SEARCH

Search Details

Shibukawa Youichi

Faculty of Science　Mathematics　MathematicsProfessor

My current research focuses on: (1) characterizing solutions to the Yang-Baxter equation on quivers via quivers with relations; (2) investigating the Garside-theoretic properties of the structure categories and structure groupoids associated with these solutions; and (3) advancing the study of Hopf algebroids determined by dynamical Yang-Baxter maps, which also arise as solutions to the Yang-Baxter equation.

 

Researcher basic information

■ Degree
  • Doctor (Sciences), Waseda University
■ URL
researchmap URLホームページURL■ Various IDs
J-Global ID■ Research Keywords and Fields
Research Keyword
  • Yang-Baxter Equation on quivers
  • Garside Theory
  • Hopf algebroid
  • dynamical Yang-Baxter map
  • Representation theory of quantum groups
  • Quantum Yang-Baxter equation
Research Field
  • Natural Science, Algebra
■ Educational Organization

Research activity information

■ Papers
■ Other Activities and Achievements
  • ヤン・バクスター方程式からホップ亜代数へ
    澁川陽一, 代数学シンポジウム報告集, Jan. 2019, [Invited]
    Japanese, Introduction other
  • Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps
    Youichi Shibukawa, RIMS Kokyuroku, 1714, 80, 89, Sep. 2010, [Invited], [Lead author]
    Kyoto University, English, Introduction scientific journal
  • Dynamical Yang-Baxter maps
    SHIBUKAWA Youichi, RIMS Kokyuroku, 1647, 81, 96, May 2009
    京都大学, Japanese, Introduction research institution
  • On the classification of R-operators
    Youichi Shibukawa, RIMS Kokyuroku, 1245, 25, 35, 2002
    Kyoto University, English, Introduction research institution
  • Vertex-face correspondence in elliptic solutions of the Yang-Baxter equation
    Youichi Shibukawa, Statistical models, Yang-Baxter equation and related topics and Symmetry, statistical mechanical models and applications, 304, 311, 1996
    English, Introduction international proceedings
  • Infinite-dimensional R matrix with complete Z symmetry
    Youichi Shibukawa; Kimio Ueno, Quantum Groups, Integrable Statistical Models and Knot Theory, 302, 318, 1993
    English, Introduction international proceedings
  • A new solution of the Yang-Baxter equation with complete Z symmetry
    Youichi Shibukawa; Kimio Ueno, Differential Geometric Methods in Theoretical Physics, 309, 312, 1993
    English, Introduction international proceedings
  • Completely Z Symmetric R Matrix
    SHIBUKAWA Youichi, RIMS Kokyuroku, 810, 22, 38, Sep. 1992, [Invited]
    Kyoto University, English, Report scientific journal
  • Clebsch-Gordan Coefficients for Uq(su(1,1))
    SHIBUKAWA Youichi, RIMS Kokyuroku, 808, 209, 226, Sep. 1992, [Invited]
    Kyoto University, Japanese, Introduction scientific journal
■ Books and other publications
  • 線形代数学講義
    澁川, 陽一
    学術図書出版社, Dec. 2024, 9784780613087, viii, 237p, Japanese, [Single work]
  • 線形代数学講義
    澁川, 陽一
    学術図書出版社, Nov. 2019, 9784780607727, vi, 215p, Japanese, [Single work]
■ Lectures, oral presentations, etc.
  • Hopf Algebroids from Dynamical Yang-Baxter Maps
    Youichi Shibukawa
    Online seminar at Jilin University, China, 11 Dec. 2025, Professor Yunhe Sheng, English, Oral presentation
    11 Dec. 2025 - 11 Dec. 2025, Jilin University (online), China, Faddeev, Reshetikhin, and Takhtajan famously constructed q-analogs of function spaces, which are Hopf algebras (or, more precisely, bialgebras), by utilizing the R-matrices, solutions to the (quantum) Yang-Baxter equation. This talk introduces a generalization of their approach. We demonstrate that dynamical Yang-Baxter maps - solutions to a version of the dynamical Yang-Baxter equation - yield Hopf algebroids. These Hopf algebroids can also be regarded as a generalization of Hayashi's face algebras., [Invited]
  • Garside Theory of the Yang-Baxter equation on quivers
    Youichi Shibukawa
    Confluence of combinatorics and representation theory, 21 Oct. 2025, English, Oral presentation
    21 Oct. 2025 - 24 Oct. 2025, 50415600
  • Yang-Baxter Equation on Quivers and Garside Theory (2)
    Youichi Shibukawa; Davide Ferri
    日本数学会2025年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, 16 Sep. 2025, Japanese, Oral presentation
    16 Sep. 2025 - 19 Sep. 2025, 名古屋大学, 50415600, [Domestic Conference]
  • Yang-Baxter Equation on Quivers and Garside Theory (1)
    Youichi Shibukawa; Davide Ferri
    日本数学会2025年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, 16 Sep. 2025, Japanese, Oral presentation
    16 Sep. 2025 - 19 Sep. 2025, 名古屋大学, Japan, 50415600, [Domestic Conference]
  • ホップ亜代数のFRT構成法
    澁川陽一; 乙戸勇大
    日本数学会2021年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, Sep. 2021, Japanese, Oral presentation
