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Kasuya Naohiko

Faculty of Science　Mathematics　MathematicsAssociate Professor
Research Center of Mathematics for Social CreativityAssociate Professor

Researcher basic information

■ Degree
  • Ph.D. (Mathematical Sciences), The University of Tokyo, Mar. 2014
■ URL
researchmap URLホームページURL■ Various IDs
J-Global ID■ Research Keywords and Fields
Research Keyword
  • Embeddings
  • Complex structures
  • Contact structures
  • Differential topology
Research Field
  • Natural Science, Geometry, Differential Topology
■ Educational Organization

Career

■ Career
Career
  • Apr. 2021 - Present
    Hokkaido University, Faculty of Science Department of Mathematics, Associate professor, Japan
  • Apr. 2017 - Mar. 2021
    Kyoto Sangyo University, Faculty of Science Department of Mathematics, Associate professor
  • Apr. 2015 - Mar. 2017
    Aoyama Gakuin University, School of Social Informatics, Assistant professor
  • Apr. 2014 - Mar. 2015
    The University of Tokyo, Graduate School of Mathematical Sciences, 特任研究員
  • Apr. 2012 - Mar. 2014
    JSPS, Research Fellowships for Young Scientists DC2
Educational Background
  • Apr. 2011 - Mar. 2014, The University of Tokyo, Graduate School of Mathematical Sciences Doctoral Program
  • Apr. 2009 - Mar. 2011, The University of Tokyo, Graduate School of Mathematical Sciences
  • Apr. 2007 - Mar. 2009, The University of Tokyo, Faculty of Science, Department of Mathematics
  • Apr. 2005 - Mar. 2007, The University of Tokyo, College of Arts and Sciences, 理科I類

