SEARCH

Search Details

Hora Akihito

Faculty of Science　Mathematics　MathematicsSpecially Appointed Professor

Researcher basic information

■ Degree
  • (BLANK), Kyoto University
■ URL
researchmap URLホームページURL■ Various IDs
J-Global ID■ Research Keywords and Fields
Research Keyword
  • functional analysis, probability theory
Research Field
  • Natural Science, Basic analysis, Functional Analysis
■ Educational Organization

Research activity information

■ Papers
■ Other Activities and Achievements
■ Books and other publications
  • 対称群の表現とヤング図形集団の解析学--漸近的表現論への序説--
    洞 彰人
    数学書房, 2017, [Single work]
  • The Limit Shape Problem for Ensembles of Young Diagrams
    Hora, A
    Springer, 2016, [Single work]
  • Projective representations and spin characters of complex reflection groups $G(m,p,n)$ and $G(m,p,\infty)$
    Hirai, T; Hora, A; Hirai, E
    Mathematical Society of Japan, 2013, [Joint work]
  • この定理が美しい, ランダムネスに潜む普遍性---中心極限定理
    洞 彰人, 176--185
    数学書房, 2009, [Contributor]
  • Infinite Dimensional Harmonic Analysis
    Hilgert, J; Hora, A; Kawazoe, A; Nishiyama, K; Voit, M
    World Scientific, 2008, [Joint editor]
  • Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs
    Hora, A; Obata, N
    Springer, 2007, [Joint work]
  • Non-Commutativity, Infinite Dimensionality and Probability at the Crossroads
    Obata, N; Matsui, T; Hora, A
    World Scientific, 2002, [Joint editor]
■ Lectures, oral presentations, etc.
  • Dynamical scaling limit of the restriction-induction chain on Young diagrams in terms of free probability
    HORA Akihito
    Random Matrices and Their Applications, May 2018, English, Invited oral presentation
    [Invited], [International presentation]
  • Markov chains, graph spectra, and some static/dynamic scaling limits
    HORA Akihito
    第３回代数的組合せ論「仙台勉強会」, Mar. 2018, English, Invited oral presentation
    [Invited], [International presentation]
  • On evolution of macroscopic profiles (and their global fluctuations) for growing random Young diagrams
    HORA Akihito
    第１９回北東数学解析研究会, 19 Feb. 2018, English, Invited oral presentation
    [Invited], [International presentation]
  • 群論的なヤング図形集団における巨視的プロファイルとゆらぎの動的モデル
    洞 彰人
    筑波大学解析セミナー, 01 Nov. 2017, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Dynamic model for limit profiles and their Gaussian fluctuations in Young diagram ensembles
    HORA Akihito
    Mathematical Aspects of Quantum Fields and Related Topics, 26 Jun. 2017, English, Invited oral presentation
    [Invited], [International presentation]
  • On a dynamic model for limit profiles and their Gaussian fluctuations in group-theoretical ensembles of Young diagrams
    HORA Akihito
    Colloquium RIMS Kyoto Univ., 24 May 2017, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Application of free probability to dynamical limit shapes of random Young diagrams
    HORA Akihito
    One-day workshop on Interface between Commutative and Non-Commutative Stochastic Analysis, 28 Mar. 2017, English, Oral presentation
    [Domestic Conference]
  • ヤング図形集団における大数の法則(静的および動的モデル)
    洞 彰人
    岡山-広島解析・確率論セミナー, 20 Feb. 2017, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • 制限誘導連鎖の流体力学極限と自由確率論
    洞 彰人
    日本数学会年会, 22 Mar. 2015, Japanese, Oral presentation
    [Domestic Conference]
  • プランシェレル集団における流体力学極限と自由確率論
    洞 彰人
    札幌数理物理研究集会, 01 Sep. 2014, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • 対称群の表現の漸近理論への誘い
    洞 彰人
    非可換解析集中セミナー, 愛知教育大学, Sep. 2013, Japanese, Public discourse
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Growth process of multi-diagrams, its Martin boundary, and characters of an inductive limit group
    HORA Akihito
    Markov Chains on Graphs and Related Topics, RIMS International Project Research 2012: Discrete Geometric Analysis, 14 Feb. 2013, English, Invited oral presentation
    [Invited], [International presentation]
  • 帰納極限群の分岐グラフ上の調和関数
    洞 彰人
    月曜解析セミナー, 北海道大学, 19 Nov. 2012, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • コンパクト群の帰納系を舞台にした確率論と調和解析の話題
    洞 彰人
    北大数学談話会, 25 Oct. 2012, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • ヤング図形のエルゴード的な統計集団における集中現象
    洞 彰人
    表現論と非可換調和解析の展望, 京都大学数理解析研究所, 20 Jun. 2012, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • コンパクト群の環積の指標と分岐グラフの境界
    洞 彰人
    日本数学会年会, 29 Mar. 2012, Japanese, Oral presentation
    [Domestic Conference]
  • ヤング図形の群論的統計集団における最尤形状について
    洞 彰人
    岡山解析・確率セミナー, 27 Oct. 2011, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Harmonic functions on branching networks for some big groups
    HORA Akihito
    Sapporo Workshop on Non-commutative Analysis and Applications to Complex Phenomena, Sep. 2011, English, Invited oral presentation
    [Invited], [International presentation]
  • ヤンググラフ上の調和関数と無限対称群の表現
    洞 彰人
    離散幾何解析セミナー, 01 Jul. 2011, Japanese, Invited oral presentation
    [Invited], [Domestic Conference]