    30715253
  • ヤン・バクスター方程式からホップ亜代数へ
    澁川 陽一
    第63回代数学シンポジウム, 06 Sep. 2018, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Dynamical Yang-Baxter maps and quandles
    SHIBUKAWA Youichi
    Meeting for Study of Number theory, Hopf algebras and related topics, Feb. 2017, Japanese, Oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Hopf algebroids by means of parallelepipeds
    SHIBUKAWA Youichi
    Hopf-Algebra Conference in Tsukuba, Sep. 2016, English, Oral presentation
    [Invited], [International presentation]
  • Hopf algebroids and dynamical Yang-Baxter maps
    SHIBUKAWA Youichi
    Tsukuba Mini-conference on Hopf algebras and differential Galois theory, Sep. 2015, Japanese, Oral presentation
    [Invited], [International presentation]
  • ダイナミカル・ヤン・バクスター写像を用いたホップ亜代数の構成
    澁川 陽一
    東京無限可積分系セミナー, 東京大学, Jan. 2015, Japanese, Oral presentation
  • Hopf algebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps
    SHIBUKAWA Youichi
    日本数学会2014年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, 広島大学, Sep. 2014, Japanese, Oral presentation
    [Domestic Conference]
  • Rigid tensor categories associated with dynamical Yang-Baxter maps
    SHIBUKAWA Youichi
    日本数学会2014年度秋季総合分科会無限可積分系セッション, 広島大学, Sep. 2014, Japanese, Oral presentation
    [Domestic Conference]
  • Left bialgebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps
    SHIBUKAWA Youichi
    SNU-HU Joint Symposium, 13 Dec. 2013, English, Poster presentation
    [International presentation]
  • Idempotent dynamical braiding maps and dynamical semigroups with left unit
    Diogo Kendy Matsumoto; Youichi Shibukawa
    日本数学会2013年度年会, 23 Mar. 2013, Japanese, Oral presentation
    [Domestic Conference]
  • Dynamical Yang-Baxter maps associated with homogeneous pre-systems
    Noriaki Kamiya; Youichi Shibukawa
    日本数学会２０１１年度年会無限可積分系セッション, 23 Mar. 2011, Japanese, Oral presentation
    [Domestic Conference]
  • Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps
    Youichi Shibukawa
    日本数学会２０１１年度年会無限可積分系セッション, 23 Mar. 2011, Japanese, Oral presentation
    [Domestic Conference]
  • FRT construction for dynamical Yang-Baxter maps
    Youichi Shibukawa
    ホップ代数と量子群, 19 Oct. 2010, English, Oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Dynamical braided monoids and dynamical Yang-Baxter maps
    SHIBUKAWA Youichi
    Quantum groups and quantum topology, Apr. 2010, English, Oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Bialgebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps
    Youichi Shibukawa
    Noncommutative structures in Mathematics and Physics, 2008, English, Oral presentation
    [International presentation]
  • Dynamical Yang-Baxter maps
    Youichi Shibukawa
    Enigma conference on Mathematical Physics, 2007, English, Oral presentation
    [Domestic Conference]
■ Syllabus
  • 大学院共通授業科目（一般科目）：自然科学・応用科学, 2024年, 修士課程, 大学院共通科目
  • 大学院共通授業科目（一般科目）：自然科学・応用科学, 2024年, 修士課程, 大学院共通科目
  • 大学院共通授業科目（一般科目）：自然科学・応用科学, 2024年, 修士課程, 大学院共通科目
  • 大学院共通授業科目（一般科目）：自然科学・応用科学, 2024年, 修士課程, 大学院共通科目
  • 代数学基礎, 2024年, 学士課程, 理学部
  • 線形代数学Ⅰ, 2024年, 学士課程, 全学教育
  • 線形代数学Ⅱ, 2024年, 学士課程, 全学教育
■ Affiliated academic society
  • 日本数学会
  • Mathematical Society of Japan
■ Research Themes
  • ダイナミカル・リフレクション写像と関連する代数の研究
    科学研究費助成事業
    Apr. 2023 - Mar. 2027
    澁川 陽一
    F. A. Garsideは，学位論文で，アルティン・ブレイド群に対する共役問題（conjugacy problem）を解決した．これは，群の表示を一つ固定したときに，群の元が共役であるための判定方法を与えることを意味する．Garsideの得た結果は，E. Brieskorn-K. SaitoやP. Deligneにより，有限コクセター群に付随した一般ブレイド群に拡張された．これらの研究やさらなる一般化の中で利用された一連の手法を，ここではガーサイド理論と呼ぶことにする．この理論は，現在のところ，圏を用いて定式化されている．よく知られているように，群は，すべての射（morphism）が可逆でただ1つの対象（object）のみをもつ特殊な圏と見なされる．ガーサイド理論は，このような見地からGarsideらの研究手法を圏論的に一般化して捉え直したものである．このようにすることで，数多くの数学的対象に適用可能な理論が構築されている．
    本年度の研究では，（量子）ヤン・バクスター方程式の写像解の一般化にあたるダイナミカル・ヤン・バクスター写像から商圏（quotient category）を定義し，さらに，この商圏の性質を，ガーサイド理論を用いて明らかにするための準備研究を行った．具体的な研究成果は，ガーサイド理論に現れるweak RC systemの拡張に関連して，必要な修正を明らかにしたことである．
    集合上のヤン・バクスター方程式の写像解から定義される商圏は構造群と呼ばれている．既存の研究により，この構造群は一般ブレイド群と同様のよい性質を持っていると解明されており，本研究は，この研究結果の一般化を試みるものである．
    日本学術振興会, 基盤研究(C), 北海道大学, 23K03062
  • Morita equivalence for two algebras associated with dynamical Yang-Baxter maps
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    Apr. 2017 - Mar. 2024
    SHIBUKAWA Youichi
    By means of dynamical Yang-Baxter maps, we constructed Hopf algebroids whose base rings are arbitrary algebras. This result is published in Toyama Mathematical Journal (42, 2021, 51-72). In addition, we succeeded to present a systematic method to construct solutions to the reflection equation associated with the dynamical Yang-Baxter map satisfying suitable conditions. This result will be published in Toyama Mathematical Journal (Volume 44, 2023).