Research activity information

■ Papers
■ Books and other publications
■ Syllabus
  • 大学院共通授業科目（一般科目）：自然科学・応用科学, 2024年, 修士課程, 大学院共通科目
  • 大学院共通授業科目（一般科目）：自然科学・応用科学, 2024年, 修士課程, 大学院共通科目
  • 大学院共通授業科目（一般科目）：自然科学・応用科学, 2024年, 修士課程, 大学院共通科目
  • 大学院共通授業科目（一般科目）：自然科学・応用科学, 2024年, 修士課程, 大学院共通科目
  • 幾何学演習, 2024年, 学士課程, 理学部
  • 幾何学演習Ｂ, 2024年, 学士課程, 理学部
  • 幾何学Ｂ, 2024年, 学士課程, 理学部
  • 線形代数学Ⅰ, 2024年, 学士課程, 全学教育
■ Research Themes
  • Mathematical innovations woven by singularity theory and geometric topology
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    Apr. 2023 - Mar. 2028
    佐伯 修; 大本 亨; 鎌田 聖一; 古宇田 悠哉; 粕谷 直彦; 片長 敦子
    本研究では、強力な幾何的トポロジーのアイデアを写像の特異点論に持ち込み、既存の概念・定式化・手法を革新し、特に大域的特異点論の飛躍的発展を図る。また逆に、幾何的トポロジーに特異点論から新しい道を切り開き、重要な諸問題の解決を図る。さらにそうした革新的研究で新研究領域を創成し、数学イノベーションを通して社会に貢献することが目的である。
    そのため令和5年度は、まず、コンパクト多様体上に可微分関数が与えられたとき、そのReeb空間が有限グラフの構造を持つための必要十分条件を、レベル集合の各連結成分がその近傍をどのように切断するかという観点から与えることに成功した。ここでReeb空間とは、レベル集合の連結成分全体のなす空間である。これまで多くの場合にグラフ構造を持つことは知られていたが、その完全な特徴づけが得られた意義は大きい。さらに、ホモトピー球面上のある種の標準的なスペシャル・ジェネリック写像の存在について調べ、そうした写像の存在によって定義されるホモトピー球面のなす群のフィルトレーションが、実はGromollフィルトレーションと完全に一致することを示した。このことは、スペシャル・ジェネリック写像のクラスがホモトピー球面の微分構造の観点から極めて自然なものであることも示唆している。応用面では、3次元多様体上に2つの実数値関数が与えられたとき、それらのレベル集合の位置関係を記述する際の基礎となる概念としてReeb complementという数学的対象を初めて定義し、具体的なデータに対してそれを求めるアルゴリズムの開発に着手した。また、3次元多様体上に2つの区分的線形関数が平面への写像として与えられたとき、そのReeb空間を多重次元Reebグラフを用いて求めることができることを数学的に証明し、与えられたデータに対してそれを求めるアルゴリズムの開発をある程度完了させた。
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (S), Kyushu University, 23H05437
  • 力学的微分トポロジーによる葉層・接触・シンプレクティック構造の研究
    科学研究費助成事業
    01 Apr. 2021 - 31 Mar. 2026
    三松 佳彦; 直江 央寛; 高倉 樹; 太田 啓史; 三好 重明; 粕谷 直彦
    日本学術振興会, 基盤研究(B), 中央大学, 21H00985
  • 力学的微分トポロジーによる葉層・接触・シンプレクティック構造の研究
    科学研究費助成事業
    Apr. 2021 - Mar. 2026
    三松 佳彦; 直江 央寛; 高倉 樹; 太田 啓史; 三好 重明; 粕谷 直彦
    余次元１横断的実解析的葉層に関して、平坦円周束に対する Mather-Thurston 写像の解析が進み、離散群の分類空間の間の写像として、左逆写像（すなわち、単射に対する射影）を許容することが厳密に証明され、BΓ の基本群（Haefliger 群）の構造の一部が理解された。また、Haefliger 群の2次のホモロジーを調べるために、曲面上の横断実解析的葉層のPoincare-Bendixon 理論を整備して、問題点を整理した。
    シンプレクティック構造の巻ってんからは、カスプ特異点の Milnor ファイバーに構成した Lefschetz fibration を Lagrangian fibration とすることにより、整アファイン構造を経て, 対応する Hirzebruch-井上曲面に定まる筈の b-symplectic 構造が復元できることが分かった。この計算により、一見多岐に分かれている本研究の幾つかのテーマが再び統括的に研究されるべきであることが再確認された。
    また、接触構造の観点からは一般化された Chern-Hamilton 予想（Reeb 流による計量の変形の L^2 積分をエネルギー汎関数とする変分問題の臨界点を求める）を完全に解決し、臨界点は測地型代数的Anosov流に付随するものであることが分かった。これも、やはり本研究の幾つかの研究対象の中心に Anosov 流があることを改めて認識させ、研究全体の進展を流すものとなっている。
    更に、接触幾何から Engel 構造の幾何へと展開するために、Cartan 幾何を枠組みとして取り入れるべきであるとの認識に至り、双接触構造（射影的Anosov流）と共にCartan幾何を応用するための基礎を固めた。
    日本学術振興会, 基盤研究(B), 中央大学, 23K20798
  • 強擬凹複素曲面とその境界に現れる接触構造
    科学研究費助成事業
    01 Apr. 2021 - 31 Mar. 2025
    粕谷 直彦
    研究課題(17K14193)において、強擬凹曲面への正則ハンドルの接着法を確立することにより「任意の3次元閉多様体はケーラーな強擬凹曲面の境界として実現可能である」という結果を得た。本研究課題ではその続きとして「強擬凹曲面上のケーラー形式と境界との相性がよい場合、境界上の接触構造はtightか？」という問題に取り組んでいる。現在のところ、以下の2つのアプローチを試みている。一つ目は、強擬凹曲面について何らかの意味で小平の埋め込み定理の類似が成り立てば、そこから境界のfillabilityが示され、特に接触構造がtightであることが示されるだろうというものである。しかし、強擬凹曲面上ではコンパクト複素曲面におけるホッジ理論に相当するものがないため、この方針はまだ糸口が見えない。何とか状況を打開するために、小平の複素曲面論や多変数関数論におけるL^2理論をよく理解しようと論文を勉強している段階である。二つ目の方針は、ハンドル接着によって具体的に反例を構成するというものである。つまり、境界との相性がよいケーラー形式を持ちかつ境界がovertwistedである強擬凹曲面を作るという方針である。現段階では、こちらの方が有望ではないかと考えており、contact (+1)-surgeryに相当するハンドル接着のみを使うことが鍵となるだろうと予想している。
    日本学術振興会, 若手研究, 北海道大学, 21K13797
  • ケーラーでない開複素多様体の幾何と4次元トポロジー
    科学研究費助成事業
    01 Apr. 2017 - 31 Mar. 2023
    粕谷 直彦
    本研究課題の目標の一つである「任意の3次元閉接触多様体は強擬凹複素曲面の境界として実現可能か？」という問いを肯定的に解決し、さらに接触多様体を充填する複素曲面はケーラーにも非ケーラーにもとれることを証明した。この結果は2002年にEtnyre-Hondaによって示された「任意の3次元閉接触多様体はconcave symplectic fillingを許容する」という定理のholomorphic versionと解釈することができる。また、任意の2つの3次元閉接触多様体を複素コボルディズムでつなげること、さらにそのコボルディズムはケーラーにとれることを証明した。ただし、この場合のケーラー構造は境界の接触構造との相性が悪く、得られる複素コボルディズムは必ずしもシンプレクティックコボルディズムとは限らない。
    今回我々がとった手法は、研究実施計画に記した通り、Eliashbergのハンドル接着によるシュタイン多様体の構成法を参考にしたものである。Eliashbergの方法では、強擬凸境界上のルジャンドル結び目に沿って、ラグランジュ円板をcoreとする正則ハンドルを接着するが、我々の方法では、強擬凹境界上の横断的結び目に沿って、正則円板をcoreとする正則ハンドルを接着する。この違いが我々のアイディアの本質である。これらの内容は、Daniele Zuddas氏との共著論文としてまとめ、現在学術雑誌へ投稿中である。
    日本学術振興会, 若手研究(B), 17K14193