  • Characters and harmonic functions related to infinite wreath product groups
    HORA Akihito
    RIMS Project Research, The International Conference on Functions in Number Theory and Their Probabilistic Aspects, Dec. 2010, English, Invited oral presentation
    [Invited], [International presentation]
■ Syllabus
  • 基礎数学演習Ｃ, 2024年, 学士課程, 理学部
  • 基礎数学Ｃ, 2024年, 学士課程, 理学部
  • 基礎数学演習Ｃ１, 2024年, 学士課程, 理学部
  • 基礎数学Ｃ１, 2024年, 学士課程, 理学部
  • 微分積分学Ⅱ, 2024年, 学士課程, 全学教育
  • 解析学Ｆ, 2024年, 学士課程, 理学部
■ Affiliated academic society
  • 日本数学会
■ Works
  • Joint Research on Infinite-Dimensional Harmonic Analysis
    2000 - 2001
  • Joint Research on Algebraic Probability
    2001
■ Research Themes
  • asymptotic representation theory, harmonic analysis on branching graphs, and scaling limits for related probability models
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Apr. 2022 - Mar. 2026
    Akihito Hora
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, Principal investigator, 22K03346
  • Quantum probability and asymptotic analysis of large finite systems
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    01 Apr. 2019 - 31 Mar. 2023
    尾畑 伸明; 洞 彰人; 田中 太初; 荒木 由布子
    統計性の源泉を非可換代数とその表現に求める手法として、量子分解は量子確率論の基本的な概念であり、量子確率解析やスペクトルグフ理論などと関連して発展してきた。本研究では、グラフのスペクトル解析を通して量子分解法を拡張することを目標として、次の4課題を扱っている。
    （1）成長するグラフの同時スペクトル分布と付随する多変数直交多項式の決定：量子分解法は、グラフのスペクトル分布、特に成長するグラフに対する極限分布を求める手法として確立してきた。ただし、従来研究では1変数直交多項式に帰着される場合に限られているため、その制限を取り払うことが重要な課題となっている。そのための試論をいくつか検討している。一つの成果は、強正則グラフの直積に対して、隣接行列と補グラフの隣接行列の2変量の分布（同時スペクトル分布）と付随する2変数直交多項式の詳細構造を導出したことであり、国際共著論文として発表した。
    （2）アソシエーションスキームに付随した量子分解法の多変数化：上記の強正則グラフの議論は、距離正則グラフ、あるいはより一般のアソシエーションスキーム上で展開するのがより自然であり、代数的組合せ論の立場から準備研究を開始した。さらに、グラフのスペクトル解析という観点から、距離行列のQE定数という新しい不変量を導入して基本的な性質を調べるとともに、多くの具体的な計算を蓄積した。その一部は国際共著論文として発表した。
    （3）多変数直交多項式を特徴づける量子成分の非可換構造の抽出：量子分解の多変数化を直交多項式の視点からとらえれば、多変数直交多項式系に対して定義される「多変数的に拡張されたヤコビ行列」が鍵となる。そような拡張されたヤコビ行列に退化指数という概念を導入してスペクトル測度の特徴を捉える研究を継続している（前年度に最初の国際共著論文を発表）。
    (4）量子ホワイトノイズ解析の集大成：文献調査を進めた。
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Tohoku University, 19H01789
  • Interplay between asymptotic representation theory and scaling limits in probability models
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Apr. 2019 - Mar. 2022
    Hora Akihito
    A primary idea of asymptotic representation theory is found in noticing statistical characters of representation-theoretical quantities for a group in order to reveal the structure of the actions of a huge group. The fundamental framework of this project develops a bilateral interplay between asymptotic representation theory and scaling limits for probability models. In this project, based on ubiquitous Young diagram ensembles in group representations and branching graphs describing the branching rules for representations, we treated several models reflecting asymptotic behavior and probabilistic features of group actions. They include time evolution of the macroscopic limit shapes of Young diagrams obtained through space-time scaling limits, and ideal boundaries beyond branching graphs. In constructing these models and investigating their properties, we reached several fruitful results.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, Principal investigator, 19K03532
  • Deepening and developing asymptotic representation theory
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    Apr. 2016 - Mar. 2019
    Hora Akihito
    The fundamental idea of asymptotic representation theory consists of focusing on the statistical feature of representations via the viewpoint of probability theory, which aims at understanding the structure of actions of big groups such as the infinite symmetric group. In this research project, we investigated behavior of statistical ensembles of Young diagrams which often appear in analysis of group representations. We introduced dynamical scaling limit into group-theoretical probabilistic motions in Young diagram ensembles and considered macroscopic time evolution of the limit shapes resulting from the effect of the law of large numbers. We obtained several results on the formulation and the properties for this model.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Hokkaido University, Principal investigator, 16K05164
  • Spectral analysis of complex networks and modeling methods by statistics
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    2011 - 2013
    OBATA Nobuaki; HORA Akihito; KONNO Norio
    (1) Spectral analysis of networks: The asymptotic spectral distribution of the distance-k graph of the cartesian product graph is derived as a combinatorial central limit theorem. The asymptotic spectral distribution of weighted hypercubes are described in terms of q-deformed Hermite polynomials. The spectral distribution is completely determined for the Manhattan product of directed paths of small orders, and thier asymptotic behaviors are obtained in the infinite length.