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, 17K05187
  • Study of solutions to the reflection equation associated with dynamical Yang-Baxter maps
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    01 Apr. 2014 - 31 Mar. 2017
    SHIBUKAWA Youichi
    The main results of this research are: (1) to clarify what the reflection equation associated with dynamical Yang-Baxter maps is; and (2) to construct solutions to the reflection equation associated with the dynamical Yang-Baxter maps from dynamical braces. In addition, we produced dynamical Yang-Baxter maps by means of quandles, which play an important role in the study of links. We showed that these dynamical Yang-Baxter maps give birth to weak Hopf algebras.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, 26400031
  • Dynamical Yang-Baxter maps and Hopf algebroids
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    20 Oct. 2010 - 31 Mar. 2014
    SHIBUKAWA Youichi
    The main result of this research is to construct algebras, such as Hopf algebroids and face algebras, from dynamical Yang-Baxter maps, solutions to a version of the quantum dynamical Yang-Baxter equation. By making use of these Hopf algebroids, we provided with rigid tensor categories, which are tensor categories with "duals". In addition, we established a method to produce the dynamical Yang-Baxter map.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, Principal investigator, Competitive research funding, 22540001
  • Geometric invariants and model theory for singular unitary representations
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    2010 - 2012
    YAMASHITA Hiroshi; SAITO Mutsumi; SHIBUKAWA Youichi; ABE Noriyuki; NISHIYAMA Kyo
    In this research project, we investigated realization of singular irreducible unitary representations of Lie groups through geometric approach. First, we have established the Fock model version of Dvorsky-Sahi theory on an extension of the theta duality correspondence for singular unitary highest weight representations of reductive Lie groups, by decomposing tensor products of fundamental representations in terms of geometric invariants for representations in question. Second, the singular orbits in prehomogeneous vector spaces arising from quaternionic structure of exceptional simple Lie groups of real rank 4 have been described by using data on root systems, and we have proved that the singular quarternionic unitary representations, due to Gross and Wallach, can be realized by geometric quantization of the corresponding quarternionic nilpotent K-orbits.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, 22540002
  • Studies of algebro-geometric aspects on dynamical Yang-Baxter maps
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    2007 - 2009
    SHIBUKAWA Youichi
    We constructed bialgebroids associated with dynamical Yang-Baxter maps, set-theoretic solutions to the quantum dynamical Yang-Baxter equation. Each bialgebroid provides with the tensor category consisting of its dynamical representations. This bialgebroid is a coalgebra object of a pre-tensor category ; and such category-theoretic properties give birth to the tensor category of dynamical representations. We also constructed the dynamical Yang-Baxter map by means of the principal homogeneous space.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, Principal investigator, Competitive research funding, 19540001
  • Topological Studies around Riemann Surfaces
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
    2006 - 2009
    KAWAZUMI Nariya; MATSUMOTO Yukio; MORITA Shigeyuki; HASHIMOTO Yoshitake; SHIBUKAWA Youichi; AKITA Toshiyuki; ENDO Hisaaki; ASUKE Taro; TADOKORO Yuuki
    Bene, Penner and the principal investigator discovered fatgraph Magnus expansions, which connects a combinatorial structure of a Riemann surface directly to some algebraic aspects of the mapping class groups. The principal investigator also discovered a new analytic invariant of a closed Riemann surface to describe how curved the moduli space of Riemann surfaces is. Kuno and the principal investigator discovered a new connection between two refinements of the intersection form on a Riemann surfaces, the Goldman Lie algebras and the Lie algebras of symplectic derivations. As an application, they proved a non-commutative analogue of the Picard-Lefschetz formula.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (A), The University of Tokyo, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 18204002
  • Modern study on homogeneous spaces and unitary representations via duality
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
    2006 - 2009
    YAMASHITA Hiroshi; YOSHIDA Tomoyuki; YAMAGUCHI Keizo; SAITO Mutsumi; SHIBUKAWA Youichi; TACHIZAWA Kazuya; KAWAZOE Takeshi; MATUMOTO Hisayosi; TANIGUCHI Kenji; WACHI Akihito; NISHIYAMA Kyo; MATSUKI Toshihiko; SEKIGUCHI Jiro; ISHI Hideyuki; SHIMENO Nobukazu; MORITA Hideaki; HIRAI Takeshi
    We have aimed at new development of representation theory of semisimple Lie groups and harmonic analysis on homogeneous spaces, by focusing our attention to various duality concerning representations and group orbits. Among other things, the Howe duality correspondence has been clearly understood in connection with generalized Whittaker models and isotropy representations for unitary highest weight modules. We have studied geometric invariants for discrete series and degenerate principal series representations. Significant achievements of this research projectinclude complex analytic continuation of the Matsuki duality on flag variety, classification of homomorphisms between generalized Verma modules, and numbers of contributions by other related researches.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (A), Hokkaido University, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 18204008
  • Vertex-Face対応と量子代数の構成
    科学研究費助成事業 若手研究(B)
    2003 - 2005
    澁川 陽一
    研究代表者は,昨年度,集合上のダイナミカル・ヤン・バクスター方程式にあたる新しい方程式を定式化した.さらに,ダイナミカル・ヤン・バクスター写像(DYBM)と呼ばれるこの方程式の解を,数多く構成する系統的な方法を確立した.
    本年度は,この結果をさらに一般化した.本年度行った研究によって得られた新たな知見等のうち,主な成果を次に挙げる.
    1.Lをleft quasigroupとし,Mをある条件を満たすternary systemとする.全単射π:L→Mが存在するならば,この(L,M,π)を用いて,DYBMを構成することができる.さらに,不変条件を満たすDYBMは,必ずこのように構成される.
    2.1で構成した2つのDYBMがIRF-IRF対応を持つ.特に,一方がヤン・バクスター写像(YBM)の場合,この対応は,いわゆるVertex-Face対応にあたる.
