するG_-不変な2階偏微分方程式系を用いて決定した(論文準備中)。さらに、極小表現のフォック模型を使って、U(n_o)-加群としてのHmの構造を明らかにした。この結果を任意の最高ウェイト加群に拡張することを目標とした研究を現在実施中である。
  3.各研究分担者は、ホロノミックな不確定特異点型微分方程式系(本多)、多変数超幾何方程式(齊藤)、あるいは各種の群の表現に対するシューア・ワイルの相互律の研究(平井・山田)を各自押しすすめると同時に、これらののテーマが深く関わる上記2の研究実施の過程で、個人的な討論やセミナーをとおして本研究に常時参加した。
  日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 08640001
• 複素解析幾何学、特異点理論の研究
  科学研究費助成事業
  1995年 - 1996年
  諏訪 立雄, 岡 睦雄, 本多 尚文, 河澄 響矢, 中居 功, 石川 剛郎, 泉屋 周一, 山口 佳三, 中村 郁
  研究代表者を中心に、主として、ベクトル場、複素解析的特異葉層構造の指数、留数についての研究、特異点を持つ多様体の特性類の研究、及びそこでも用いられたCech-de Rham コホモロジー群およびstratify された空間上の積分理論の応用について研究を行った。具体的には次の通りである。
  (1)開多様体上の葉層構造のBaum-Bott留数に対する留数定理、およびその応用についてJ.Seadeとの共同研究を行った。これに関する共著論文はMathematische Annalenに掲載された。
  (2)孤立特異点を持つ局所完全交叉多様体上のベクトル場の種々の指数につきJ.Seadeと共同研究を行い、このような多様体に対し、“adjunction formula"を得た。これは共著論文として纏められた。
  (3)(2)で得られた公式の応用として、孤立特異点を持つ局所完全交叉多様体のChern-Schwartz-MacPherson類を与える公式を得た。これに関する論文は、C.R.Acad.Sci.,Parisに掲載される予定である。
  (4)(2)の一般化として、さらに特異点が一般の場合についてD.Lehmann,J.Seadeと共同研究を行い、Milnor数を一般化し、同様の公式を得た。これは共著論文として纏められている。
  (5)B.Khanedaiとの共同研究において、複素曲面上の特異葉層構造の不変量を研究し、種々の公式を得た。これに関する論文はHokkaido Math.J.に掲載される予定である。
  (6)本田知亮との共同研究において、複素曲面上の有理型関数の留数公式を示し、幾つかの応用を与えた。これは共著論文として纏められた。
  (7)J.P.Brasseletの共同研究において、複素多様体上の特異葉層構造に付随した Nash型の改変を考察し、“Nash residues"の理論を展開した。応用として、Baum-Bott予想が、ある場合に示される。これは共著論文として纏められている。
  日本学術振興会, 基盤研究(B), 北海道大学, 07454011
• 非対称結合神経回路網による動的環境の認識・学習の情報理論的分析
  科学研究費助成事業
  1993年 - 1993年
  辻下 徹, 本多 尚文, 井上 昭彦, 三波 篤郎, 岡部 靖憲, 津田 一郎
  当研究課題に基づく本年度の研究において、情報の流れ・相関・同期化・コーヒーレンス等、神経系のいわゆる創発的挙動にかかわる概念を数学的に明確にすることに取り組んだ。これらは豊かで多様な意味を持っており、われわれの分析はその一面を捉え得たに過ぎないが、この分析を通して、コーヒーレンスの諸相を詳細に表現出来るようになる一方、創発的概念の多くが神経系を孤立系とみては意味を失うことが明瞭になった。
  分析に用いた数学的概念は、加算無限個の有限値確率変数の組の持つ種々の情報理論的指標(エントロピーとそれから派生する種々の相互情報量)である。連続な時間や観測量を考慮することは、技術的煩雑さを別にすれば本質的な数学的困難があるとは思われないが、概念の分析という我々の目的には不要である。
  われわれの枠組は、神経系の挙動全体の空間上の確率分布を土台とする。しかし、実験から得られる時系列は一般に複数の確率分布を決め、しかもその中に標準的と呼べるものはなく、各分布は各々神経系の挙動の一側面を表現している。このことが意味するところは、神経系の統合性・コーヒーレンスなどの概念が神経系の構造的のみに関するものではなく神経系内部に見られる現象のどの様相に注目するかという主観的因子にも強く依存した概念だ、ということである。
  われわれの数学的枠組は簡単なものではあるが、それに基づく神経系の時空的挙動に関連する概念の分析は、神経系のみならず、いわゆる複雑な力学系を記述する際に用いられる諸概念が詳細な吟味を必要としていることを強く示唆している。
  日本学術振興会, 一般研究(C), 北海道大学, 05640262
• 不確定特異点型の極大過剰決定系の研究　　　　　　　　　　　　　　　
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• On the structure of the holonomic systems　　　　　　　　　　　　　　　
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