    (2) Statistical and asymptotic behaviors of dynamics for the modeling methods: A quantum probabilistic method is applied to classical random walks for reconstructing transition probability and recurrence probability. A necessary and sufficient condition is obtained for a quantum walk (Grover walk) on a spidernet in order to exhibit the localization.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research, Tohoku University, 23654046
  • Study on decomposition of unitary representations of groups and harmonic functions on branching graphs
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
    2011 - 2013
    HORA Akihito; ISHI Hideyuki; MATSUMOTO Sho; OBATA Nobuaki
    We intend to develop harmonic analysis on a large group, which plays a role in clarifying complex phenomena involving a huge number of factors. Our project aims at establishing a concrete framework by which one clearly understands decomposition of representations of a large group. For wreath products of a compact group, including the infinite symmetric group and infinite complex reflection groups, we took interactive approach from probability theory, group representations and potential theory, and obtained concrete and detailed results on such objects as group character formulas and their characterization, boundaries of the branching graph and minimal harmonic functions, and description of ergodic probabilities on the path space of the graph.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Principal investigator, 23540197
  • Quantum Probability Theory and Infinite Dimensional Analysis
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    2008 - 2010
    OBATA Nobuaki; HIAI Fumio; URAKAWA Hajime; SUZUKI Kanako; LIANG Song; HORA Akihito; SAITO Kimiaki; HOROSHIMA Fumio; YOSHIDA Hiroaki
    We investigated mathematical models of random phenomena by revealing and utilizing non-commutative structures hidden behind. We introduced the new concept of quantum white noise derivative and applied to generalization of quantum stochastic integrals, integral representation of Fock space operators, representation of quantum martingales, and characterization of Bogoliubov transformation. For the structural analysis of complex networks, we developed the quantum probabilistic approach to spectral analysis and transition probability of random walks, and studied free probability, free entropy, and matrix inequalities.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Tohoku University, 20340025
  • Integrated study of probability and representation theory towards harmonic analysis on huge groups
    Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
    2007 - 2010
    HORA Akihito; OKADA Soichi; TATE Tatsuya; HIRAI Takeshi; OBATA Nobuaki; SHIMOMURA Hiroaki; KAWAZOE Takeshi; YAMADA Hirofumi; ARAI Hitoshi; NISHIYAMA Kyo; ISHI Hideyuki; MATSUMOTO Sho; INAHAMA Yuzuru
    Towards developing harmonic analysis on huge groups, we did integrated studies of probability theory and group representations. Harmonic analysis is a discipline which seeks deep mathematical structures by looking at symmetries of the objects and develops analysis relying on them. In this study, we are led to huge groups describing the symmetries because our objects are so big as to have an infinite degree of freedom. Main results among the ones we obtained are (i) classification and explicit formulas of the characters which are building blocks of harmonic analysis, and (ii) a series of theorems which construct a bridge between asymptotic behavior of representations of groups and probabilistic limit theorems.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Nagoya University, Principal investigator, 19340032
  • ランダムグラフの量子確率論的スペクトル解析
    科学研究費助成事業
    2007 - 2009
    尾畑 伸明; 洞 彰人
    グラフ(有限または無限)に付随する様々な行列や作用素(隣接行列・Q-行列・ラプラシアン・推移行列など)のスペクトルはグラフの構造をさまざまに反映し、代数的グラフ理論の中心的なテーマである。近年、(a)多様な独立性(b)量子分解法(c)分割の統計、などの量子確率論的手法によるスペクトル解析が大きく発展している。本研究では、これらの手法をランダムグラフに適用できるように拡張し、複雑ネットワークへの応用を視野にいた具体的なモデルのスペクトル分布を導出することが重要である。特に、ワッツ・ストロガッツ模型の修正モデル(一般化エルデシュ・レニーモデルと呼ぶ)とランダム閾値グラフについて研究を重ねた。今年度は、今野氏・井手氏との共同研究によって、一般的な閾値グラフのスペクトルを計算し、ランダム閾値グラフの平均スペクトル分布を導出したことが大きな成果である。ランダム閾値グラフはランダム成長グラフととらえることができ、その成長の仕方に対応する独立性の定式化は非常に興味深く、研究を続行している。ボロバシュの流れをくむウチャック氏を招聘し、ランダムグラフの連結成分の挙動についてスペクトル的アプローチを議論した。残念ながら、エルデシュ-レニーのランダムグラフに対する希薄極限のスペクトル密度の導出には至らなかった。第26回代数的組合せ論シンポジウム(山形)と数理物理サマースクール2009(東京)において、量子確率論的手法について総合報告をするとともに、いくつかの国際会議で成果の一部を発表した。日本と韓国の代数的組合せ論研究者との研究交流が始まり、新しい展開が期待できる環境が整ってきた。
    日本学術振興会, 挑戦的萌芽研究, 東北大学, 19654024
  • Study of harmonic analysis and applications to multidimensional signal processing
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    2007 - 2009
    ARAI Hotoshi; KANJIN Yuichi; HORA Akihito; TACHIZAWA Kazuya
    The main theme of this research project is harmonic analysis and its applications to multidimensional signal processing. I constructed new framelets (with S.Arai). Applying them, we succeeded in the discovery of illusory components in Arai's fractal spiral illusion, and in the removal of illusory components from the illusion (Arai and Arai (1), in press). This result was reported by Kakenhi News (2009, vol.1). Moreover, I obtained some results related to frame operators and multidimensional polyphase matrices.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), The University of Tokyo, 19340029
  • 群の表現から見たボーズ凝縮の萌芽研究
    科学研究費助成事業
    2006 - 2008
    松井 卓; 洞 彰人
    今年度の研究は当初の予定から大きく外れ格子上の量子力学系のハーグ双対性をめぐる研究が主体となった。格子上を動くボーズ粒子系は、これまで生成消滅作用素の指数関数から定まるワイルCCR代数を使って統計力学を考える場合が多かった。しかしこれでは有限自由度の場合でもハミルトニアンのレゾルベントがワイルCCR代数の元ではないので統計力学的な問題を研究するには様々な困難がある。Buchholz等はワイルCCR代数の代わりに生成消滅作用素のレゾルベントが生成する代数を考える事を提案したが、この路線でいくつか基本的な事項を証明することを検討した。
    その手始めとして前年度研究した純粋状態のハーグ双対性とSplit性の研究を行う予定であった。量子スピン系の並進不変純粋状態のハーグ双対性の証明は既に雑誌に発表したが、最近、その証明に一部不十分な点があるのが判明し証明の修正を試みている。局所性を持つ相対論的場の量子論では、その公理からReeh-Schliederの定理が成立する。Jones-Wassermannのループ群から生成される部分因子環の研究では、Reeh-Schliederの定理から基底状態セクターでのハーグ双対性の証明が行われたのであるが一次元量子スピン系の場合にもReeh-Schlieder型の定理を仮定すればハーグ双対性は証明できることが判明した。格子の次元が高い場合に半空間の間でのハーグ双対性の証明は、クンツ代数の拡張としてUHF代数の片側シフトによる接合積を用いるとReeh-Schlieder定理が成立すればハーグ双対性が成立することも証明できる。
    ハーグの双対性が分かると2点相関関数の一様減衰が状態のSplit性を意味することも分かった。
    ボーズ粒子系のレゾルベント代数の場合のハーグ双対性については、まだ成果を得ていない。
    日本学術振興会, 萌芽研究, 九州大学, 18654029
  • Study of free probability and operator algebras based on random matrices
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    2005 - 2008
    HIAI Fumio; OBATA Nobuaki; URAKAWA Hajime; OZAWA Masanao; KOSAKI Hideki; YAMAGAMI Shigeru; HORA Akihito; UEDA Yoshimichi; NAKAMURA Makoto
    最近25年, D.Voiculescuが開拓した自由確率論は, 非可換確率論の一つとして大きな発展を遂げた.自由確率変数の漸近モデルであるランダム行列や, 自由確率論に固有なエントロピーである自由エントロピーを基に, 自由確率論の研究を行った.関連して, 代数的確率論, 作用素論, 作用素環, 量子情報理論についても研究した.自由確率論における主要な成果は, 自由エントロピーと自由エントロピー次元の新しい定式化,対数ソボレフ不等式と輸送コスト不等式の自由確率版の導出などである.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Tohoku University, 17340043
  • Study of asymptotic theory for representations of symmetric groups from the viewpoint of scaling limits for probability models
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    2004 - 2006
    HORA Akihito; YAMADA Hiro-Fumi; MURAI Joshin; SASAKI Toru
    The main purpose of the present research is to study asymptotic behavior of various characteristic quantities of representations of symmetric groups and other similar discrete groups as the sizes of the groups grow, and to investigate the limiting pictures from the viewpoint of scaling limits in probability theory and statistical mechanics. Features to be noted in this research include using methods of limit theorems in quantum probability and making much of relations to free probability and random matrices. The following are several concrete results.