    これらの研究成果,特に2は,交付申請書に記載した本年度の研究実施計画(1)を,研究の進展に合わせて,さらに発展させることにより得られたものである.
    また,交付申請書の研究の目的(2)であるDYBMに付随して定義されるL作用素達がテンソル圏をなすことも,証明した.
    さらに,交付申請書の研究の目的(3)にある量子代数の構成は,上記2にあるVertex-Face対応を用いて,現在研究中である.
    本研究の成果は,DYBMの新たな構成方法を開発したことにとどまらない.この構成方法を用いて不変条件を満たすDYBMの分類が出来たので,この分類を,不変条件を満たすYBMの構造の研究に応用出来るのではないかと期待している.
    なお,本研究に関する成果を論文にまとめ,雑誌論文として公表する予定にしている.
    日本学術振興会, 若手研究(B), 北海道大学, Principal investigator, Competitive research funding, 15740001
  • Complex analytic approach towards topology studies on the mapping class ganups for surfaces
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    2002 - 2004
    KAWAZUMI Nariya; MATSUMOTO Yukio; MORITA Shigeyuki; HASHIMOTO Yoshitake; SHIBUKAWA Youichi; AKITA Toshiyuki
    We discovered a close relation between Stasheff associahedrons and (generalized) Magnus expansions of a free group. A certain part of the twisted Morita-Mumford classes can be extended to the automorphism group of a free group. It is parametrized by Stasheff associahedrons "infinitesimally" and "combinatorially" how the extended Johnson maps are far from true group homomorphisms.
    We extended our theory on harmonic Magnus expansions to the universal family of Riemann surfaces. This yields another series of canonical 1 forms on the universal family than what we have already obtained on the moduli space. As a corollary, we obtained a proof that the first Jonson map and the (0,3)-twisted Morita-Mumford class coincides with each other as differential forms on the moduli space.
    The Magus representation of the automorphism group of a free group was constructed in an intrinsic manner. Here 'intrinsic' means 'with no use of Fox' free differentials.'
    We co-organized a workshop entitled "Toward the future of the topological study of manifolds" in November 2004.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), The University of Tokyo, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 14540065
  • 無限次元リー群およびリー代数に対する表現論の新たな展開
    科学研究費助成事業 萌芽研究
    2002 - 2004
    山下 博; 山口 佳三; 齋藤 睦; 澁川 陽一; 和地 輝仁
    本課題研究は,無限次元半単純リー代数(群)や量子群に対して,有限次元群の場合の既約許容表現,すなわちハリシュ-チャンドラ加群に相当する新しい表現の族を構成・分類するために,「代数的量子化」の理論が無限次元の場合にいかに展開できるか,その可能性を探ること主目標としている.今年度は,昨年度に行った試行的研究を推し進め,代数的ディラク作用素及びディラクコホモロジーを用いて,共役類の量子化と許容表現の構成を検討した.また,リー代数の作用に関する不変式論,トーリック多様体上の微分作用素環,量子群の研究を併せて行った.その研究経過と得られた知見について,以下に報告する.
    研究代表者山下は,A型のリー代数に対して,簡約あるいはべき零な部分リー代数から定まるディラク作用素の構成とコホモロジー空間の構造を検討した.その過程で,表現論国際会議(平成16年8月開催,於新疆大学)に参加し,有限次元の場合の専門家であるJing-Song Huang(香港科技大)およびPavle Pandzic(Zagreb大)と研究打合せを重点的に行った.無限次元リー代数に理論が拡張できる部分と障害となる部分が明らかになり,今後研究を発展させるために重要な手がかりが得られたと考えている.また,ディラク作用素と基盤研究(B)(課題番号14340001)で実施中の離散系列に対する等方表現との間の関係を調べた.研究分担者和地は,対称対に関する不変微分作用素を定める普遍包絡代数の元の研究を行い,デュアルペアと関わる明示的公式を得た.
    無限次元リー代数の表現の研究に資するため,研究分担者齋藤は,アフィン半群環上の微分作用素環やA-超幾何系において基本的な加群の圏Oを扱い,各々の圏Oにおいてヴァーマ的対象や単純対象と,それらの間の基本的な関手について考察した.研究分担者澁川は,力学的ヤン・バクスター方程式の集合論的解を構成した.
    日本学術振興会, 萌芽研究, 北海道大学, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 14654001
  • Infinite dimensional quaternionic representations and nilpotent orbits
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    2000 - 2001
    YAMASHITA Hiroshi; NISHIYAMA Kyo; SHIBUKAWA Youichi; SAITO Mutsumi; WACHI Akihito; OHTA Takuya
    The associated variety of an irreducible Harish-Chandra module gives a fundamental nilpotent invariant for the corresponding irreducible admissible representation of a real reductive group. Moreover, the multiplicity in the Harish-Chandra module of an irreducible component of the associated variety can be regarded as the dimension of a certain finite-dimensional representation, called the isotropy representation.
    The head investigator, Yamashita, has already shown that, in many cases, the isotropy representation can be described, in principle, by means of the principal symbol of a differential operator of gradient-type whose kernel realizes the dual Harish-Chandra module. In this research project, we have begun a systematic study of the isotropy representations attached to Harish-Chandra modules with irreducible associated varieties, including quaternionic representations, discrete series and unitary highest weight modules.
    The results are summarized as follows:
    We developed a general theory for the isotropy representations, starting from the Vogan theory on associated cycles. In particular, a criterion for the irreducibility of an isotropy representation is presented. Also, we looked at when the isotropy representation can be described in terms of a differential operator of gradient-type.
    As for the discrete series, a nonzero quotient of the isotropy representation has been constructed in a unified manner. It seems that this quotient representation is large enough in the whole isotropy module. We have shown that this is the case if the theta-stable parabolic subgroup canonically determined from the discrete series in question admits a Richardson nilpotent orbit with respect to the complexified symmetric pair.