    1. We studied the spectral distributions of Laplacians with respect to the Gibbs states in zero temperature and infinite volume limit as graphs grow with their degrees and temperatures keeping certain scaling balances. We computed the asymptotic behavior in details under the formulation of quantum central limit theorem by using creation and annihilation operators on interacting Fock spaces.
    2. Through combinatorial hard analysis of moments of the Jucys-Murphy element, we studied universal understanding of concentration phenomena in various statistical ensembles consisting of Young diagrams, including those which come from irreducible decomposition of a representation of the symmetric group such as the Littlewood-Richardson coefficients. Many of them are closely related to some properties of random walks on a certain modified Young graph. Here also we applied methods of quantum probability effectively.
    3. Under cooperation with T. Hirai and E. Hirai, we constructed a nice factor representation which expresses any character of a wreath product of a compact group with the infinite symmetric group as its matrix element. This representation reflects directly the characterizing parameters for the character beyond a general representation of Gelfand-Raikov.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Okayama University, 16540154
  • 多様体上の群の作用と無限次元調和解析
    科学研究費助成事業
    2005 - 2005
    西山 享; 洞 彰人; 新井 仁之; 河上 哲; 河添 健; 内藤 聡
    本研究は多様体上の群の作用とその上の調和解析について周辺分野および応用分野を含めた研究者間の交流を図り、共同研究の下地となるように企画された。特にドイツとの交流に力点をおいたのが特徴である。
    本年は若手研究者2名(A.オールドブリッジおよびT.ヨハンセン研究員)および中堅の研究者3名(M.シュトルツ、M.フォイト、M.レースラーの各準教授)そしてハイパー群の専門家であるH.ハイヤー教授の合計6名をドイツより招聘し、分担者の属する様々な大学で多くの日本人研究者との交流を果たした。また日本からは、洞助教授、河上教授、河添教授、示野助教授の4名をドイツに派遣した。洞・河添の両名はこの企画調査によって2007年度に国際研究集会を日独間で開催するための調査と準備を綿密に行った。河上・示野の両名はそれぞれハイパー群およびダンクル作用素に関する共同研究について研究連絡を行った。これらはいずれも実り多い結果をもたらしたが、それを以下少し詳しく報告する。
    まず2007年9月に日独間で国際研究集会を開き、研究者の更なる交流を深めることで、研究分担者および協力者の合意を得た。この集会は分担者の研究分野にとらわれることなく、「無限次元調和解析」という学際的な分野において相互理解と更なる共同研究を模索するために企画された。まだ資金的な裏付けは得られていないものの、招待講演者の選定など既に具体的な集会の運営に向けて動き出している。次に、河上教授はハイヤー教授と共にハイパー群の拡張理論に作用素環の理論を応用し、有限ハイパー群の具体的な構成を目指して共同研究を開始した。また、示野助教授はリーマン対称空間の調和解析とダンクル作用素および球関数の理論との関連を研究していたが、ドイツ側の招きで連続講義を行うなど日独双方の研究状況についての意見交換を行った。このダンクル作用素の理論についてはフォイト・レースラーも多変数ベッセル関数の観点からシュティーフェル多様体上のダンクル理論を取り扱っているが、日本における研究連絡において菊地助手(京都大学)の研究しているゲルファント対との関連性を議論するなど活発な意見交換が行われた。
    日本学術振興会, 基盤研究(C), 京都大学, 17634005
  • Nonlinear theory of quantum white noise and its non-Gaussian extension
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    2003 - 2005
    OBATA Nobuaki; HIAI Fumio; URAKAWA Hajime; HORA Akihito; ARIMITSU Toshihico; SAITO Kimiaki
    Stochastic analysis has developed considerably keeping profound applications to mathematical analysis of random phenomena, where the traditional framework, called the Ito calculus, is based upon functionals of Brownian motion. We start, in this research project, with the new aspect of quantum white noise which is obtained by applying quantum decomposition and time derivative to the Brownian motion. Since the quantum white noise is more primary, we come naturally to two lines of research beyond the traditional stochastic analysis : nonlinear theory and non-Gaussian extension. We developed quantum white noise theory by making research collaboration, workshops, summer schools, international conferences. The research subjects are as follows :
    (1) Nonlinear white noise equations : We developed white noise operator theory by means of a newly obtained characterization theorem and introduced the notion of quantum white noise derivatives.
    (2) Complex white noise : Unitarity of the Fourier-Gauss transform is proved. We found that the solution to normal-ordered white noise equation involving quadratic quantum white noise possesses partial unitarity.
    (3) Levy Laplacian and higher powers of quantum white noises : Associated stochastic processes are constructed and the relation between them is established through the heat equation.
    (4) Interacting Fock space : We established a systematic approach to asymptotic spectral analysis of graphs, in particular, for growing regular graphs and graphs related to notions of independence.
    (5) Non-Gaussian stochastic processes : We are continuing the study of interacting Fock space of multi-mode towards quantum decomposition of stochastic processes.
    (6) Infinite dimensional harmonic analysis : The method of quantum decomposition is applied to prove a generalization of the Kerov central limit theorem. The asymptotic representation theory of the symmetric groups and the infinite wreath products have been developed.
    (7) Application to quantum physics : We promoted collaboration with physicists through quantum stochastic differential equations, statistical properties of turbulence, Bose-Einstein condensation on graphs.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Tohoku University, 15340039
  • Harmonic analysis on graphs and discrete groups, and scaling limit for probability models
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    2001 - 2003
    HORA Akihito; MURAI Joshin; SASAKI Toru
    The aim of this project is to read out statistical properties of huge systems characterized by a certain symmetry from the viewpoint of asymptotic spectral analysis and scaling limits by using the methods of harmonic analysis and representation theory. We obtained concrete results as follows.
    1. We computed scaling limits for the spectral distributions of adjacency operators on graphs in the framework of quantum central limit theorem. We introduced Gibbs states as well as vacuum states on distance-regular graphs and investigated the limit picture in low temperature and high degrees especially for Johnson graphs. The result is described in terms of the interacting Fock space associated with Meixner polynomials. Interesting distributions are derived in the limit by using combinatorial structure of creators and annihilators.
    2. We established a general theory for spectral analysis of graphs by the method of quantum decomposition. We revealed a connection of asymptotic characteristic values of regular graphs with the parameters of interacting Fock spaces. The limit distributions are systematically described by using methods of orthogonal polynomials and Green functions beyond computation of individual spectral limits. The item here is closely related to a joint work with Nobuaki Obata at Tohoku University.
    3. We obtained an extension (a quantization) of Kerov's central limit theorem for irreducible characters and the Plancherel measure as an asymptotic aspect of representations of the symmetric groups. Since the result goes out of the framework of interacting Fock spaces, we introduced a modification of the usual Young graph as well as creators and annihilators on it.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Okayama University, 13640175
  • Research for Hilbert C^* -bimodules and its application to dicrite dynamical systems
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    2000 - 2002
    KAJIWARA Tsuyoshi; HORA Akihito; NAKAJIMA Atsushi; WATATANI Yasuo
    1. Following the preceding our research on finitely generated Hilbert C^*-bimodules, we develop fundamental theory for countably generated Hilbert C^*-bimodules. In particular, we give a characterization of finite index property using the concept of conjugate. Moreover, we give a condition for countably generated Cuntz Krieger bimodules to be of finite index. We have a plan to give many examples of countably generated bimodules, and will develop application of our theory to concrete examples.
    2. We define the crossed product bimodules by continuous groups as examples of countably generated bimodules, and show that they are of finite index.
    3. We study the structure of the C^*-algebras generated by countably generated Cuntz-Krieger bimodule, and get conditions for their simplicity and the possibility of the classification of ideals.
    4. We study the structure of C^*-algebras generated by continuous graphs whose vertex sets are elements in 1-dimensional torus. We get results similar as in 3.
    5. We study the C^*-algebra generated by "tent map" dynamical system as an example of countably generated Hilbert C^*-bimodule which is not of finite index. We construct a well behaved countable basis for this, and prove the simplicity and pure infiniteness, and calculate its K-groups.
    6. For complex dynamical systems given by iteration of rational maps on Riemannian sphere, we give a definition of Hilbert C^*-bimodules for them even when they have branched points on their Julia sets. We study the structures of the associated C^*-algebras for concrete examples, for example 2-dimensional polynomial and Tchebychev polynomials, calculate their K-groups. We have a plan to develop this theory and also study ergodic properties of complex dynamical systems.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), OKAYAMA UNIVERSITY, 12640210
  • Harmonic analysis on discrete structures and its applications to classical and quantum probability models
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    1999 - 2000
    HORA Akihito; MURAI Joshin; SASAKI Toru; HIROKAWA Masao
    We studied asymptotic behavior of probability models by using the methods of harmonic analysis. Main results are included in 1. the cut-off phenomenon in random walks and 2. central limit theorems in algebraic probability.
    1. The cut-off phenomenon is a sort of critical phenomenon widely observed in the process of convergence to the equilibrium for Markov chains. It is known that the multiplicities of eigenvalues of a transition matrix, which are caused by symmetry of the system, play an important role. In this project, we seeked a rigorous and practical criterion for the cut-off phenomenon beyond verification in individual models and intuitive understanding based on the degeneration of the second eigenvalue. Focusing on distance-regular graphs, we obtained a criterion described in terms of spectral data of the graph. This enables us to find models of the cut-off phenomenon systematically.
    2. Quantum central limit theorems form a main stream in algebraic probability. In this project, we studied important relations between independence of noncommutative random variables and central limit theorems, making much of their algebraic and combinatorial aspects. As a concrete result, we mention the asymptotic spectral distribution of the Laplacian operator on a Johnson graph with respect to the Gibbs state under a low temperature and infinite volume limit. This result leads us to the consideration of creators and annihilators on a nontrivial interacting Fock space and hence gives a good working example in this direction.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Okayama University, 11640168
  • Quantum White Noise and Infinite Dimensional Harmonic Analysis
    Grants-in-Aid for Scientific Research
    1997 - 1999
    OBATA Nobuaki; ARIMATSU Toshihiko; MINAMI Kazuhiko; AOMOTO Kazuhiko; HORA Akihito
    (1) Normal-Ordered White Noise Equations. On the basis of white noise calculus traditional quantum stochastic differential equations of Ito type are extended to normal-ordered white noise equations and properties of their solutions are described by means of white noise distributions. Cauchy problems on white noise space are solved through one-parameter transformation groups with new aspect to infinite dimensional harmonic analysis.
    (2) Higher Powers of White Noises and Renormalized Ito Formula. The Ito formula associated with normal-ordered white noise equations involving higher powers of quantum white noises emerges with renormalization and its structure is investigated by means of white noise operator theory. It is applied to (quantum) stochastic differential equations with very singular coefficients.