    The isotropy representation is explicitly described for every singular unitary highest weight module of Hermitian Lie algebras BI, DI and EVII. This allows us to deduce that the isotropy modules are irreducible for all singular unitary highest weight modules of arbitrary simple Hermitian Lie algebra.
    Principal contribution by the investigators : Saito developed his research on A-hypergeometric system, which is closely related to a realization of unitary highest weight modules. He has established a formula for the rank of a homogeneous A-hypergeometric system. Wachi constructed an analogue of the Capelli identity for generalized Verma modules of scalar type. Nishiyama and Ohta gave a correspondence of nilpotent orbits associated to a symmetric pair, by menas of the moment map with respect to a reductive dual pair.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), HOKKAIDO UNIVERSITY, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 12640001
  • Classification problem of hypergeometric differential systems
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    2000 - 2001
    SAITO Mutsumi; SHIBUKAWA Youichi; MATSUMOTO Keiji; YAMASHITA Hiroshi; WACHI Akihito; YAMADA Hiro-fumi
    With support of many examples with a computer, and by communication with world-wide experts in several fields, we obtained the following results.
    Mutsumi Saito generalized the classification theorem of A-hypergeometric systems to the cases when A is inhomogeneous and/or when we work in the analytic category. He also gave a dimension formula for the log-free series solutions when A is homogeneous, and a rank formula and the proof of the equivalence of Cohen-Macaulayness with the condition that the ranks are the same at all parameters, when A is homogeneous, and the convex hull of A is a simplex.
    Hiroshi Yamashita obtained some results useful to know when an isotropy representation is irreducible. Furthermore he systematically constructed nonzero quotient representations of isotropy representations attached to discrete series.
    Keiji Matsumoto clarified a pairing between twisted cohomology groups associated with generalized Airy functions. Writting a base of twisted cohomology groups by Young diagrams, he showed that for the base, the pairing can be explicitly written by skew-Schur polynomials.
    Youichi Shibukawa solved the classification problem for R operators.
    For the simplest affine Lie algebra A_1^<(1)> , using two of its realizations, Hiro-Fumi Yamada discovered the weight vectors are written by a modular version of Schur functions and Schur's Q-functions respectively.
    Akihito Wachi has studied the structure of generalized Verma modules, in particular, their irreducibility, emphasizing their relations with invariant functions.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), HOKKAIDO UNIVERSITY, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 12640149
  • A topological study of the moduli space of Riemann surface
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    1999 - 2001
    KAWAZUMI Nariya; OHBA Kiyoshi; MORITA Shigeyuki; MATSUMOTO Yukio; AKITA Toshiyuki; SHIBUKAWA Youichi
    Rational cohomology of the mapping class group (Morita and Kawazumi) : We proved the Morita-Mumford classes generate the primary approximation to the cohomology of the moduli of Riemann surfaces induced by the Johnson homomorphisms even in the unstable range. We gave a complete description how the corresponding twisted Morita-Mumford classes behave when a finite graph degenerates.
    Differential geometry of the moduli and Magnus expansions (Kawazumi) : Using Magnus expansions of a free group, we obtain an alternative proof of the IH-relation among the Johnson homomorphims. The notion of the harmonic Magnus expansion, which is canonicaly given by a complex structure of a surface, gives an interpretation of differential forms representing Morita-Mumford classes. We compute the quasi-conformal variation of the harmonic Magnus expansions as an explicit quadratic differential. We expect that the quadratic differential would give the key to the Johnson images of the mapping class groups.
    Torsion cohomology of the mapping class groups (Akita and Kawazumi) : Akita has given fascinating conjectures related to Morita-Mumford classes on the whole mapping class groups. We proved them for any semi-free cyclic subgroup. Kawazumi proved them for the hyperelliptic mapping class groups. Akita proved the twice of the odd Morita-Mumford classes are functions of G-signatures for any finite subgroup G of the mapping class groups.
    Bruschi-Calogero equation (Shibukawa and Kawazumi) : We gave all the meromorphic solutions of the equation. Shibukawa gave the complete classification of the R-matrices acting on the germs of meromorphic functions.
    The details and other results are reported in the official booklet written in Japanese.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), The University of Tokyo, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 11640054
  • Combinatorial Representation Theory of Affine Lie Alqebras and Symmetric Groups
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    1999 - 2000
    YAMADA Hiro-fumi
    My first attempt was to describe the weight basis of the basic representations of several typical affine Lie algebras. In particular, for the simplest affine Lie algebra A^<(1)>_1, I considered two realizations of the basic representation and found that the modular version of the Schur functions and Schur's Q-functions occur as weight basis, respectively. Analysing these two realizations, I found an interesting phenomenon for the elementary divisors of the spin decomposition matrices for the symmetric group. Namely the elemntary divisors of the spin decomposition matrices for prime 2 are all powers of 2. Though this fact actually can be proved by a general theory of modular representations, I could give a simple proof of this by utilizing representations of the affine Lie algebra A^<(1)>_1.
    Studying the zonal polynomials, which are a specialization of the Jack polynomials, I found an interesting fact in the character tables of the symmetric group. Later I recognizes that this fact had been found more than 50 years ago by Littlewood, whose proof is a bit complicated. I gave a simple proof of this fact as well as its spin version with Hiroshi Mizukawa, a graduate student. The main tools for the proof are again Schur functions and Schur's Q-functions.
    In the joint work with Takeshi Ikeda I could obtain all the homogeneous polynomial solutions for the nonlinear Schrodinger hierarchy. The schur functions indexed by the rectangular Young diagrams play an essential role in this theory.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), 北海道大学->岡山大学, Competitive research funding, 11640001
  • Elliptic solutions to two kinds of the Yang-Baxter equation and elliptic quantum groups
    科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    1998 - 1999
    Youichi Shibukawa
    本年度は,昨年度に引き続き,加法定理型の微分方程式であるBruschi-Calogero方程式について,その解の分類に関する研究を行った。Bruschi-Calogero方程式とは次のものである。
    (^*) a(x)a'(y)-a'(x)a(y)=(a(x+y)-a(x)a(y))(b(x)-b(y))
    ここでaとbを未知関数としている。Bruschi-Calogeroは,この微分方程式の一般的な解析的解として楕円関数解を求め,その退化した解として,三角関数解,有理関数解などをも求めている。次に問題となるのは,この微分方程式の解はBruschi-Calogeroによって得られた解のみしかないのかということである。そこで研究代表者は,この微分方程式の,原点近傍で定義された有理型関数解をすべて求めようと試み,これに成功した。すなわち,本研究によって得られた新たな知見等の成果は次の通りである。
    aとbを原点中心のpunctured disk上定義された正則関数とする。関数aとbが微分方程式(^*)を満たすならば,aはC上定義された有理型関数となる。関数aは指数関数,楕円関数,三角関数,有理関数のいずれかで表される。
    本研究に関する成果は近い将来,雑誌論文として発表される予定である。また,本研究の成果の口頭発表として,平成11年9月,日本数学会秋季総合分科会無限可積分系セッションにおいて、特別講演を行った。
    これを記している現在,本研究の成果を用いて,ヤン・バクスター方程式の解であるR作用素の分類を行おうと試みている。
    Ministry of Education, Culture, Sports, Science and Technology, 奨励研究(A), 北海道大学, Principal investigator, Competitive research funding, 10740001
  • Algebro-analytic and/or representation-theoretic study of hypergeometric differential systems
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    1998 - 1999
    SAITO Mutsumi; SHIBUKAWA Youichi; YAMASHITA Hiroshi; YAMADA Hiro-Fumi
    With support of many examples by a computer, and by communication with world-wide experts in several fields, we obtained the following results.
    Mutsumi Saito has studied A-hypergeometric systems. He, in collaboration with Bernd Sturmfels and Nobuki Takayama, found and studied an unexpected relationship between A-hypergeometric systems and integer programmings, and showed the invariance of the rank of a regular holonomic system under Grobner deformations, and obtained three sufficient conditions for the rank of an A-hypergeometric system to equal the volume of the convex hull spanned by A. He classified parameters according to D-isomorphism classes of their corresponding A-hypergeometric systems.
    Hiro-Fumi Yamada has studied the relationship between Q-functions and affine Lie algebras. He showed a Q-function expressed as a polynomial of power sum symmetric functions is a weight vector for the basic representation of a certain affine Lie algebra realized on the polynomial ring, and illustrated the corresponding weight by Young diagrams. He also found an unexpected relation of Schur's S-functions and Q-functions.
    Hiroshi Yamashita has studied Harish-Chandra modules. He specified the embedding of Borel-de Siebenthal discrete series into the principal series representations. He also described the associated cycles of some important representations, such as discrete series and unitary highest weight representations, by using the principal symbols of invariant differential operators of gradient type whose kernels realize their dual Harish-Chandra modules.
    Youichi Shibukawa has worked on Ruijsenaars-Schneider dynamical integrable system. Related to its Lax presentation, he, in collaboration with Nariya Kawazumi, obtained all meromorphic solutions to the Bruschi-Calogero differential equation.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), HOKKAIDO UNIVERSITY, Competitive research funding, 10640146
  • Differential operators of gradient type on symmetric spaces and representations of Lie algebras
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
    1997 - 1999
    YAMASHITA Hiroshi; SHIBUKAWA Youichi; SAITO Mutsumi; YAMADA Hiro-fumi; NISHIYAMA Kyo; HIRAI Takeshi
    The purpose of this project is to study the embeddings of irreducible Harish-Chandra modules into various induced representations of a semisimple Lie group, by using the invariant differential operators of gradient type on certain homogeneous vector bundles over the Riemannian symmetric space. The kernel of such a differential operator realizes the maximal globalization of the dual Harish-Chandra module, and the determination of the embeddings in question is reduced to specifying the equivariant functions in this kernel space.
    First, the generalized Gelfand-Graev representations form a family of induced modules parametrized by the nilpotent orbits. Concerning the Harish-Chandra modules with highest weights for a simple Lie group of Hermitian type, the generalized Whittaker models associated with the holomorphic nilpotent orbits are specified. Namely, it is shown that each highest weight module embeds, with nonzero and finite multiplicity, into the generalized Gelfand-Graev representation attached to the unique open orbit in its associated variety. As for the unitary highest weight module, the space of the embeddings can be completely described in terms of the principal symbol of the differential operator of gradient type.
    Second, we consider a simple Lie group of quaternionic type. The 0th n-homology spaces, or equivalently, the embeddings into the principal series, of the Borelde Siebenthal discrete series are described, by using the Schmid differential operator of gradient type. We find in particular that the n-homology space has exactly two exponents if the real rank of the group is not one.
    Third, the relationship between the multiplicities in the associated cycles and the differential operators of gradient type are clarified for certain Harish-Chandra modules with irreducible associated varieties. The multiplicity can be written down by means of the principal symbol of a gradient type differential operator.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Hokkaido University, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 09440002
  • Combinatorial aspects of representations of groups and algebras
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    1997 - 1998
    YAMADA Hirofumi; NAKAJIMA Tatsuhiro; TERAO Hiroaki; SGIBUKAWA Youichi; SAITO Mutsumi; YAMASHITA Hiroshi
    I focused on a relationship of Schur's Q-functions and affine Lie algebras. First I found that the Q-functions, expressed as polynomials of power sum symmetric functions, form a weight basis for the basic representation of certain affine Lie algebras, realized on a polynomial ring. Q-functions are parametrized by the strict partitions. Using some combinatorics of Young diagrams, I determined the weight of the given Q-function. This procedure was applied to the simplest affine lie algebra $A^{(1)}_1$ to find an identity satisfied by Schur functions and Q-functions indexed by some specific partitions. At first this identity seemed funny : However this was proved to be true by making use of decomposition matrices of the spin representations of the symmetric group. By virtue of this fact, I turned to a study of the decomposition matrices themselves. As a first result I proved that the determinant of the decomposition matrix of the spin representations is equal to a power of two when the characteristic equals two.