    (3) Stochastic Limit of Quantum Theory. Quantum noises and quantum stochastic differential equations are derived through stochastic limit from standard Hamiltonian models such as Anderson model in solid state physics and models of quantum electrodynamics without dipole approximation. Such direct treatment of very strong nonlinear interaction motivate to construct theory of interaction Fock module to give a unified aspect to new phenomenon.
    (4) Mathematical Analysis of Dissipative Quantum Systems. In order to describe the transition from micro-systems to macro -systems within the framework of canonical operator formalism, the theory of Non-Equilibrium Thermo Field Dynamics is developed. Relationship among equations describing dissipative quantum systems is clarified with a unified point of view.
    (5) Central Limit Theorems. Within the framework of algebraic probability the new concept of singleton independence is introduced and the associated central limit theorems and limit processes are derived towards mathematical origin of quantum noises. Connection with random walks on discrete graphs is investigated through analogues of the creation and annihilation operators.
    (6) Others. Quantum Markov chains, complex white noise and coherent state representation, inversion formulas of S-transform and operator symbols, quantum reality and locality, statistical invariance.
    Japan Society for the Promotion of Science, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Nagoya University, 09440057
  • 無限次元調和解析
    科学研究費助成事業
    1998 - 1998
    平井 武; 山下 博; 洞 彰人; 斎藤 公明; 山口 博; 久保 泉
    1. 廣い意味の調和解析学の発展はめざましく,最近は無限次元的な対象を取り扱おうとする萌芽的研究が生まれている.こうした「無限次元調和解析」を目指す気運は国際的な広がりを見せている.
    これに呼応して,共同研究の企画を試み,研究協力を強化発展させた。最近の,無限次元調和解析学の研究に関し,重要な四つの柱を選び,その方面の中心的研究者に参加して貰い,共同の研究会を持って,新しい共同研究を企画・開拓した.さらに,日独の国際共同研究を学振に申請した.
    2. 上記の四つの柱とは,
    (1) 無限次元群,例えば多様体上の微分同相写像のなす群,loop群,超リー代数,Kac-Moody環の表現論,及びそれに対応する幾何学的対象の研究.また,半単純リー群の無限次元表現の新しい方向の研究.
    (2) 局所コンパクト群上の函数の変換に関する研究,双対性及び測度環の研究.
    (3) 群やそれを一般化したhyper group,その他の代数的構造の上の酔歩の理論.
    (4) ホワイトノイズ解析,無限次元リー群やloop空間上の確率解析と無限次元群の表現の応用.
    3. 「無限次元調和解析」の共同研究の企画調査をした.共同研究の姿としては,
    (1) 上の4つの重要な柱の間の有機的関連が図られ,相互に影響し合いながら,それぞれの発展を計る,
    (2) 無限次元群などの表現論とloop空間上の確率解析や群上の測度環の研究との間に相互の応用.
    (3) 位相群上の調和解析は群のアーベル性,非アーベル性に関係のない,統一的理論の確立.
    (4) 無限次元空間,とくにガウス空間の変換群は,場の量子論や確率場の理論において,しばしば興味深い役割を演じている.そのような変換群の表現論を通じて,ホワイトノイズ解析,量子的(非可換)ホワイトノイズを基礎とした量子確率解析にまで,応用を拡げる.
    日本学術振興会, 基盤研究(C), 京都大学, 10894010
  • グラフ上の調和解析とその古典および量子統計モデルへの応用
    科学研究費助成事業
    1997 - 1998
    洞 彰人
    高い対粘性を有するグラフの上で、調和解析や表現論の方法に基づいて、主にラプラシアンのスペクトルの無限体積極限における漸近挙動を調べた。その結果を古典および量子統計モデルに関する極限定理に応用した。本年度は、量子確率論における中心極限定理についての研究で、幾つかの進展を得た。便宜上、それらを
    (1)一般的な理論の範疇に入る結果と(2)具体的なグラフに即した結果
    とに分けて報告する。
    (1)非常に多くの小さなゆらぎが積み重なってどのようなマクロ効果が観測されるかというのが、中心極限定理の基本的なモチーフである。そのゆらぎを互いに非可換な作用素によって表現し、量子力学におけるオブザーバブルの確率解釈を通して、そのゆらぎの総和を確率論的に捉えようというのが、われわれの,研究の枠組である。その際、作用素たちの統計的な独立性がクローズアップされてくる訳であるが、古典的な場合に比べて量子確率論ではこの独立性が多様な性質を内包している。本研究では、その独立性を代数的な面を主眼にして捉え、組み合せ論の議論を多用して、中心極限定理に与える影響を見た。