    Another feature of my research is the so called "higher Specht polynomials" for the complex reflection group G(r, p, n). The group G(r, p, n) acts on the polynomial ring of n variables. The "coinvariant ring" is the quotient by the ideal which is generated by invariants over the group. It is known that the action of G(r, p, n) on this coinvariant ring is isomorphic to the regular representation. The higher Specht polynomials appear naturally as basis vectors of each irreducible component.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, Competitive research funding, 09640001
  • 量子代数とその表現論
    科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    1996 - 1996
    澁川 陽一
    ここ数年、ヤン・バクスター方程式の無限次元解である完全Z対称なR行列を、関数空間上に実現することにより得られる楕円型R作用素の満たす性質について研究している。本年度に主として研究したのは、楕円型R作用素に付随した可換な差分作用素族の構成である。
    ヤン・バクスター方程式の解である楕円型R作用素である適切な有限次元部分空間上に制限すると、Belavinにより構成されたヤン・バクスター方程式の有限次元解が得られる。そこで「Belavinにより構成された有限次元解の性質は、楕円型R作用素の性質から導かれるのではないか」という問題が生じる。研究代表者が以前に示した楕円型R作用素に関するVertex-IRF対応も、上記の問題を肯定的に解決したものであると捉えられる。
    ヤン・バクスター方程式の有限次元解は、多くの数理物理学者により研究されている。特に、有限次元解に付随した可換な差分作用素族の構成は、現在、活発に研究されている分野の1つである。
    昨年度の科学研究費補助金実績報告書に記載したように、楕円型R作用素から可換な差分作用素族を構成する方法の1つは知られていた。Belavinによる解では、これ以外の構成方法が知られている。そこで本年度は、この方法を一般化して楕円型R作用素に付随した可換な差分作用素族を構成しようと試みた。現在、簡単な結果が得られている。今後は、これをさらに発展させ、論文にまとめていきたいと考えている。
    日本学術振興会, 奨励研究(A), 北海道大学, Principal investigator, Competitive research funding, 08740003
  • ヤン・バクスター方程式の楕円型解とそれに付随する代数の表現
    科学研究費助成事業 重点領域研究
    1995 - 1995
    澁川 陽一
    ここ数年、ヤン・バクスター方程式の関数空間上の解である、楕円型R作用素の満たす性質いついて研究ししている。
    昨年度、楕円型R作用素がvertex-face対応という性質を持つことを証明し、その後、本年度にかけてこの結果を論文にまとめた。それが「11.研究発表」に記した論文である。したがって、この論文中のほとんどの結果は昨年度中に得られたものであるが、論文末の「Note added in proof」に書いた2つの結果は、本年度になってから得られたものである。そのうちの1つは、incoming intertwining vectorにもう1つパラメータを付け加えることができるということである。これは、後に記す可換な差分作用素族を構成するときに必要となる。また、outgoing intertwining vetorが存在するということは昨年度中までに得られていたが、本年度になってその具体的な形を求められることに気が付いた。これが2つ目の結果である。
    これ以外に、楕円型R作用素を退化させて得られる三角関数型R作用素に付随する格子模型に関する研究を桑野泰宏・山田裕二両氏と行った。格子模型の統計力学的取り扱いに習熟していない私にとっては、大変有意義なものであった。そして、楕円型R作用素から可換な差分作用素族が構成できることもわかった。構成方法は野海正俊氏に教えてもらったものである。可換な差分作用素族の構成には別の方法がある。これに関しても簡単な場合には計算することができた。一般の場合についても、計算していきたい。
    以上の研究を実行する上で、パーソナルコンピューター(パワーマッキントッシュ8100)とそれに入れた計算用ソフト(マセマティカ)を利用した。このソフトでは簡単な楕円関数も扱えるので、大変役立っている。
    日本学術振興会, 重点領域研究, 北海道大学, Principal investigator, Competitive research funding, 07210201
  • 量子代数とその表現論
    科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    1995 - 1995
    渋川 陽一
    ここ数年、ヤン・バクスター方程式の関数空間上の解である、楕円型R作用素の満たす性質について研究している。
    昨年度、楕円型R作用素がvertex-face対応という性質を持つことを証明し、その後、本年度にかけてこの結果を論文にまとめた。それが「11.研究発表」に記した論文である。したがって、この論文中のほとんどの結果は昨年度中に得られたものであるが、論文末の「Note added in proof」に書いた2つの結果は、本年度になってから得られたものである。そのうちの1つは、incoming intertwining vectorにもう1つパラメータを付け加えることができるということである。また、outgoing intertwining vectorが存在するということは昨年度中までに得られていたが、本年度になってその具体的な形を求められることに気が付いた。これが2つ目の結果である。
    これ以外に、楕円型R作用素を退化させて得られる三角関数型R作用素に付随する格子模型に関する研究を桑野泰宏・山田裕二両氏と行った。格子模型の統計力学的取り扱いに習熟していない私にとっては、大変有意義なものであった。そして、楕円型R作用素から可換な差分作用素族が構成できることもわかった。構成方法は野海正俊氏に教えてもらったものである。可換な差分作用素族の構成には別の方法がある。これに関しても簡単な場合には計算することができた。一般の場合についても今後、計算していきたい。
    日本学術振興会, 奨励研究(A), 北海道大学, Principal investigator, Competitive research funding, 07740001
  • ヤンバクスター方程式と量子代数
    科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    1994 - 1994
    澁川 陽一
    以下、completely Z symmetric R matrixのことを楕円型R作用素ということにする。最近、FelderとPasquierはこの楕円型R作用素をmodifyした上で、その定義域をある有限次元部分空間上に制限して得られるR行列がBelavinのR行列と一致することを証明した。このBelavinのR行列に関しては、その量子代数も、さらにはその簡単な表現(いわゆるfactorized L-operator)も構成されている。そこで、楕円型R作用素についても、ここに用いられた手法と同様の手法でfactorized L-operatorが構成できないか、という問題が考えられる。結果からいうと、この問題は肯定的に解決された。解決への鍵となるのは、楕円型R作用素に関するVertex-IRF対応である。これはこの楕円型R作用素と、ある面型のヤンバクスター方程式の解との間の関係を記述する公式である。この公式が得られたので、これを元にして、BelavinのR行列に対して用いられた手法とほぼ同様の手法を用いることにより、factorized L-operatorが構成できたのである。研究実施計画は実現できたことになる。この結果とFelder-Pasquierの結果を合わせることにより、BelavinのR行列に関するVertex-IRF対応が得られる、そしてfactorized L-operatorが構成できることが再証明される。今後、これをさらに発展させ、当初の目標である、楕円型R作用素に付随した量子代数を定義したい。そのためにはまだまだ、楕円型R作用素の性質を詳しく研究しなくてはならない。また最近、楕円型R作用素と可換な差分作用素のなす族との関連を示す論文が発表されたので、それも参考にしながら研究をすすめていきたいと思う。
    日本学術振興会, 奨励研究(A), 北海道大学, Principal investigator, Competitive research funding, 06740002
  • 単体的複体と凸多面体の離散構造の代数的諸相
    科学研究費助成事業 一般研究(C)
    1994 - 1994
    日比 孝之; 澁川 陽一; 齋藤 睦
    近年,現代数学の様々な分野において離散構造の重要性が認識されてきた.古典的な組合せ論の研究対象である単体的複体,半順序集合や凸多面体に限っても,その面,鎖の個数や格子点の数え上げは可換代数や代数幾何と深い接点を持つことが判明し,更に,凸多面体の三角形分割の組合せ論は超幾何函数の理論などとの相互関係を保ちながら急激に進展している.このような現状において,当該研究の目的は(1)凸多面体の離散構造の研究を代数的側面から刺激し進展させること,及び(2)単体的複体に付随する可換代数の代数的不変量を組合せ論的に記述することであった.目的(1)について,当該年度は,整凸多面体P⊂R^Nに含まれる格子点の個数i(P,n)の母函数から定義されるδ-列の組合せ論的特徴付けを探究した.我々は,函数i(P,n)をHilbert函数とする可換整域A(P)を定義しその代数的振舞からPのδ-列の組合せ論的諸性質を研究した.更に,可換整域A(P)が次数1の元で生成されるならば,Pのδ-列はいわゆる上限定理型の不等式を満たすことに着目し,A(P)が次数1の元で生成されるための必要十分条件をPの組合せ論で記述することを試み,部分的な成果を得た.目的(2)について,当該年度は,単体的複体Δに付随するStanley-Reisner環k[Δ]のBetti数列を組合せ論的に記述する研究を遂行した.我々は,k[Δ]の有限自由分解が純となるような単体的複体Δを組合せ論的に分類することに挑戦したが,その際,計算代数の成果とグレブナ-基底の基礎理論を使って,計算機実験をしたことが有益であった.更に,Δが有限半順序集合Xの順序複体のとき,k[Δ]のBetti数列をXのメビウス函数を使って表示する方法を模索し,modular束Xの順序複体のCohen-Macaulay型を計算するための効果的な公式を発見した.
    日本学術振興会, 一般研究(C), 北海道大学, Coinvestigator not use grants, Competitive research funding, 06640002
  • コンプリ-トリ-でシンメトリックなRマトリックスに付随した量子代数とその表現
    科学研究費助成事業 奨励研究(A)
    1993 - 1993
    澁川 陽一
    以下、コンプリ-トリ-ZシンメトリックなRマトリックスのことを簡単のため楕円関数型のR行列ということにする。楕円関数型のR行列に付随した代数をすぐに取り扱うことは難しいので、それを退化させて得られる三角関数型のR行列に付随した代数をまず研究した。研究目的・研究実施計画にもある通りこの代数の定義をし、そしてその表現を構成したいのであるが、そのためには三角関数型のR行列の性質を知ることが重要になってくるのでその性質についても合わせて研究した。代数に関しては、R行列の有限次元表現をとり、さらに上三角部分をとった上で量子代数を定義すると、それは量子群U_q(sl_n)のq-Serre関係式の一部を関係式として持つことがわかった。次は表現についてである。研究実施計画にも書いたように、表現を構成するときにはZamolodchikov代数が重要な役割を果たす。今の場合Zamolodchikov代数を用いて表現を構成するとき無限和が現れないことがわかった。すなわちそうなるようにうまく定義することができるのである。これを利用していくつか簡単な表現を得ることができた。今後、これらをさらに発展させ、当初の目標であるところの楕円関数型のR行列に付随した量子代数を定義したい。そのために、まず楕円関数型のR行列の性質を詳しく研究しなくてはならない。また最近他の楕円関数型のR行列に付随した量子代数について論文が発表されたので、それも参考にしながら研究をすすめていきたいと思う。
    日本学術振興会, 奨励研究(A), 北海道大学, Principal investigator, Competitive research funding, 05740001