    (2)前述のような枠組でグラフのラプラシアンを考察すると、グラフの代数的および位相的性質が中心極限定理の極限分布の形状に大きな影響を与えることがわかる。(標陽的に言って)可換性に由来するガウス分布、自由性に由来するウィグナー分布の他に、グラフの多様性を反映してさまざまな極限分布が得られた。本研究で考察した具体的なグラフとして、ハミンググラフ、ジョンソングラフおよびそれらのq-アナログ等の距離正則グラフ、対称群から派生する幾つかのケーリーグラフを挙げておく。
    日本学術振興会, 奨励研究(A), 岡山大学, 09740108
  • ヒルベルト双加群によるC^*環の指数理論の研究
    科学研究費助成事業
    1996 - 1996
    梶原 毅; 曽布川 拓也; 佐々木 徹; 平井 安久; 洞 彰人; 実方 宣洋
    ヒルベルト双加群の離散群による接合積の研究を進めた。これはCombたちによるimprimitivity双加群の接合積の概念の拡張にあたり、ヒルベルト双加群の新たな例を構成する有力な手段の一つである。合わせて、換離散群接合積に関するTakesaki双対性、テンソル積などのカテゴリー的な性質を証明した。この結果は、Crossed Products of Hilbert C^*-Bimodules by Countable Discrete Groupsにおいて、刊行される。
    有限群上のバンドルによるヒルベルトC^*双加群の接合積を定義し、基本的な性質に引き続き、複数のバンドル、双加群の接合積における結合法則を示し、それによって興味ある例を構成した。この結果は、Crossed Products of Hilbert C^*-bimodule by bundlesにまとめ、フーリエ変換によるKac環の積法則の計算など、さらに研究中である。
    ヒルベルト双加群から作られるC^*環は、共変表現環の拡張にあたると考えられるが、これについて、Cuntzが与えた条件(I)と類似の条件のもとで、単純性を証明した。この結果は、Ideal Structure and Simplicity of the C^*-Algebras Generated by Hilbert Bimodulesにまとめている。
    連続群に接合積双加群を定義し、加算生成ヒルベルト双加群の公理を満たすことを示し、単位元がない場合のノルムの同値性を導いた。これにより、無限コンパクト群の表現環からなるDoplicher-Roberts環のヒルベルトC^*双加群による実現が可能となり、K-理論など双加群C^*環の理論の適用が可能となる。
    一般化されたクンツ環において、双加群による構成とgropoidによる構成の関係を研究した。特にトーラス上の関数環加群について詳細に計算している。トーラスのゲージ作用とともに、自由群の余作用のスペクトル部分空間を考えることが、この研究において重要であることがわかった。
    日本学術振興会, 基盤研究(C), 岡山大学, 08640205
  • ヴィット群の拡張と幾何学的応用の研究
    科学研究費助成事業
    1996 - 1996
    森本 雅治; 洞 彰人; 池畑 秀一; 中島 惇; 野田 隆三郎
    平成8年度のヴィット群の研究において、次のような進展があった。
    (1)ヴィット群を拡張し3次元の多様体における手術障害類を定めるために有効な、幾何学的(すなわち束構造の拡張可能性を数値化して得られる)2次形式の定式化ができた。現在、この結果を用いて3次元の手術理論を研究している。
    (2)ヴィット群とバーンサイド環の関係を利用して、球面上の滑らかな作用の不動点集合の構成法を与えた。K.Pawalowski氏を含めた共同研究により、この成果を用いて巾零なオリバー群の球面上の滑らかな作用の不動点集合の決定を行った。この応用について、2つのシンポジウムSurgery and Geometric Topologyおよび変換群論シンポジウムで講演を行った。また、これらの結果に関する論文を現在作成中である。巾零でないオリバー群に関しては今後の研究課題である。
    (3)柳原守氏を含めた共同研究により、コンピュータソフトGAPを用いて同変手術理論に適合する接空間表現を見出すためのプログラムを簡素化し、計算時間を短縮した。このプログラムについて、シンポジウムトポロジーとコンピュータで講演を行った。
    (4)手術障害類群としてヴィット群をコボルディズム群としてのヴィット群を用いて群構造を解明するアイデアを得た。詳しい計算は今後の課題である。
    この科学研究費補助金によって、多くの数学者とアイデアや研究情報の交換など研究交流を行うことができたことは、研究の大いなる助けとなった。
    日本学術振興会, 基盤研究(C), 岡山大学, 08640120
  • 量子ランダムウォークの調和解析の研究
    科学研究費助成事業
    1995 - 1995
    洞 彰人
    種々の代数的構造の上のランダムウォークについて、調和解析的な方法を用いて研究を行った。特に、量子ランダムウォーク(quantum random walk)をこのような視点に基づいて調べることを主眼とした。一般に、ランダムウォークの分布は時間が経つにつれて平衡状態に収束していくが、その収束の過程を詳しく記述することは、物理学や統計学への応用において中心的な位置を占める問題である。古典的なランダムウォークに関する結果を踏まえて、量子ランダムウォークの平衡状態への収束の仕方の特徴を捉える方法を考察した。代数的構造の面で言えば、カッツ代数の理論が重要な役割を担うことがわかった。量子ランダムウォークを生成するホップ代数の構造に加えて、調和解析の方法の礎になる双対性を有することが効いている。多少未完成な形ではあるが、そのあたりの事情は別紙記載の論文に発表した。その中で、古典的なランダムウォークと対応させながら、量子ランダムウォークの推移作用素や不変測度について述べ、平衡状態への収束の過程を記述する問題を定式化した。このような立場に関連して、グラフやアソシエーションスキームの上のランダムウォークについても、新しい知見が得られる。すなわち、状態空間をなすグラフやアソシエーションスキームに付随して自然に定まるある種の作用素の族を考え、それらをオブザ-バブル(量子確率論的観点から見た確率変数)とみなして、確率論的な挙動を調べるのである。たとえば距離正則グラフのように高い対称性をもつ状態空間を扱う場合には、指標や球関数の性質についての詳しい情報が得られ、調和解析の方法がうまく機能する。このあたりの話題に関しては、現在論文を準備中である。
    日本学術振興会, 奨励研究(A), 岡山大学, 07854006
  • 表現論的方法に基づくランダムウォークの研究
    科学研究費助成事業
    1994 - 1994
    洞 彰人
    1.表現のテンソル積の分解、粒子の拡散、カードシャッフリング等の具体的な現象を、状態空間の持つ固有の代数的構造によって引き起こされるランダムウォークとして定式化し、表現論的方法を用いてその性質を研究した。主たる研究事項は、これらのランダムウォークの平衡状態とそのような状態への収束の仕方である。群の作用の他、ハイパーグループ、アソシエーションスキーム、ホップ代数等の代数的構造を考慮して、多様な運動をできるだけ統一的に把握できるよう努めた。
    2.状態空間の上部構造としての多元環の積(から決まる構造定数)によって推移確率を定め、この推移確率を与える多元環の元のベキ乗にまつわる種々の性質でもってランダムウォークの挙動を記述するというのが、基本的な問題設定である。以下、2つの具体的な対象について述べる。
    (1)単純リー環の有限次元既約表現のテンソル積の分解における重複度を数えることによって、ウェイト束(とワイル領域との共通部分)の上のランダムウォークが生じる。これは、非可喚なホップ代数に付随する量子ランダムウォークの1つの例を与えることがわかった。また、表現論的な量を用いて推移確率を明示する式を得た。
    (2)ジョンソンスキームを用いた粒子の拡散モデルを拡張し、粒子の重ね合わせの状態を導入することによって、ジョンソンスキームのq-アナログ(あるいはグラスマン多様体)上のランダムウォークが生じる。これらを一般のアソシエーションスキームを用いて定式化し、より広いクラスのモデルに対して、拡散の臨界時刻を求められることがわかった。この作業は現在進行中である。
    日本学術振興会, 奨励研究(A), 岡山大学, 06740119
  • 代数的構造の上の調和解析とランダムウォークの漸近挙動の研究
    科学研究費助成事業
    1993 - 1993
    洞 彰人
    群の作用を中心とするさまざまな代数的構造の上の調和解析を応用し、ランダムウォークやマルコフ連鎖等の確率モデルの研究を行った。いろいろな構造の上のランダムウォークを統一的に理解するために、ハイパーグループの観点を重視したのが特徴である。
    本年度に得た具体的な結果を記す。位相群Gの作用による等質空間Xとその上のマルコフ連鎖(Mn)を考える。(Mn)がG-不変であれば、それをG上のランダムウォーク(Wn)に持ち上げることができることを証明した。Gの作用が左からのときはG上の右ランダムウォークを考えねばならないこと、したがって、(Wn)のXへの射影のマルコフ性が一般には成立しないことなど、可換な作用の場合には現れない現象が起こる。X上のG-不変なマルコフ連鎖とG上の両側K-不変な右ランダムウォークとが1対1に対応している(KはXの一点の安定化群)というのが、主定理である。したがって、X上のこのようなマルコフ連鎖の推移確率が絶対連続であれば、それを(G,K)に付随するヘッケ環の元で表せる(または近似できる)ことになる。これはハイパーグループの考察へと自然につながるものである。
    上記の結果はむしろ一般論であるが、具体的な確率モデルの考察の過程で抽出された問題である。たとえば、粒子の拡散を記述するベルヌ-イ・ラプラス模型を一般化して、粒子の重ね合わせを許容したモデルを考えた場合、拡散の様子はグラスマン多様体上のマルコフ連鎖として定式化できる。これはランクの高い対称空間なので、球関数の取扱いは結構厄介ではあるが、推移確率をヘッケ環の元としてとらえ直すことにより、古典群の調和解析に持ち込む筋道をつけることができたと思っている。
    日本学術振興会, 奨励研究(A), 岡山大学, 05740096
  • 代数的組合せ論の研究
    科学研究費助成事業
    1992 - 1992
    野田 隆三郎; 洞 彰人; 神保 秀一; 池畑 秀一; 石川 洋文
    1 タイトt-デザインの分類については ウイルソン多項式の根の整数条件が有力な手がかりであるが これの処理方法においてかなりの進展が得られた。今後はこれ以外に入の整数性をうまく結びつけて 最終的な解決をはかりたいと考えている。
    2 擬対称4-デザインはタイト4-デザインに他ならず すでに分類が完成している。条件を擬対称3-デザインに弱めても 同じ手法がかなりの程度まで使えることが分かった。デザインの諸パラメーターの整数性および付隨する強正則グラフの結合行列の固有値の整数性が 強い制約を与えており これらをうまく処理して分類を完成させる 見通しができた。
    3 スタイナーシステムS(t,k,v)において よく知られているキャメロンの不等式 V≧(b+1)(k-t+1) および私の証明した不等式 V≧(b+1)(k-t+1)+(k-t)の改良として次の結果を得た。 定理 tが奇数で V>(t+1)(k-t+1)とすると V≧(t+2)(k-t+1) が成りたつ.さらに等号が成りたつのは(t,k,v)=(t,b+1,2t+4)のときに限る.
    この結果は近く論文にまとめる予定である.
    4 等周問題については3次元におけるミンコフスキーの不等式 M^2≧4πA,およびA^2≧3VMの改良がいま一歩のところまで進展した。これは有名なブルン・ミンコフスキーの不等式の改良とも結びついているので完成すれば大変面白い結果であると考ている。近いうちに是非完成したい。
    また逆向きの等周不等式については 2次元におけるゲージの証明はそのまま3次元以上に適用することはできないがボンネゼンの定理をうまく使う事によって解決への重要な手がかりが得られた。
    日本学術振興会, 一般研究(C), 岡山大学, 04640072
  • 確率過程の関数解析学的研究
    科学研究費助成事業
    1989 - 1989
    佐藤 坦; 洞 彰人; 西川 青季; 河原 康雄; 坂内 英一; 白谷 克巳
    主要な研究業績は次の通りである。
    [1]代表者が定義した、2階のFISHER型情報量が有限の密度関数を持つ確率測度(特別な場合としてガウス測度を含む)の無限直積をμとする。他方{ε_n}をRADEMACHER確率変数列、{a_n}を実数列とするとき確率変数列{a_nε_n}の導く数列空間上の確率測度をυとする。
    このとき合成積μ*υとμの絶対連続性の成り立つ条件を求めることは、合成積の絶対連続性の問題を考える上で基本となる問題である。
    この問題に関してΣa_n^4<+∞であることがμ*υ〜μ(互いに絶対連続)であるための必要条件であることを証明し、1989年春の日本数学会年会(上智大学)で報告した。これは無限直積測度の絶対連続性に関する北田ー佐藤の結果の精密化である。Σa_n^4<+∞の十分性の証明が次の問題である。
    [2]代表者は[1]の問題を研究する上で新しい基本原理を発見した。すなわち加法的マルチンゲ-ルに対応する指数マルチンゲ-ルの一様可積分性についての新しい必要十分条件を提案した。これはマルチンゲ-ル理論に新たなペ-ジを書き加えると共に、関数空間上の確率測度の絶対連続性の研究への今後の応用が期待される。英国の雑誌STOCHASTICS AND STOCHASTICS REPORTSに掲載予定である。
    [3]代表者の指導のもとで大学院生福田亮治はバナッハ空間値サブーガウス確率ベクトルを定義し、その指数可積分性を証明した。これはガウス確率ベクトルの指数可積分性を証明したFERNIQUEの一般化であり、MALLIAVIN CALCULUSやHIDA CALCULUSとの関連が注目される。西独の雑誌PROBABILITY THEORY AND RELATED FIELDSに掲載予定である。
    [4]分担者洞は可換リ-群上の確率測度の無限直積について準不変性を研究し、準不変部分群を定式化した。
    日本学術振興会, 一般研究(C), 九州大学, 01540144